Forta greutatii. Centrul de masa. Momente statice

Forta greutatii. Centrul de masa. Momente statice

Experientele efectuate asupra corpurilor aflate in imediata vecinatate a Pamantului, arata ca acestea sunt supuse actiunii campului gravitational. Ca urmare, orice corp are greutate, care este o forta data de expresia:

, (2.66)

in care g reprezinta intensitatea campului gravitational terestru, sau pe scurt, acceleratia gravifica. Directia ei, cioncide cu directia care trece prin centrul Pamantului si are sensul dirijat spre centrul Pamantului, marimea ei variind o data cu latitudinea la care se refera. Spre exemplu, la Bucuresti, aceasta este considerata ca avand valoarea g=9,80655 m/s², (pe scurt 9,81 m/s²). Pentru un domeniu restrans de pe suprafata Pamantului, se poate considera ca atat directia cat si marimea acceleratiei gravitationale raman constante. Intrucat influenta acceleratiei gravitationale se resimte oriunde pe suprafata Pamantului, se poate vorbi de un camp al fortelor de gravitatie sau un camp gravitational.

Daca se considera un corp, sau un sistem de puncte materiale, atunci asupra fiecarui element de volum din corp, sau asupra fiecarui punct din sistem vor actiona forte de greutate, ale caror directii vor fi considerate - teoretic - in centrul Pamantului. Dar, dat fiind dimensiunile mari ale Pamantului (raza medie de 6370 km) fata de dimensiunile obisnuite ale corpurilor (de ordinul metrilor) se poate considera, cu o precizie satisfacatoare ca fortele de greutate, ale particulelor din corp, sau ale punctelor din sistem, sunt paralele. Rezultatele acestor forte paralele, reprezinta greutatea unica a corpului sau a unui sistem se puncte considerat, iar directia acesteia trece prin centrul fortelor paralele, denumit de data aceasta centrul de greutate.

Pozitia centrului de greutate al corpului, fata de un sistem de referinta cartezian, se poate calcula cu expresiile (2.65) in care operatorul de suma se transforma in integrala, iar elementul de forta dF se egaleaza cu greutatea elementara a particulelor din corp, dF=dG, rezultand:

(2.67)

Dar, cum dG=gdm, rezulta ca:

(2.68)

iar, daca este vorba despre un sistem discret de puncte materiale m_i (i=1,2,3,. ,n), atunci, coordonatele centrului de greutate al sistemului se obtin din expresiile (2.65), in care F_i=G_i=m_ig, T

(2.69)

Formulele (2.68) cat si (2.69) nu mai reprezinta in fapt centrul de masa al corpului, respectiv pozitia centrului de masa al sistemului. In ambele cazuri, acesta nu depinde de campul gravific al Pamantuilui, el putand exista si in afara acestuia si depinde numai de legea de distributie a maselor.

Din cele expuse mai sus rezulta:

1) Daca rezultanta fortelor gravitationale care actioneaza asupra tuturor elementelor de greutate ale unui corp, este data de catre suma G=∫dG, sau in cazul unui sistem discret de puncte materiale de suma G=∑G_i, atunci prin definitie suma maselor elementare dintr-un sistem reprezinta masa totala a corpului M, adica:

∫dm=M  sau ∑m_i= M (2.70)

astfel incat

G=∫gdm= g ∫dm = gM sau: G=∑m_ig_i = g∑m_i = gM

2) Prin definitie, sumele care intervin la numaratorii expresiilor (2.70) si (2.69) si care reprezinta sumele momentelor maselor in raport cu planele zOy, xOz si yOz, se numesc momente statice in raport cu planele respective ale sistemului de referinta.

Cu aceste observatii, relatiile (2.68) si (2.69) se pot scrie pentru un corp:

Mx_c =∫x dm; My_c =∫y dm; Mz_c =∫z dm (2.71)

iar pentru un sistem discret de puncte materiale:

Mx_c =∑x_im_i; My_c =∑y_im_i; Mz_c =∑z_im_i; (2.72)

Expresiile (2.71) sau (2.72) reprezinta forma matematica a teoremei momentelor statice, cu larga utilizare in mecanica (mai ales in dinamica) precum si in Rezistenta Materialelor, cu urmatorul enunt:

momentul static al unui corp, sau sistem de puncte materiale discrete, nu se schimba daca masa intregului corp sau sistem se concentraza in centrul de masa.

Prin urmare, centrul de masa al unui corp (continuu material) sau al unui sistem discret de puncte materiale, se poate considera ca fiind punctul geometric fata de care momentul static este nul.