MECANICA CLASICA - Simetriile si legile de conservare

MECANICA CLASICA

Simetriile si legile de conservare

Magarul lui Buridan a murit de foame deoarece simetria celor doua capite de fan egal distantate de el face ca impulsurile identice, dar divergente, ale bietului animal sa se anuleze reciproc.

Etimologic, termenul simetrie inseamna in limba greaca "proportionalitate , similaritate in aranjarea partilor" si in acest sens simetria este o masura a ordinii, opusa haosului si dezordinii.

Definitia moderna (H.Weyl) a simetriei este urmatoarea: " un obiect este simetric daca ramane neschimbat in urma unei transformari".

Exemple: Daca obiectul coincide cu el insusi in urma unei rotatii spatiale in jurul unei axe cu un unghi de vorbim de simetrie la rotatie. Daca un obiect ramane neschimbat in urma deplasarii tuturor punctelor sale cu aceeasi cantitate vorbim despre simetria la translatie spatiala. De asemenea daca toate punctele unui obiect isi schimba pozitia dupa regula si obiectul ramane neschimbat, vorbim despre simetria la reflexia spatiala.

Conceptul de simetrie nu se restrange la simetria obiectelor. El se refera si la fenomenele fizice si la legile care le guverneaza. Simetria legilor fizice consta in invarianta lor (pastrarea formei ecuatiilor care le descriu) la anumite transformari legate, de exemplu, de conditiile in care este observat fenomenul fizic.

Simetria la translatii spatiale

Daca efectuam un experiment fizic intr-un anumit loc (masuram perioada unui pendul gravitational care efectueaza mici oscilatii in acord cu formula ) si apoi repetam experimentul in alt loc vom obtine aceleasi rezultate, experimentul va decurge la fel. Acesta este un exemplu de invarianta a legilor fizicii la translatiile spatiale (in care nu este afectat mediul inconjurator care ar putea influenta experimentul). Invarianta legilor fizicii la translatiile spatiale este o expresie a proprietatii de omogenitate a spatiului (spatiul are acelesi proprietati in toate punctele sale). In cazul unui sistem mecanic izolat din aceasta proprietate a spatiului decurge conservarea marimii fizice vectoriale numite impuls.

Astfel, deoarece spatiul este omogen rezulta ca proprietatile mecanice ale unui sistem izolat nu se modifica daca toate punctele sale sufera o translatie

infinitezimala cu cantitatea : toti vectorii de pozitie se modifica dupa legea:

. Variatia functiei Lagrange in urma modificarii coordonatelor

(vitezele nu se schimba) trebuie sa se anuleze:

fiind arbitrar, rezulta ca .

Din ecuatiile Euler-Lagrange avem: si astfel conditia anterioara devine:

" Intr-un sistem mecanic izolat marimea vectoriala numita impulsul sistemului se conserva in timp. " Tinand cont ca pentru sistemul izolat , expresia impulsului mecanic devine: .

Cantitatea este impulsul particulei "i" din sistem. Impulsul este aditiv. Deoarece derivata reprezinta forta care actioneaza asupra particulei "i" din sistem, conditia exprima faptul ca rezultanta fortelor interne dintr-un sistem izolat se anuleaza. Daca sistemul contine doar doua particule, conditia exprima legea egalitatii actiunii si reactiunii.

In cazul exprimarii functiei Lagrange cu ajutorul coordonatelor si vitezelor generalizate: putem generaliza definitiile anterioare:

sunt impulsurile generalizate iar

sunt fortele generalizate .

Ecuatiile Euler-Lagrange devin: sau , forma care ne aduce aminte de principiul fundamental al mecanicii clasice (Hewton).

Simetria la rotatiile spatiale

Rezultatele unui experiment nu se modifica daca rotim masa pe care sunt

aparatele de masura in alta pozitie decat cea initiala (mai putin in cazul in care se face masurari geofizice). Aceasta exprima invariatia legilor fizicii la rotatiile spatiale. Invarianta la rotatii decurge din proprietatea de izotropie a spatiului (toate directiile spatiului sunt echivalente). Daca punctele unui sistem mecanic izolat sufera o rotatie spatiala cu acelasi vector infinitezimal de rotatie , functia Lagrange si deci ecuatiile de miscare trebuie sa ramana neschimbate.

Vectorul de rotatie are directia axei de rotatie, sensul dat de regula burghiului drept iar modulul este egal cu unghiul de rotatie.

Se observa din figura ca:

r_i * sin

r'_i

r_i

Tinand cont si de directia si de sensul lui obtinem:

Analog, deoarece rotatia antreneaza si vitezele:

.

Variatia functiei Lagrange in urma rotatiei trebuie sa se anuleze:

Inlocuim :

In produsele mixte putem permuta ciclic factorii dupa regula: si obtinem:

Deoarece este arbitrar, anularea derivatei implica:

Cantitatea se numeste momentul cinetic al sistemului mecanic.

" Momentul cinetic al unui sistem mecanic izolat se conserva in timp".

Simetria la translatiile temporale

Daca se repeta un experiment mai tarziu trebuie sa obtinem aceleasi rezultate. In caz contrar anumite cauze ar produce un anumit efect astazi si un alt efect maine. Pana acum acest lucru nu s-a observat. Aceasta invarianta a legilor mecanicii la translatiile temporale deriva din proprietatea de uniformitate a timpului: toate momentele timpului sunt echivalente.

Pentru un sistem mecanic izolat uniformitatea timpului cere ca functia Lagrange a acestuia sa nu contina explicit timpul:

Derivata totala la timp a functiei Lagrange devine:

Inlocuind obtinem:

Marimea se numeste energia sistemului.

"Energia unui sistem mecanic izolat se conserva in timp".

Legea este valabila si pentru sisteme fizice aflate in campuri de forte exterioare constante in timp deoarece in acest caz energia potentiala nu depinde de timp si nici functia Lagrange nu va contine explicit timpul. Conditia din care se obtine conservarea energiei ramane valabila.

Se poate demonstra matematic ca ecuatiile Euler-Lagrange sunt echivalente cu teorema stabilita de catre E. Noether, conform careia fiecarei transformari de simetrie care lasa invarianta forma functiei Lagrange ii corespunde o anumita marime care se conserva.

Conservarea impulsului este echivalenta cu invarianta functiei Lagrange la translatii spatiale si deci cu imposibilitatea fixarii unei origini a spatiului pentru un sistem mecanic izolat. Conservarea momentului cinetic este echivalenta cu invarianta functiei Lagrange la rotatii spatiale si deci cu imposibilitatea alegerii unei directii privilegiate. Analog, conservarea energiei se leaga de invarianta functiei Lagrange la translatia in timp si de imposibilitatea alegerii unei origini a timpului pentru un sistem mecanic izolat.Extinderea formalismului Lagrangian la sisteme deschise, in interactiune cu restul universului conduce la aparitia unei dependente explicite de timp a functiei Lagrange. De data aceasta se poate fixa o origine a timpului pentru sistemul deschis, dar energia acestuia nu se mai conserva: interactiunea cu exteriorul se face prin schimb de energie. Astfel, cand energia este observabila, timpil nu este si invers. Trecerea la teoria cuantica va da o expresie cantitativa a acestei incompatibilitati intre observabile.

1.7. Ecuatiile canonice (Hamilton)

Uneori este mai convenabil sa descriem starea sistemului mecanic cu ajutorul coordonatelor si impulsurilor generalizate (q,p) decat cu ajutorul coordonatelor si vitezelor generalizate . Aceasta schimbare de variabile va transforma functia Lagrange in functia Hamilton , transformare cunoscuta din termodinamica sub numele de transformare Legendre:

calculam diferentiala totala a functiei Lagrange dupa coordonate si viteze:

inlocuim si :

exprimam

trecem in membrul stang diferentiala totala si schimbam semnele: .

Expresia poarta numele de functia Hamilton a sistemului si diferentiala ei este:

.

Egaland coeficientii lui si ai lui obtinem:

ecuatiile canonice (Hamilton).

Aceste ecuatii vor lua locul ecuatiilor Euler-Lagrange. Numarul lor este dublu, dar ordinul lor este mai mic cu o unitate. Prin rezolvarea lor se obtin functiile si .

Observam ca daca functia H nu contine explicit timpul atunci :

Astfel valoarea H(q,p) = E ramane constanta in timpul miscarii.

Tinand cont de teorema lui Euler pentru functii omogene :

expresia functiei Hamilton devine:

H = 2T-L = T+U,

adica suma dintre energia cinetica si energia potentiala a sistemului mecanic.

1.8. Parantezele Poisson

Derivata totala la timp a unei functii de coordonate, impulsuri si timp f(p,q,t) este:

unde am definit:

numita paranteza Poisson pentru H si f .

In cazul unei functii care nu contine explicit timpul derivata este :.

Daca paranteza Poisson a functiilor H si f se anuleaza, functia f(p,q) este constanta, reprezentand o integrala prima a miscarii:

.

Parantezele Poisson pentru doua functii oarecare f(q,p) si g(q,p) se defineste astfel:

Parantezele Poisson poseda urmatoarele proprietati:

a)   

b)   unde c = constant

c)   

d)  

e)   

f)   

g)  

Un sistem de 2s variabile care satisfac relatiile (g) poarta numele de variabile canonice. O pereche de variabile care satisface conditia poarta numele de variabile canonic conjugate.

h)   : ecuatiile canonice scrise cu ajutorul parantezelor Poisson.**

i)     Este satisfacuta teorema lui Poisson: daca f(p,q) si g(p,q) sunt doua integrale prime ale ecuatiilor canonice atunci si paranteza Poisson a celor doua functii este tot o integrala prima (constanta a miscarii): = constanta.

1.9. Transformari canonice

Vom discuta despre efectul transformarii variabilelor canonic conjugate p si q . Putem proceda in doua moduri: alegand o cale mai laborioasa putem transforma vechile coordonate generalizate q in altele noi Q, apoi vom construi functia Lagrange cu ajutorul coordonatelor Q si , apoi vom afla noile impulsuri conjugate si in final vom obtine noua functie Hamilton exprimata cu ajutorul noilor variabile conjugate P si Q. Cealalta cale, mai scurta, transforma simultan variabilele conjugate (p,q) in noi perechi (P,Q) printr-o transformare care pastreaza invarianta forma ecuatiilor canonice: unde este noua functie Hamilton exprimata cu ajutorul noilor variabile P si Q : =. Astfel de transformari:

Q = Q (p,q,t)

P = P (p,q,t)

care lasa invarianta forma ecuatiilor canonice se numesc transformari canonice.

Deoarece ecuatiile canonice, atat cele pentru variabilele (p,q) cat si cele pentru variabilele (P,Q): se obtin din principiul minimei actiuni pus sub forma:

rezulta ca intre vechile variabile (p,q) si cele noi (P,Q) exista relatia:

.

Intr-adevarconstant, astfel incat , oricare ar fi functia F. Aceasta functie F se numeste functia generatoare a transformarii. Observand ca:

se obtin relatiile :

.

Astfel, deca se da functia generatoare F(q,Q,t), formulele de mai sus stabilesc relatia dintre variabilele (p,q) si cele noi (P,O) si expresia noului hamiltonian

Functia generatoare poate fi cunoscuta sub urmatoarele forme:

.

Transformarile canonice lasa invariante parantezele Poisson:

Obtinem relatiile:

care trebuie satisfacute pentru a trece sa fie canonica.

1.10. Teorema lui Liouville

Consideram un sistem mecanic cu s grade de libertate. Un spatiu cu 2s dimensiuni ale carui axe sunt coordonatele q si impulsurile p se numeste spatiul fazelor. Un punct din acest spatiu reprezinta o stare mecanica a sistemului descris. Evolutia in timp a sistemului mecanic determina deplasarea punctului reprezentativ astfel incat acesta sa descrie o curba numita traiectorie in spatiul fazelor. Evolutia punctului reprezentativ se face cu respectarea ecuatiilor lui Hamilton. Ecuatia: H(p,q)=constant reprezinta o hipersuprafata (cu 2s-1 dimensiuni) in spatiul fazelor - hipersuprafata de energie constanta. In cazul unui sistem inchis sau in camp de forte exterioare constante in timp, punctul reprezentativ al sistemului mecanic va fi continut de catre aceasta hipersuprafata.

Introducerea spatiului fazelor va permite o interpretare geometrica a fenomenelor mecanice, cu aplicatii deosebite in fizica statistica.

Fie un element de volum in acest spatiu :

.

Integrala va reprezenta volumul unui domeniu din acest spatiu. Vom arata ca aceasta integrala este invarianta fata de transformarile canonice: daca o multime de stari mecanice ocupa la momentul t volumul:

**ca urmare a evolutiei sistemului mecanic, la un moment ulterior , punctele reprezentative vor ocupa volumul:

unde este jacobianul transformarii, cele doua volume fiind egale: .

Pentru a demonstra aceasta afirmatie, sa aratam ca jacobianul D este egal cu unitatea. Trecerea de la variabilele (q,p) la variabilele (Q,P) este o transformare canonica. Ea este data de relatiile:

,

in cazul in care . Teorema lui Liouville afirma faptul ca volumul in spatiul fazelor este invariant in raport cu aceasta transformare canonica. Exprimand jacobianul:

Tinand seama de relatiile care exprima trecerea de la (p,q) la (P,Q) obtinem:

si

Iacobianul devine :

Facem observatia ca determinantul:

se reduce la atunci cand neglijam . Procedand asemanator si neglijand termenii care contin , obtinem:

.

Deoarece si **(ecuatiile canonice), obtinem:

adica (expresia matematica a teoremei lui liouville).

Teorema: Volumul ocupat in spatiul fazelor de o multime da stari mecanice date ale sistemului, ramane invariant in raport cu evolutia in timp a acestei multimi.

Limitele mecanicii clasice

Tendinta de a extrapola rezultatele mecanicii clasice in alte domenii ale

fizicii (electromagnetism, particule elementare, astrofizica,.) a condus la aparitia unor contradictii care vor fi prezentate in continuare.

Mecanica clasica ignora propagarea fortelor. Potentialul din care deriva fortele este, de cele mai multe ori, independent de timp. O astfel de idealizare este potrivita pentru miscarea stationara a planetelor in jurul Soarelui, unde nu se pune problema propagarii interactiunii, dar nu si pentru studiul interactiunii altor sisteme fizice. Astfel, s-a constatat ca interactiunile electromagnetice (luminoase, electrice si magnetice) au o viteza finita de propagare:

,

viteza luminii in vid (constanta universala).

Deoarece nu s-a constatat experimental existenta vreunui fenomen fizic a carui propagare sa depaseasca viteza luminii in vid si deoarece experimentul lui Michelson-Morlay arata ca aceasta valoare a vitezei nu depinde de starea de miscare a sursei de lumina sau a observatorului, se interpreteaza constanta lui c ca o lege universala care afirma imposibilitatea propagarii interactiunilor la distanta instantaneu. Aceasta observatie l-a condus pe Einstein la teoria relativitatii restranse in care se renunta la axioma timpului absolut si se modifica metrica spatiala: doi observatori initiali a caror viteza relativa este nenula masoara intervale diferite de timp si lungimi diferite.

O alta contradictie a aparut atunci cand fizicienii si-au indreptat atentia asupra microcosmosului. Atunci cand se masoara experimental marimi legate de particule elementare (molecule, atomi, electroni, protoni,.) trebuie ca "obiectul" studiat sa emita un semnal iar aparatul de masura sa-l receptioneze (deci trebuie sa existe o interactiune intre particula studiata si aparatul de masura). Chiar daca obiectul care recepteaza semnalul este tot o particula elementara, apartinand aparatului de masura (semnalul receptat de ea fiind apoi amplificat pana la o valoare macroscopica detectabila, fara a afecta particula studiata) trebuie ca particula emitatoare sa emita "ceva" care perturba starea sa dinainte de emisie si care are aceeasi scara de marime astfel incat perturbatia nu este neglijabila. Aceasta este o problema centrala a fizicii microcosmosului (mecanica cuantica) : cum sa fie efectuate masuratori obiective daca instrumentul de masura perturba intr-un mod decisiv obiectul studiat?

Pentru a descrie cantitativ aceasta perturbatie putem folosi actiunea:

unde :

- este actiunea care intervine intr-o interactiune;

- este energia schimbata;

- este timpul cat dureaza interactiunea.

Se constata ca cele doua cantitati si depind una de cealalta: o crestere a lui conduce la scaderea lui si scaderea lui conduce la cresterea lui . Astfel, actiunea nu poate fi micsorata oricat de mult, exista o cuanta de actiune: h

constanta lui Planck () ce reprezinta actiunea minima care poate interveni intr-o interactiune la scara microuniversului:

Aceasta relatie poate fi exprimata si altfel:

unde p este impulsul, q este pozitia, L este momentul cinetic iar este orientarea unghiulara . reprezinta imprecizia in masurarea cantitatii respective datorata existentei unei perturbatii minime.

Aceste relatii de incertitudine ale lui Heisenberg conduc la observatia ca, deoarece p este proportional cu , nu putem cunoaste cu o precizie absoluta si pozitia si viteza unei particule. Astfel notiunea de traiectorie in spatiul fazelor isi pierde sensul pentru sistemele microcosmosului. Va fi necesar sa introducem alte spatii pentru descrierea starii: spatiul Hilbert si spatiul Fock.

O a treia limitare care intervine cand mecanica studiaza obiectele elementare ale microuniversului este generata de diferenta de scala intre obiectul studiat si aparatul de masura. Astfel o particula elementara (de dimensiuni m si cu un timp de raspuns s) ar trebui detectata direct cu un instrument de masura de masura format din cel putin particule de tipul celei studiate (de ex.atom). Aceasta detectie este evident ca nu poate fi facuta decat prin intermediul unor procese fizice care mediaza semnalul particulei elementare si semnalul microscopic care determina raspunsul observabil al aparatului de masura (indicatia unui ac de exemplu). Aceste procese fizice de mediere fac sa intervina statistica in masurarea oricarui proces elementar. Astfel toate informatiile care pot fi detinute despre obiectele microcosmosului au un pronuntat caracter statistic.

Acest caracter statistic al descrierii comportarii obiectelor microuniversului se extinde si in macrocosmos prin teoria haosului. Daca "relativitatea a destramat iluzia newtoniana a spatiului si a timpului absolut iar teoria cuantica a naruit visul newtonian al proceselor de masurare controlabile" atunci haosul elimina "utopia laplaciana a predictibilitatii deterministe".

In "Teoria analitica a probabilitatilor (1812) astronomul si matematicianul Pierre-Simon de Laplace scria:

"Un intelect care ar cunoaste in orice moment dat toate fortele care animeaza natura si pozitiile relative ale fiintelor care o compun, daca ar fi destul de cuprinzator pentru a supune aceste date analizei, ar putea consensa intr-o singura formula miscarea celor mai mari corpuri **ale universului, ca si miscarea celui mai usor atom : pentru un astfel de intelect nimic nu ar fi nesigur, iar viitorul ar fi prezent in fata ochilor sai la fel ca trecutul".

O frunza care se desprinde dintr-un copac si cade dupa o traiectorie sinuasa si complexa, un strop de apa rupt dintr-un val care se sparge de dig, fumul unei tigari care se ridica intr-un fir subtire care apoi se destrama formand vartejuri si valute sunt exemple de procese practice care scapa determinismului descris de Laplace, facand obiectul de studiu al dinamicii neliniare.

Motivul pentru care determinismul mecanic laplacian nu functioneaza in exemplele descrise este asa numitul "efect al fluturelui" (atunci cand un fluture isi misca aripile la Tokio rezultatul poate fi o tornada peste o luna in Bahamas) sau "sensibilitatea la conditiile initiale": starea initiala a unui sistem nu se poate masura niciodata exact; daca masurarea initiala s-a facut cu o precizie de zece zecimale Laplace considera ca si predictiile facute pe baza ei vor avea precizia tot de zece zecimale, eroarea ramanand neschimbata; in realitate daca datele initiale se cunosc cu o precizie de zece zecimale, predictiile ulterioare vor avea o precizie din ce in ce mai mica, odata cu scurgerea timpului. Aceasta amplificare a erorii anuleaza determinismul perfect al lui Laplace.

Astazi, teoria haosului s-a extins intr-o masura foarte mare gasindu-si aplicatii in fizica, in economie, in biologie, in sociologie etc.