STATICA FLUIDELOR

STATICA FLUIDELOR

Statica este capitolul mecanicii fluidelor care studiaza echilibrul fluidelor si interactiunea dintre fluidele aflate in repaus relativ si corpurile solide Un fluid se afla in echilibru static in raport cu un sistem de referinta daca orice particula din acel fluid este in repaus fata de sistemul de referinta respectiv.

1. Starea de tensiuni intr-un fluid aflat in repaus

Un corp C (figura 1), supus actiunii unui sistem de forte exterioare F₁, F₂,.., F_n, se afla in echilibru static (in repaus) daca sistemul de forte este static echivalent cu zero.

Fortele reprezinta actiuni reciproce dintre mase. Fortele care exprima actiunea altor corpuri asupra unui corp dat se numesc forte exterioare. Fortele exterioare care se exercita asupra tuturor particulelor unui corp se numesc forte masice sau de volum, iar cele care actioneaza doar pe suprafata corpului sau pe o parte a acesteia se numesc forte superficiale. Ca rezultat al actiunii fortelor exterioare asupra unui corp, intre particulele sale ia nastere un sistem de forte interioare.

Folosind metoda sectiunilor imaginare a lui Cauchy, prin sectionarea corpului C si introducerea, pe suprafata S rezultata din sectionare, a densitatii de forte interioare corespunzatoare, se poate face abstractie de partea P₂ daca se studiaza echilibrul partii P₁ si invers. Fortele interioare de pe S devin astfel forte exterioare superficiale si reprezinta actiunea pe care o exercita partea P₂ asupra partii P₁. Unui element de suprafata S avand aria A ii revine o forta , ale carei componente pe suprafata S si pe normala la aceasta suprafata sunt si (figura 1).

Limitele rapoartelor N/A si T/A cand A tinde catre zero se numesc tensiune normala , respectiv tensiune tangentiala  si constituie componentele tensorului tensiune. In orice punct interior apartinand unui corp solid in repaus se dezvolta, in toate directiile, tensori tensiune avand marimi care se inscriu intr-un elipsoid al tensiunilor.

In cazul cand corpul C este un fluid aflat in repaus, conform relatiei (2.33) rezulta  deci F = N, adica tensorul tensiune are numai componenta normala. care se exprima astfel

(1)

si se numeste presiune. Prin definitie, presiunea intr-un fluid este orientata dupa normala la suprafata (reala sau imaginara) considerata. Se poate demonstra ca, in orice punct din domeniul ocupat de un fluid in repaus, se dezvolta tensiuni cu valori egale in toate directiile, ceea ce corespunde degenerarii elipsoidului tensiunilor intr-o sfera.

Conform principiului solidificarii sau al rigidizarii partilor, un corp se afla in echilibru daca si numai daca fortele care actioneaza asupra fiecareia din partile sale formeaza un sistem static echivalent cu zero. Acest principiu permite sa se separe o parte a corpului oricat de mica, introducandu-se asupra acestei parti un sistem de forte (de legatura) echivalent cu actiunea restului corpului asupra acesteia. Detasand in acest mod dintr-un fluid in repaus un domeniu de forma unei prisme triunghiulare, orientate arbitrar (figura 2) si introducand fortele de legatura in centrele fetelor prismei (ca rezultante ale presiunilor pe fiecare fata), precum si forta masica (de directie oarecare) aplicata in centrul prismei, se poate scrie conditia de echilibru sub forma

(2)

Prin proiectarea acestei ecuatii pe axa prismei rezulta

(3)

ceea ce este echivalent cu

F_d1 = F_d2 , (4)

sau

(5)

si relatia (2) se reduce la forma

(6)

unde si sunt componentele fortei masice pe directiile fortelor si , ale caror suporturi sunt concurente (figura 3).

Prisma are dimensiunile a, b, c, d infinitezimale, iar in procesul de trecere Ia limita pentru definirea tensiunilor punctiforme ele vor tinde catre zero. Ca urmare, in relatia (5) s-a putut admite aproximatia ca forta masica (figura 3) este concurenta cu si . In aceste conditii, poligonul fortelor se reduce la figura 4. Triunghiurile A₁B₁C₁ (v. figura 2) si LMN (v. figura 4) sunt asemenea, avand laturile perpendiculare intre ele. Conditia de proportionalitate a laturilor acestor triunghiuri, exprimata sub forma

(7)

unde

(8)

cu A_m - acceleratia campului fortelor masice, V - volumul prismei, _a, _c - unghiurile facute de cu respectiv , duce, dupa amplificare cu 1/d si trecere la limita, la

(9)

Deoarece, in baza relatiilor (7), limitele componentelor fortelor masice sunt nule, relatiile (9) se reduc, in conformitate cu relatia (1), la

p_a = p_b = p_c , (10)

ceea ce arata ca in centrul prismei, pe cele trei directii normale la fetele acesteia, exista tensiuni avand marimi egale intre ele. Intrucat prisma poate avea orice orientare in spatiu, mentinandu-si insa pozitia centrului de greutate, rezulta ca in centrul ei de greutate actioneaza tensiuni dezvoltate in toate directiile, avand aceeasi intensitate. Reprezentand grafic aceste tensiuni se obtine o sfera de raza egala cu presiunea in acel punct.

2. Ecuatia microscopica a echilibrului static al fluidelor

Se considera un element de volum de forma paralelipipedica (figura 5), cu dimensiunile infinitezimale dx, dy, dz raportate la un sistem de axe carteziene paralele cu muchiile sale, detasat din domeniul ocupat de un fluid aflat in repaus. Se introduc fortele de legatura , , , , , in centrele celor sase fete, precum si forta masica , care este singura forta exterioara, cu punctul de aplicatie in centrul M al elementului. Conditia de echilibru static al fluidului din volumul de control se exprima prin relatia

(11)

Avand in vedere ca presiunea este o functie continua in domeniul ocupat de fluid si notand cu p valoarea presiunii in punctul D fortele de legatura (care sunt rezultantele fortelor de presiune pe cele 6 fete ale paralelipipedului) si forta masica (definita de acceleratia ) au expresiile

(12)

(13)

care, introduse in relatia (11), dau, dupa reducerea termenilor asemenea si simplificare cu _dx dy dz, ecuatia microsco-pica a echilibrului static al fluidelor, scrisa sub forma

(14)

unde este operatorul lui Hamilton, definit in coordonate carteziene (pe baza versorilor , , ai axelor Ox, Oy, Oz) astfel

(15)

Exprimand acceleratia campului fortelor masice prin proiectiile sale X, Y, Z pe cele trei axe carteziene, adica

(16)

ecuatia vectoriala (14) va fi echivalenta cu urmatoarele trei ecuatii scalare:

(17)

cunoscute sub numele de ecuatiile lui Euler din statica fluidelor.

Legea variatiei presiunii intr-un fluid in repaus

Cand se cunoaste campul fortelor masice, din ecuatiile (17) se pot obtine expresiile derivatelor partiale ale presiunii, care, introduse in diferentiala presiunii

(18)

dau urmatoarea ecuatie

(19)

al carui membru drept este o diferentiala totala exacta daca exista o functie F(x, y, z) astfel incat sa avem egalitatea

In acest caz, forta masica deriva dintr-un potential de forte U = -F, iar ecuatia (19) se reduce la forma

dp = dF , (20)

care integrata da relatia

p = F + C₁ , (21)

unde C₁ este constanta de integrare egala cu presiunea p₀ corespunzatoare absentei fortelor masice.

Cand fluidul este incompresibil, membrul drept al ecuatiei (19) este o diferentiala totala exacta daca acceleratia deriva dintr-un potential U = -, adica

(22)

ceea ce duce la

dp =  d (23)

sau

p =  + C . (24)

In campul gravitational terestru, considerand axa Oz verticala ascendenta, componentele acceleratiei a campului fortelor masice sunt X = 0, Y = 0, Z = -g, deci , d = -g dz,  = -g z, iar relatia (24) devine

p = C -  g z , (25)

cunoscuta sub numele de ecuatia fundamentala a hidrostaticii.

1. Legea variatiei presiunii intr-un gaz aflat in repaus in campul gravitational terestru

Asa cum s-a precizat anterior, in camp gravitational X = 0, Y = 0, Z = -g; in consecinta , iar ecuatia (19) se reduce la egalitatea

dp = - g dz . (26)

Daca se admite ca gazul este perfect si sufera un proces izoterm (T = const.), din ecuatia de stare (2.9) se poate exprima masa specifica sub forma

(27)

care se inlocuieste in ecuatia (26), rezultand expresia

in care se separa variabilele si se integreaza

obtinandu-se relatia

(28)

unde p₁ este presiunea intr-un punct de cota z₁.

Formula (28) permite calculul presiunii statice sau dinamice la adancimea de fixare a garniturii de tevi de extractie intr-o sonda de gaze, cand se cunoaste presiunea p₁ citita la manometrul montat la coloana. Temperatura in sonda fiind variabila cu adancimea, relatia (28) se foloseste pe tronsoane pe care variatia de temperatura este neglijabila sau se poate aproxima printr-o valoare medie constanta.

In cazul aerului atmosferic, relatia (28) poate fi scrisa sub forma

(29)

unde, in baza ecuatiei (27),

(30)

M_a = 28,9 kg/kmol este masa molara a aerului, p₀ = 101.325 Pa - presiunea atmosferica normala, iar ₀ = 1,289 kg/m³ - densitatea aerului in conditii normale. Ecuatia (29) se numeste formula barometrica.

2. Presiunea intr-un fluid aflat in repaus in absenta fortelor masice

Daca fortele masice lipsesc sau sunt neglijabile, se poate scrie X = Y = Z = 0 si, din ecuatia (19), rezulta

dp = 0 , (31)

sau, dupa integrare,

p = p_i , (32)

ceea ce arata ca presiunea este constanta in domeniul ocupat de fluid si are valoarea initiala p_i. Aceasta situatie se intalneste in cazul fluidelor aflate in stare de imponderabilitate sau in cazul gazelor care ocupa inaltimi relativ mici. Astfel, presiunea gazului aflat in repaus intr-un recipient are, practic, aceeasi valoare in orice punct al domeniului ocupat de gaz, intrucat argumentul exponentialei din formula (28) este neglijabil cand z - z₁ are valori mici. Pe de alta parte, pentru valori mici ale argumentului, exponentiala din relatia (28) poate fi aproximata prin primii doi termeni din dezvoltarea in scrie si relatia (28) devine

(33)

imbracand, pentru z₁ = 0, p₁ = p_g si M g/(R_u T) = _g g/p_g, forma

p = p_g - _g g z , (34)

care arata ca, in cazul cand gazul ocupa inaltimi mici, variatia densitatii gazului cu inaltimea poate fi neglijata, iar termenul _g g z este si el neglijabil fata de valoarea p_g a presiunii gazului din recipient.

Legea variatiei presiunii intr-un lichid aflat in repaus in campul gravitational terestru

Considerand ca lichidul este incompresibil ( = const.), prin integrarea ecuatiei diferentiale a presiunii (26) rezulta relatia

p = - g z + a , (35)

care arata ca suprafetele izobare sunt plane orizontale (z = const.). Planul orizontal z = z_o, in care presiunea este egala cu presiunea atmosferica p , se numeste planul suprafetei libere a lichidului. Forma plan-orizontala a suprafetelor izobare corespunde conditiei de ortogonalitate a fortelor gravitationale, dirijate dupa verticala locului, cu suprafetele echipotentiale. Ca urmare, suprafetele libere de dimensiuni mari (apartinand marilor sau oceanelor) au forma geoidala specifica scoartei terestre, care numai pentru intinderi relativ mici se confunda cu forma plana.

Punand ecuatiei (35) conditia la limita p = p la z = z , se obtine pentru constanta de integrare expresia

a = p +  g z

si ecuatia (35) devine

p = p +  g(z - z) . (36)

Daca se considera originea axei Oz la suprafata libera a lichidului din vas, z = 0 si ecuatia (36) se identifica formal cu ecuatia (34), cu deosebirea ca,  fiind mult mai mare decat _g, termenul  g z nu mai este neglijabil in raport cu presiunea p de la suprafata de separatie gaz-lichid.

Notand cu h adancimea la care se gaseste un punct oarecare in masa lichidului, se constata (figura 6) ca z - z = h si ecuatia (36) ia forma

p = p +  g h . (37)

Legea hidrostaticii, exprimata sub forma (36) sau (37), arata ca presiunea intr-un lichid aflat in repaus in camp gravitational creste proportional cu adancimea punctului considerat, iar valoarea presiunii p de la suprafata de separatie gaz-lichid se regaseste, conform principiului lui Pascal, in fiecare punct al domeniului ocupat de acel lichid.

Presiunea intr-un fluid este o presiune absoluta p sau relativa p_r dupa cum ea include sau nu valoarea presiunii atmosferice p = 760 mm Hg = 1,033 kgf/cm² = 1,033 at = 1 atm = 1,01325 bar. Ca urmare, din relatia (37) se poate scrie

p = p + p_r , (38)

unde

p_r =  g h . (39)

Notand cu h inaltimea coloanei de lichid echivalenta presiunii atmosferice (figura 6) si cu H suma dintre inaltimea h si sarcina hidraulica relativa h, relatia (38) devine

p =  g H . (40)

Ecuatiile (39) si (40) definesc doua drepte care trec prin origine, dar fiecare dreapta isi are originea ei. Planul orizontal care contine originea O_a se numeste planul sarcinilor absolute, iar cel care contine originea O_r coincide ca suprafata libera si reprezinta planul sarcinilor relative.

Cand presiunea absoluta este mai mica decat presiunea atmosferica, presiunea relativa are valoarea negativa. Valoarea absoluta a presiunii relative negative se numeste presiune de vacuum:

cand p_r < 0 , (41)

sau

p_vac = p - p cand p < p . (42)

Presiunea de vacuum se exprima, de obicei, prin inaltime coloana de lichid echivalenta:

cand p < p . (43)

4. Forte de presiune pe suprafete

Peretele oricarui vas in care se afla un fluid in repaus este solicitat, in fiecare punct, de catre o forta de presiune elementara avand: directia normalei la perete, sensul de la fluid spre perete si marimea egala cu produsul dintre presiunea relativa si aria elementului de suprafata. Prin integrarea acestui sistem de forte distribuite se obtin fie o forta rezultanta, cand suprafata este plana sau curba cu simetrie axiala ori centrala, fie doua forte situate in plane diferite, in cazul suprafetelor curbe oarecare.

4.1. Forte de presiune pe o suprafata plana

4.1.1. Forta de presiune pe o suprafata plana aflata in contact cu un lichid

Fie un capac plan care acopera o deschidere de forma oarecare practicata in peretele plan inclinat al unui vas deschis (figura 7). Vasul este plin cu lichid aflat in repaus, in contact cu aerul atmosferic. Ne propunem sa determinam forta de presiune exercitata de lichid asupra capacului, in functie de densitatea  a lichidului, aria A a capacului si pozitia G a centrului de greutate al acestuia, definita prin coordonatele x_G, y_G.

Considerand un element de suprafata cu aria dA, forta elementara de presiune are intensitatea

dF = p dA , (44)

unde p este presiunea relativa si are, conform relatiei (39), valoarea  g h. Pe de alta parte, h = y sin  si relatia (44), dupa integrare, devine

(45)

unde

(46)

este momentul static al suprafetei cu aria A.

Notand cu h_G si p_G adancimea, respectiv presiunea relativa corespunzatoare centrului de greutate al suprafetei si tinand seama ca y_G sin  = h_G, iar  g h_G = p_G, relatia (45) ia forma

F = p_G A (47)

si arata ca forta de presiune care actioneaza pe o suprafata plana are marimea egala cu produsul dintre presiunea relativa in centrul de greutate si aria suprafetei considerate.

Coordonatele x_C, y_C ale centrului de presiune C se obtin din ecuatiile de momente ale fortelor fata de axele Ox si Oy, scrise astfel:

sub forma

(48)

(49)

unde

(50)

reprezinta momentul centrifugal, respectiv momentul de inertie al suprafetei capacului.

Apeland la teorema lui Steiner si la analoaga acesteia se poate scrie

(51)

iar relatiile (48), (49) devin

(52)

(53)

unde I_XX si I_XY sunt momentele de inertie si centrifugal definite fata de axele GX, GY ce au originea in G si sunt paralele cu axele Ox, respectiv Oy. Relatia (53) arata ca centrul de presiune se situeaza mai jos decat centrul de greutate, distanta dintre ele, numita excentricitate, fiind cu atat mai mica cu cat y_G este mai mare. Cand capacul este orizontal, centrul de presiune coincide cu centrul de greutate, presiunea fiind in acest caz uniform distribuita pe capac.

4.1.2. Forta de presiune pe o suprafata plana aflata in contact cu un gaz

Daca vasul din figura 7 este inchis si contine un gaz cu presiunea relativa p_g admisa constanta pe baza consideratiilor din §2.2, forta de presiune pe capac, ca rezultanta a unui sistem de forte paralele uniform distribuite, are marimea

F = p_g A (54)

si se aplica in centrul de greutate al capacului.

4.2. Forte de presiune pe suprafete curbe

4.2.1. Forta de presiune pe o suprafata curba aflata in contact cu un lichid

Se considera un vas deschis care are un perete curb si este plin cu lichid (figura 8). Fortele elementare ale sistemului de forte distribuite, generate de presiune pe suprafata curba ABC, variaza atat ca marime cat si ca directie, corespunzator pozitiei punctului si directiei normalei la suprafata curba in acel punct. Fata de sistemul de axe ales, unde planul xOy contine suprafata libera a lichidului din vas, forta de presiune pe un element de suprafata curba cu aria dA se exprima astfel

(55)

unde este versorul normalei la suprafata curba in centrul elementului de suprafata, iar z este cota acestui punct.

Se proiecteaza relatia (55) pe cele trei axe carteziene si se integreaza, obtinandu-se ecuatiile

(56)

unde A_x, A_y si A_z sunt ariile suprafetelor plane OAC, OBC, OAB (reprezentand proiectiile suprafetei curbe ABC pe cele trei plane carteziene), iar integralele respective sunt, in ordine, momentele statice ale suprafetelor OAC si OBC, respectiv volumul vasului:

Stiind ca

unde p_Gx, p_Gy sunt presiunile relative in centrele de greutate ale suprafetelor plane OAC, respectiv OBC, ecuatiile (56) devin

(57)

si definesc modulele componentelor fortei de presiune rezultante pe suprafata curba ABC. Cele trei forte au directiile normalelor care trec prin centrele de presiune ale suprafetelor OAC si OBC, respectiv directia verticalei duse prin centrul de greutate al volumului V.

Cand normalele suprafetei curbe converg intr-un punct sau intr-un ax, cele trei forte ale sistemului redus se reduc la o singura forta avand marimea

(58)

In cazul general al unei suprafete curbe oarecare, doua din suporturile celor trei forte exprimate prin relatiile (57) sunt concurente, iar sistemul se reduce la doua forte situate in plane diferite.

4.2.2. Forta de presiune pe o suprafata curba aflata in contact cu un gaz

Daca vasul OABC este inchis si contine un gaz a carui presiune relativa p_g este admisa constanta, modulele celor trei forte de presiune se calculeaza cu relatiile

(59)

iar suporturile lor sunt normalele care trec prin centrele de greutate ale proiectiilor suprafetei curbe pe cele trei plane rectangulare.

4. Forta de presiune pe o suprafata curba inchisa. Plutirea corpurilor

Se considera un corp cu volumul V, marginit de suprafata curba inchisa S, scufundat, in conditii de echilibru indiferent, intr-un lichid aflat in repaus in camp gravitational (figura 9). Corpul este supus fortelor de presiune exercitate de lichid asupra sa. Componentele orizontale F_x, F_y ale fortei de presiune sunt nule, deoarece fiecare dintre ele este rezultanta a doua forte egale, de sensuri contrare, iar componentele verticale au, conform celei de-a treia ecuatii (57), expresiile

Ca urmare, rezultanta fortelor de presiune pe suprafata curba inchisa S este

(60)

Relatia (60) arata ca, potrivit principiului lui Arhimede, rezultanta fortelor de presiune pe suprafata inchisa S este o forta verticala ascendenta, egala cu greutatea volumului de lichid dezlocuit de corp. Aceasta forta se numeste forta de plutire, portanta sau forta arhimedica si are ca punct de aplicatie, numit centru de plutire, centrul de greutate al volumului V.

Un corp se afla in echilibru indiferent daca greutatea sa este egala cu portanta, iar centrul de greutate G al corpului se afla pe aceeasi verticala cu centrul de plutire C, ocupand o pozitie inferioara acestuia. Cand greutatea corpului este mai mare decat portanta, corpul se scufunda pe fundul vasului, iar daca portanta depaseste greutatea corpului, acesta va pluti partial scufundat, astfel incat forta de plutire a partii scufundate sa fie egala in modul cu greutatea corpului.

Orice corp plutitor este stabil sub actiunea unor forte laterale perturbatoare, daca miscarea de oscilatie generata de aceste forte nu depaseste o anumita amplitudine, care corespunde rasturnarii acelui corp.

5. Echilibrul relativ al lichidelor

5.1. Ecuatia fundamentala a echilibrului relativ al lichidelor

Un lichid aflat intr-un vas in miscare este in echilibru relativ, fata de un sistem de axe solidar legat de vas, daca viteza si acceleratia lichidului in raport cu acest sistem mobil de axe sunt nule.

Considerand un domeniu paralelipipedic detasat din lichidul aflat in vas si introducand fortele de legatura , , , , , si forta masica , definite de relatiile (12) si (13), conditia de echilibru dinamic al lichidului din acest paralelipiped, fata de triedrul fix O₁x₁y₁z₁ din figura 10, se exprima astfel

(61)

unde este forta de inertie data de relatia

(62)

in care a_a este acceleratia absoluta.

Introducand in relatia (61) expresiile (12), (13) si (62) si simplificand cu  dx dy dz se obtine ecuatia fundamentala a miscarii unui fluid perfect, sub forma

(63)

care, pentru = 0, se reduce la ecuatia (14).

Conform figurii 10, se poate scrie egalitatea

(64)

in care si sunt vectorii de pozitie ai centrului M al paralelipipedului fata de sistemul de referinta fix, respectiv fata de triedrul mobil, iar - vectorul de pozitie al sistemului de referinta mobil in raport cu cel fix. Se introduc notatiile: - viteza absoluta, - viteza originii O a sistemului de axe mobil fata de originea O₁ a sistemului fix, - viteza relativa a punctului M, - viteza unghiulara a miscarii de rotatie in jurul unei axe instantanee care trece prin O, - acceleratia originii O a sistemului mobil fata de sistemul fix de axe, - acceleratia relativa a punctului M.

Prin derivarea ecuatiei (64) in raport cu timpul se obtine egalitatea

sau

care se deriveaza din nou in raport cu timpul, rezultand relatia

care poate fi scrisa sub forma

(65)

si defineste acceleratia absoluta.

Daca se introduc notiunile de acceleratie de transport si acceleratie Coriolis, exprimate prin egalitatile

ecuatia (65) devine

(66)

Daca lichidul se afla in echilibru relativ fata de sistemul mobil de axe, prin definitie = 0 si = 0, deci = 0, iar acceleratia absoluta este egala cu acceleratia de transport, conform relatiei (66).

In aceste conditii, ecuatia (63) se reduce la forma

(67)

si constituie ecuatia fundamentala a echilibrului relativ al lichidelor.

5.2. Echilibrul relativ al lichidului dintr-un vas aflat in miscare de rotatie uniforma in jurul unei axe verticale

Se considera un vas cilindric vertical care contine lichid (aflat in echilibru relativ) si se roteste cu viteza unghiulara constanta in jurul axei sale de simetrie. Se aleg axele Oz si O₁z₁ in pozitie suprapusa cu axa de simetrie a vasului (figura 11). Se particularizeaza relatia (67) pentru: = 0 (deoarece originile O si O₁ ale sistemelor de axe coincid), = -g, = constant si = 0 astfel

(68)

Stiind ca

se pot determina expresiile produsului vectorial

si dublului produs vectorial

iar ecuatia (68) devine

(69)

Proiectand relatia de mai sus pe cele trei axe carteziene se obtin, pentru derivatele partiale ale presiunii, expresiile

care, inlocuite in diferentiala presiunii duc la ecuatia

(70)

Prin integrarea relatiei (70) se obtine legea variatiei presiunii sub forma

sau, daca se inlocuieste x² + y² = R²,

(71)

din care se observa ca suprafetele izobare sunt paraboloizi de rotatie in jurul axei Oz.

Pentru determinarea constantei de integrare se pune ecuatiei (71) conditia la limita

la R = 0 si z = z₀ , p = p₀ ,

unde z este cota varfului paraboloidului suprafetei libere, si se gaseste

C = p +  g z ,

cu care ecuatia presiunii imbraca forma

(72)

Pentru p = p , din relatia (72) se obtine ecuatia suprafetei libere

(73)

5. Echilibrul relativ al lichidului dintr-un vas aflat in miscare de translatie uniform accelerata

Fie un vas cu lungimea l, care contine lichid pe inaltimea de repaus h₀. In timpul miscarii cu acceleratia constanta , suprafata libera a lichidului devine un plan inclinat. Pentru gasirea legii de variatie a presiunii se particularizeaza ecuatia generala a echilibrului relativ (67) in urmatoarele conditii: = -g, ==, = 0, rezultand expresia

(74)

din care, prin proiectare pe axele sistemului de referinta, se obtin ecuatiile scalare

care se inlocuiesc in diferentiala presiunii astfel

(75)

Solutia ecuatiei diferentiale (75)

(76)

arata ca suprafetele izobare (si, in mod particular, suprafata libera) sunt plane, avand panta -a/g.

Punand conditia la limita

la y = l/2 si z = h₀, p = p₀

ecuatiei (76) se obtine expresia constantei de integrare

Astfel, ecuatia (76) devine

(77)

conducand, pentru p = p , la ecuatia suprafetei libere de forma

(78)

6. Probleme

6.1. Probleme rezolvate

1. Sa se calculeze inaltimea h_t a coloanei de titei din rezervorul prezentat in figura 13, daca se cunosc urmatoarele: cotele h_a = 2 m, h_m = 0,3 m, densitatile titeiului, apei si mercurului _t = 830 kg/m³, _a = 998 kg/m³, _m = 1600 kg/m³ si presiunea absoluta a gazelor din rezervor p_g = 0,105 MPa.

Rezolvare

Variatia presiunii absolute in functie de adancime, intre capatul liber al manometrului si interfata titei - gaze din rezervor, este descrisa de ecuatia

din care se expliciteaza

si se obtine valoarea

2. Sa se calculeze adancimea minima, h, a apei, astfel incat stavilarul plan basculant din figura 14 sa se deschida, rotindu-se fata de axa orizontala ce trece prin punctul A. Se cunosc:  = 65°, a = 1 m,  = 10³ kg/m³ si latimea stavilarului b = 3 m. Se neglijeaza greutatea stavilarului, precum si fortele de frecare.

Rezolvare

Coordonatele centrului de presiune se exprima fata de un sistem de axe xOy ales astfel incat axa Ox sa apartina atat planului stavilarului, cat si planului suprafetei libere a lichidului (figura 15). Conditia de deschidere a stavilarului este ca punctul de aplicatie al rezultantei fortelor de presiune pe partea scufundata a acestuia sa se afle deasupra punctului A. Altfel spus, ordonata y_C a centrului de presiune C trebuie sa indeplineasca conditia

(79)

Pe de alta parte, conform ecuatiei (53), particularizata pentru o suprafata plana de forma dreptunghiulara, cu inaltimea partii scufundate h/sin , se poate scrie ca

(80)

iar prin egalarea ecuatiilor (79) si (80) se obtine expresia

care conduce la valoarea

Evacuarea apei dintr-un bazin se realizeaza printr-o galerie orizontala, obturata de un stavilar semicilindric, cu raza R = 40 cm si lungimea l = 60 cm, care se poate roti fata de axa orizontala ce trece prin punctul A (figura 16). Se cere sa se calculeze modulul fortei orizontale necesara pentru a mentine stavilarul inchis, cunoscand sarcina hidraulica la partea superioara a stavilarului h = 3 m si densitatea apei  = 10³ kg/m

Rezolvare

Se alege sistemul de axe la care se raporteaza componentele fortei de presiune ca in figura 17. Ecuatiile (57) iau formele particulare

unde, pentru componenta verticala F_pz s-a recurs la metoda hasurilor (figura 17). Modulul si orientarea fortei de presiune rezultante se pot determina din relatiile

Din ecuatia de momente ale fortelor fata de punctul A

se gaseste expresia

Succesiunea calculelor este urmatoarea:

4. Sa se determine modulul si orientarea rezultantei fortelor de presiune care actioneaza pe suprafata curba a vasului semicilindric din figura 18, vas care contine, in jumatatea sa superioara, un gaz sub presiune. Se cunosc urmatoarele: diametrul pistonului d = 0,25 m, raza si lungimea semicilindrului R = 2d, L = 4d, cotele h₁ = 3d, h₂ = 2d, h₃ = 3d, densitatile ₁ = 1 kg/dm³, ₂ = 0,9 kg/dm³ si modulul fortei F = 1,8 kN.

Rezolvare

Se noteaza cu h cota verticala dintre planul interfetei lichid-gaz si planul suprafetei libere virtuale. Se pozitioneaza sistemul de axe Oxyz ca in figura 19, planul xOy coincizand cu planul suprafetei libere. Din ecuatia variatiei presiunii se exprima presiunea relativa p_r la interfata lichid-gaz si cota h astfel

Asociind indicele l partii cu lichid si indicele g partii cu gaz a vasului, componentele fortei de presiune in cele doua zone au expresiile

Se compun mai intai fortele orizontale, respectiv cele verticale

apoi se determina modulul rezultantei si orientarea acesteia

Rezultatele numerice sunt prezentate in continuare.

5. In peretele despartitor, plan vertical, al unui vas deschis care contine ulei si apa, este incastrata o sfera cu diametrul d = 300 mm (figura 20). Stiind ca: h_u = 4,4 m, h_a = 3 m, _u = 905 kg/m³, _a = 998 kg/m³, se cere sa se determine modulul si orientarea rezultantei fortelor de presiune care actioneaza asupra sferei.

Rezolvare

Se divizeaza, in mod imaginar, sfera in doua emisfere, prin planul vertical al peretelui despartitor, apoi se studiaza, pe rand, fortele de presiune care actioneaza pe cele doua emisfere. Sistemele de axe se pozitioneaza ca in figura 21. Fiecare din emisfere se proiecteaza astfel: ca un disc in planul yOz, respectiv ca doua jumatati de disc suprapuse in planul xOz. Componenta verticala a fortei de presiune aferente fiecarei emisfere se stabileste folosind metoda hasurilor. Se gasesc astfel expresiile:

iar calculele decurg dupa cum urmeaza

F_px = F_pxu - F_pxa = 675,2 N , F_pz = F_pzu + F_pza = 131,9 N ,

6. Un vas cilindric vertical deschis (figura 22), cu diametrul d = 20 cm si inaltimea h = 40 cm, contine lichid pe inaltimea de repaus h₁ = 30 cm si se roteste uniform in jurul axei sale de simetrie. Se cere sa se determine urmatoarele:

a) turatia n₁ la care suprafata libera a lichidului atinge limita superioara a vasului;

b) turatia n₂ la care suprafata libera a lichidului atinge fundul vasului, precum si inaltimea h₂ a lichidului din vas dupa oprire.

Rezolvare.

a) Fie A un punct de pe gura vasului, care apartine suprafetei libere (figura 23), deci coordonatele sale (R = d/2, z = h) satisfac ecuatia suprafetei libere (73), care devine

Pentru aflarea expresiei cotei varfului paraboloidului z₀₁ se egaleaza volumul de lichid din vas in repaus cu cel din timpul rotirii uniforme cu turatia n₁:

Relatia dintre viteza unghiulara si turatie este

Cu datele problemei se obtin valorile

b) Cand paraboloidul suprafetei libere atinge baza vasului, punctul A continua sa apartina suprafetei libere si, in plus, z₀₂ = 0, deci ecuatia (73) ia forma

Daca se egaleaza volumul de lichid din vas in timpul rotirii uniforme cu turatia n₂ cu cel de dupa oprire, se afla expresia cotei h₂:

Valorile numerice sunt:

6.2. Probleme propuse

7. La un rezervor, care contine apa si aer, este racordat un manometru, format din doua tuburi in forma de U, cuplate in serie (figura 24). Cunoscand: h₁ = 2 m, h₂ = 0,7 m, h₃ = 1,8 m, h₄ = 0,5 m, h₅ = 2,4 m, _a = 10³ kg/m³, _m = 1600 kg/m³, se cer valorile absoluta si relativa ale presiunii aerului din rezervor.

8. Sistemul din figura 25 contine trei lichide nemiscibile, cu densitatile: ₁ = 780 kg/m³, ₂ = 900 kg/m³, ₃ = 860 kg/m³, si un gaz. Cunoscand: R = 5 cm, d = 4 cm, h₁ = 24 cm, h₂ = 16 cm, h₃ = 8 cm, h₄ = 12 cm si presiunea p_m = 2,4 bar, se cere sa se determine:

a) presiunea relativa a gazului;

b) modulul fortei care actioneaza asupra pistonului.

9. Sa se calculeze valorile absolute si relative ale presiunilor din centrele A si B ale rezervoarelor sferice din figura 26, cunoscand: h₁ = 1 m, h₂ = 1,8 m, h₃ = 1,5 m, h₄ = 1,2 m, h₅ = 0,8 m, ₁ = 1,05 kg/dm³, ₂ = 1 kg/dm³, ₃ = 1,1 kg/dm³, ₄ = 1,2 kg/dm³, d = 5 cm si F = 5 kgf.

10. Sa se calculeze inaltimea de vacuum, exprimata in mm Hg si in mm H₂O, din camera cu aer K, pusa in comunicatie cu manometrul cu doi cilindri din figura 27, care contine volume egale de apa cu densitatea _a = 1.000 kg/m³ si ulei cu densitatea _u = 920 kg/m Se mai cunosc: D = 40 mm, d = 4 mm si h = 300 mm.

11. Gura de evacuare a apei, prevazuta in peretele lateral al barajului din figura 28, este obturata de un stavilar plan, cu dimensiunile b = 2,5 m, h = 2 m si c = 0,3 m, care se poate deplasa pe peretele barajului sub actiunea fortei . Stiind ca:  = 70°,  = 10³ kg/m³, sarcina hidraulica la baza gurii de evacuare H = 20 m, greutatea stavilarului G = 2,2 tf si coeficientul de frecare dintre stavilar si peretele barajului  = 0,35, se cere sa se determine modulul fortei .

12. Un vas paralelipipedic inchis, cu dimensiunile L, b si H, este cuplat, printr-un tub vertical, cu un cilindru cu piston, asupra caruia actioneaza forta (figura 29). Cunoscand: F = 1,8 kN, d = 0,1 m, h₁ = 1,3 m, h₂ = 0,9 m, h₃ = 1,5 m, ₁ = 10³ kg/m³, ₂ = 1.200 kg/m³, H = 1,6 m si L = 0,5 m, se cere sa se determine:

a) valorile absoluta si relativa ale presiunii gazului din vas;

b) rezultanta fortelor de presiune care actioneaza pe unul din peretii de dimensiuni L si H ai vasului.

1 Rezervorul paralelipipedic din figura 30 are dimensiunile L, b, H si contine titei si gaze. Cunoscand: L = 2 m, H = 4 m, h₁ = 1 m, h₂ = 0,6 m, h₃ = 3 m, _t = 860 kg/m³ si _m = 1600 kg/m³, se cere sa se calculeze:

a) valorile absoluta si relativa ale presiunii gazelor din rezervor;

b) rezultanta fortelor de presiune care actioneaza pe unul din peretii de dimensiuni L si H ai rezervorului.

14. Evacuarea apei dintr-un bazin se realizeaza printr-o galerie orizontala, obturata de o placa patrata, cu latura a = 0,8 m, care se poate roti fata de axa orizontala ce trece prin punctul A (figura 31). Se cere sa se calculeze modulul fortei orizontale necesara pentru a mentine placa in pozitie inchisa, cunoscand sarcina hidraulica la partea superioara a placii h = 2,5 m si densitatea apei  = 10³ kg/m

15. Rezervorul paralelipipedic deschis din figura 32 este prevazut, intr-unul din peretii laterali, cu o deschidere de forma dreptunghiulara, obturata cu un capac, format dintr-un semicilindru si doua jumatati de disc. Cunoscand: valoarea presiunii relative la baza capacului p_r = 13,8 kPa, densitatea titeiului din rezervor  = 880 kg/m³, raza si lungimea semicilindrului R = 0,6 m, respectiv l = 2,8 m, se cere sa se determine modulul si orientarea rezultantei fortelor de presiune pe suprafata semicilindrica.

16. Sa se calculeze modulul si orientarea rezultantei fortelor de presiune care actioneaza asupra stavilarului cilindric din figura 33, cunoscand urmatoarele: d = 2,4 m, h₁ = d, h₂ = d/2, lungimea cilindrului l = 4 m si densitatea apei  = 10³ kg/m

17. O palnie cu capac (figura 34), care poate culisa vertical, fara frecare, intr-un tub vertical, se afla in echilibru cu o coloana de lichid. Neglijand greutatea palniei si cunoscand raportul D/d = 4, se cere sa se calculeze valoarea raportului H/h.

18. Un vas tronconic, de dimensiuni: d = 10 cm, D = 18 cm, h₁ = 30 cm, comunica, printr-un tub in forma de U al carui diametru este neglijabil, cu o coloana de lichid (figura 35). Cunoscand h₂ = 1 m si  = 960 kg/m³, se cere sa se determine modulul si orientarea rezultantei fortelor de presiune care actioneaza asupra vasului.

19. Palnia cu capac din figura 36 contine un gaz, a carui presiune este indicata de un manometru cu mercur. Cunoscand: d = 5 cm, D = 40 cm, h = 50 cm, h_m = 32 cm, _m = 1600 kg/m³, se cere sa se calculeze:

a) rezultanta fortelor de presiune care actioneaza pe suprafata laterala a palniei;

b) rezultanta fortelor de presiune pe capacul palniei.

20. Un corp de forma paralelipipedica, cu dimensiunile: b = 20 cm, l = 40 cm, h = 10 cm, se afla in echilibru, in pozitia indicata (figura 37), intr-un vas deschis, care contine apa si ulei. Stiind ca: h₁ = 2 cm, _a = 10³ kg/m³, _u = 900 kg/m³, se cere sa se determine densitatea materialului din care este confectionat corpul.

21. Rezervorul deschis din figura 38 este prevazut, intr-unul din peretii laterali, inclinat cu unghiul  = 60° fata de orizontala, cu un capac, format dintr-un semicilindru si doua jumatati de disc. Cunoscand: R = 0,6 m, h = 2,3 m, lungimea capacului l = 3 m si densitatea apei sarate din vas  = 1.115 kg/m³, se cere sa se determine modulul si orientarea rezultantei fortelor de presiune care actioneaza pe suprafata semicilindrica.

22. Se considera sistemul din figura 39. Cunoscand urmatoarele: F = 1 kN, d = 15 cm, R = 30 cm, h₁ = 40 cm, h₂ = 50 cm, h₃ = 70 cm, ₁ = 1 kg/dm³, ₂ = 1,15 kg/dm³, se cere sa se determine:

a) valorile absoluta si relativa ale presiunii gazului;

b) rezultanta fortelor de presiune care actioneaza asupra vasului.

2 Sa se determine modulul si orientarea rezultantei fortelor de presiune care actioneaza pe suprafata curba, de forma semicilindrica, a vasului din figura 40, cunoscand urmatoarele:  = 30°, F = 1,2 kN, d = 0,2 m, h₁ = 2d, h₂ = 4d, R = 3d, lungimea vasului L = 2d, ₁ = 1 kg/dm³, ₂ = 0,8 kg/dm

24. Cunoscand urmatoarele: F = 6 kgf, d = 8 cm, h₁ = 50 cm, h₂ = 30 cm, h₃ = 60 cm, R = 25 cm,₁ = 900 kg/m³, ₂ = 850 kg/m³ (figura 41) se cere sa se determine:

a) valoarea presiunii relative in centrul rezervorului sferic;

b) modulul si orientarea rezultantei fortelor de presiune care actioneaza asupra rezervorului.

25. Sa se determine modulul si orientarea rezultantei fortelor de presiune care actioneaza pe suprafata curba a vasului emisferic din figura 42, vas care contine, in jumatatea sa superioara, un gaz sub presiune. Se cunosc urmatoarele: diametrul pistonului d = 0,25 m, raza emisferei R = 2d, cotele h₁ = 3d, h₂ = 2d, h₃ = 3d, densitatile ₁ = 1 kg/dm³, ₂ = 0,9 kg/dm³ si modulul fortei F = 1,8 kN.

26. Sa se determine modulul si orientarea rezultantei fortelor de presiune care actioneaza pe suprafata curba (trei sferturi de cilindru) a vasului din figura 43, cunoscand urmatoarele: h₁ = 1 m, h₂ = 0,6 m, h₃ = 0,8 m, R = 0,8 m, lungimea vasului L = 1,2 m, diametrul pistonului d = 10 cm, F = 0,2 kN si densitatile celor doua lichide nemiscibile ₁ = 960 kg/m³, ₂ = 880 kg/m

27. Sa se determine modulul si orientarea rezultantei fortelor de presiune care actioneaza pe suprafata trei sferturi de cilindru a vasului din figura 44. Se cunosc: F = 0,36 kN, d = 100 mm, ₁ = 1 kg/dm³, ₂ = 0,9 kg/dm³, h₁ = 2 m, h₂ = 1,2 m, R = 1,5 m si lungimea vasului L = 1,2 m.

28. Sa se determine modulul rezultantei fortelor de presiune care actioneaza pe suprafata curba a vasului din figura 45. Se cunosc urmatoarele: diametrul pistonului d = 20 cm, raza cilindrului R = 30 cm, cotele h₁ = 40 cm, h₂ = 25 cm, h₃ = 25 cm, h₄ = 35 cm, h₅ = 50 cm, densitatile celor trei lichide nemiscibile ₁ = 1.000 kg/m³, ₂ = 960 kg/m³ si modulul fortei care actioneaza asupra pistonului F = 1 kN.

29. Se cere rezultanta fortelor de presiune care actioneaza pe suprafata curba, de forma conica, a vasului din figura 46, cunoscand: F = 18 kgf, d = 0,1 m, h₁ = 1,2 m, h₂ = 0,5 m, R = 0,7 m, h^* = 2 m, ₁ = 0,9 kg/dm³, ₂ = 0,78 kg/dm

30. In peretele despartitor, plan vertical, al vasului din figura 47 este incastrata o sfera, cu diametrul d = 30 cm, confectionata din lemn cu densitatea _s = 620 kg/m Cunoscand: h_a = 4 m, _a = 10³ kg/m³ si _u = 905 kg/m³, sa se determine:

a) inaltimea h_u a uleiului, astfel incat rezultanta componentelor orizontale ale fortei de presiune care actioneaza asupra sferei sa fie nula;

b) rezultanta fortelor verticale asupra sferei.

31. Un vas paralelipipedic, cu dimensiunile L, l si H, contine lichid pe inaltimea de repaus h = H/4 si are o miscare de translatie uniform accelerata (figura 48). Stiind ca L = 2H, se cere sa se calculeze valorile acceleratiei vasului cu lichid in urmatoarele situatii:

a) cand suprafata libera a lichidului trece prin punctul A;

b) cand suprafata libera a lichidului trece prin punctul B, situat la jumatatea lungimii vasului.

32. Se cere sa se calculeze volumul de lichid ramas intr-un vas cilindric vertical deschis, cu diametrul d = 25 cm si inaltimea h = 35 cm, initial plin cu lichid, in timpul rotirii acestuia cu turatia n = 350 ture/min.

3 Un vas cilindric vertical, inchis cu capac, avand diametrul d = 30 cm si inaltimea h = 15 cm, contine lichid pe inaltimea de repaus h₁ = 3h/4 si se roteste uniform in jurul axei sale de simetrie. Se cere sa se calculeze turatia n a vasului atunci cand suprafata libera a lichidului atinge baza vasului.