Miscarea fluidului in canalul de dimensiuni finite aflat in rotatie

Miscarea fluidului in canalul de dimensiuni finite aflat in rotatie

Ipoteza esentiala care a stat la baza consideratiilor din paragraful anterior a fost ceea a unui rotor cu un numar de de palete. Aceasta ipoteza nu poate fi indeplinita, de aceea, chiar si in ipoteza de fluid perfect, distributia de viteze si presiuni in canal nu vor mai fi uniforme.

Se considera un element de fluid pe traiectorie identica cu ceea a paletei, cu raza de curbura R, aflat la raza curenta r (fig. 1). Miscarea sa se studiaza in sistemul de axe s-n: s-tangenta la traiectorie; n-normala la traiectorie; elementul considerat, de densitate r are masa:

, (1)

cu b-latimea canalului la raza r. Acest element de masa este supus urmatoarelor forte:

forta centrifuga din miscarea relativa: , care apare datorita curburii paletei, dirijata dupa normala n; -raza de curbura a paletei;

forta centrifuga produsa de miscarea de transport: , dirijata radial;

forta de inertie datorata acceleratiei fluidului in canalul intre doua palete: ;

Fig. 1

forta Coriolis: dirijata in sens invers miscarii, datorata accelerarii fluidului cu acceleratia Coriolis: .

Asupra elementului actioneaza distributiile de presiune din figura 1. Ecuatiile de echilibru pe directia normalei, respectiv tangentei, sunt:

. (2)

Se stie ca:

; (3)

si

. (4)

Introducand (3) si (4) in (2), obtinem:

. (5)

Fluidul fiind considerat perfect si miscarea permanenta, variabilele sunt n si s, nu si timpul t, deci derivatele partiale devin totale, iar relatiile din (5) capata forma:

. (6)

Se integreaza relatia a doua din setul (6):

(7)

si, de aici:

, (8)

in care este o marime numita rotalpie; relatia (8) reprezinta conservarea energiei sub forma legii lui Bernoulli, aplicata unui disc in rotatie, iar egalitatea se datoreaza faptului ca fluidul este perfect si nu transmite eforturi tangentiale prin frecarea straturilor invecinate, deci:

, (9)

exprimare analitica a faptului ca nu se transmite energie pe directie tangentiala, deci derivand (8) avem:

, (10)

sau:

. (11)

Identificam acum (11) cu prima relatie din setul (5), obtinand:

, (12)

sau, dupa reduceri:

(13)

si, trecand la derivate totale:

. (14)

Se integreaza relatia (14) membru cu membru, pornind de la o viteza la fibra medie a canalului care trece prin originea axelor de coordonate:

, (15)

de unde:

, (16)

sau:

. (17)

De aici:

, (18)

de unde, prin dezvoltarea membrului stang in serie de puteri:

, (19)

introdusa in (18), conduce la:

, (20)

sau, in final, dupa prelucrari:

. (21)

Deci, in canalul dintre doua palete, viteza variaza liniar cu n (pe directie transversala pe cea de curgere); caz particular , a-latimea la raza r a canalului dintre cele doua palete, ceea ce conduce la valorile vitezei la extremitatile sectiunii:

. (22)

In cazul particular al CC cu palete radiale ():

. (23)

Se observa ca distributia de viteze intre doua palete este liniara (fig. 2). Distributia de viteze ne da si distributia de presiuni, care, conform ecuatiei lui Bernoulli pentru curgere incompresibila, variaza invers cu patratul vitezei.

Observatie: Viteza creste dinspre intradosul unei palete spre extradosul paletei urmatoare, consecutive in sensul de rotatie , iar presiunea in canal variaza in sens invers, crescand de pe extradosul unei palete spre intradosul paletei anterioare. Aceasta explica si posibilitatea de transfer energetic intre rotor si fluid, adica presiunea pe intradosul paletei fiind mai mare, paleta transmite lucrul mecanic fluidului.

Din prima relatie a setului (22), se pune conditia:

, de unde rezulta turatia minima a rotorului incepand de la care pe intradosul paletei pot sa apara curgeri inverse si, ulterior, desprinderi de curent:

. (24)

In general, in cazul rotorului cu numar z finit de palete, distributia de viteze in canal pe directie normala este neuniforma. Aceasta se datoreaza si faptului ca s-a mentinut ipoteza de fluid perfect ce nu poate transmite eforturi tangentiale.

La limita, este posibila obtinerea unei distributii uniforme de viteze, impunand in relatia (21) conditia: , adica:

. (25)

Se constata ca, in toate cazurile, viteza din (21) se compune din:

, (26)

	Fig. 2

in care:

Fig. 3

. (27)

Componenta este dependenta de debit (prin ), de raza de curbura a profilului palei R si de marimea canalului prin n; si implicit prezinta o distributie cu atat mai neuniforma, cu cat paletele sunt mai curbate.

Componenta are semnificatia unui vartej axial ce se roteste cu viteza unghiulara in sens opus rotatiei CC.

In realitate, actioneaza ambele componente, astfel incat efectul pe ansamblu se concretizeaza prin devierea curentului in sens opus miscarii. Aceasta se datoreaza faptului ca fluidul, considerat perfect, nu poate transmite eforturi tangentiale, deci nici forte de frecare, astfel incat particulele de fluid tind sa-si pastreze pozitia relativa initiala.

Exemplificam observatiile anterioare pentru cazul unui rotor cu palete radiale (fig. 3). La iesire, unghiul paletei este , dar fluidul iese dupa un unghi , viteza avand o componenta , dirijata in sens invers rotirii, a carui intensitate depinde de numarul de palete ale rotorului si de viteza sa tangentiala, de parametrii curgerii, de vascozitatea gazului, etc. Prin faptul ca exista componenta , deci scade, rezulta ca lucrul mecanic transferat fluidului: scade de asemenea. In cazul rotorului cu numar finit de palete, se pune in evidenta micsorarea lucrului mecanic transmis fluidului prin intermediul coeficientilor de circulatie si de debit:

, (28)

consecinta a devierii curentului, deci:

	Fig. 3

. (29)

In cazul rotorului cu numar finit de palete, coeficientii de circulatie si debit s-au stabilit pe cale experimentala, corectandu-se relatia dintre coeficientul de circulatie si de debit dedusa pentru in paragraful 12.2.1.2: , sub forma:

, (30)

numita relatia lui Stodola, cu unghiul paletei la iesirea din rotor; pentru rotorul cu palete radiale, , deci:

. (31)