STUDIUL DINAMICII STATISTICE PRIN ANALIZA SPECTRALA

1. ANALIZA IN FRECVENTA

Analiza in frecventa a datelor experimentale (analiza spectrala a acestora) asigura in principal urmatoarele [18; 55; 56; 66]:

- stabilirea spectrului de frecvente pentru diferite marimi functionale;

- stabilirea frecventelor proprii ale sistemului vizat;

- stabilirea componentelor armonice cu aport energetic ridicat din seriile experimentale, deci a acelor componente care au contributia hotaratoare in dinamica autovehiculului (seria Fourier fiind teoretic infinita

- compararea comportarii in domeniul frecventei pentru diferite conditii de deplasare ale automobilului;

- determinarea frecventei de esantionare in vederea stabilirii modelelor matematice ce descriu comportarea in regim dinamic in timp continuu a automobilului si elementelor sale componente (a ecuatiilor diferentiale);

Din experimentari rezulta valori discrete si deci calculele trebuie efectuate in timp discret (numar de valori), caz in care se utilizeaza transformata Fourier discreta (DFT-Discrete Fourier Transform) pentru seria dinamica experimentala y(n), notata si y_n. Daca numarul de valori N al seriei experimentale este un multiplu de 2ⁿ, atunci se aplica transformata Fourier rapida (FFT- Fast Fourier Transform), care se calculeaza cu relatia:

(12)

unde s-a considerat ca marimea discreta y(n) este esantionata la timpii t(n) cu pasul de esantionare dt. Pasul de esantionare dt, notat si T_s (care reprezinta inversul frecventei de esantionare f_s), se adopta astfel incat diferentele dintre valorile curbei continui si valorile curbei discretizate sa fie minime (eroarea de discretizare sa fie minima) [107; 137].

La analiza in frecventa mai trebuie mentionat un aspect practic si anume faptul ca valorile frecventelor cu aport energetic ridicat au legatura cu frecventele proprii.

Astfel, la viteza de deplasare v se are in vedere ca frecventa de rotatie a rotii este data de relatia cunoscuta:

(16)

cu r_r raza de rulare a rotii.

Pentru marimile aferente motorului (de exemplu momentul motor) se are in vedere frecventa ciclurilor functionale (cu =4 numarul de timpi ai motorului) [66]:

(17)

Fig.1

Spre exemplu, in fig.1 se prezinta amplitudinea relativa Fourier (valorile curente impartite la cea maxima) a vitezei pentru toate cele 64 probe experimentale. Conform teoremei lui Shannon, frecventa de esantionare ar trebui sa fie cel putin dubla frecventei maxime[110]; din acest motiv s-a adoptat frecventa de esantionare f_s=40 Hz.

2. DINAMICA SPECTRALA A AUTOMOBILULUI

Studiul dinamicii spectrale se bazeaza pe o abordare sistemica a miscarii automobilului si are drept scop stabilirea functiilor de transfer. In acest scop se procedeaza similar ca la analiza de corelatie, adica se stabileste una sau mai multe marimi rezultative (cazul frecvent utilizat este cel cu o singura marime si

una sau mai multe marimi factoriale. Din punct de vedere sistemic, marimea rezultativa constituie variabila de iesire, iar marimile factoriale (factorii de influenta) variabile de intrare.

Daca exista o singura marime de intrare oarecare x(t) si doar una de iesire y(t), atunci se spune ca exista un sistem monovariabil la intrare si monovariabil la iesire (SISO - Single Input Single Output). In acest caz ecuatiile dinamicii statistice (aici dinamica spectrala) sunt [32; 33]

  (18)

unde  reprezinta frecventa.

In plus, in expresiile (18) exista:

 - densitatea spectrala de putere a marimii de iesire (monospectrul iesirii), care este o marime reala;

 - densitatea spectrala de putere a marimii de intrare (monospectrul intrarii), o marime reala;

 - densitatea spectrala mutuala de putere intre marimea de intrare si cea de iesire (interspectrul), care este o marime complexa;

  - functia de transfer (transferul energetic intre intrare si iesire , o marime complexa

Deoarece spectrele de putere S₍.₎ se stabilesc pe baza datelor experimentale, rezulta ca din prima expresie a relatiilor (18) rezulta functia de transfer (o marime complexa

(19)

iar din a doua amplitudinea (modulul) functiei de transfer (o marime reala

           (20)

Se pot stabili functiile de transfer in cazul a mai mult de doua marimi de intrare; de exemplu in cazul a m marimi de intrare:

(24)

de unde se obtin functiile de transfer aferente W

In fig.18 se prezinta interspectrul si amplitudinea functiei de transfer moment motor-viteza automobil, dar pentru toate cele 64 probe experimentale. Graficul din fig.18a arata, de exemplu, ca desi interspectrul are valori mici in plaja 0-2 Hz, la unele probe transferul energetic este mare, asa cum se constata din fig.18b.

Fig.18

3. ANALIZA DE COERENTA

Analiza spectrala mai asigura si studiul corelarii datelor experimentale, dar evident in domeniul frecventei [33; 55]; anterior a fost abordata analiza de corelatie in domeniul timpului.

Pentru un sistem SISO (multivariabil la intrare si la iesire) se utilizeaza functia de coerenta, definita prin relatia, pentru doua serii dinamice x(t) si y(t):

              (25)

unde cu S₍.₎ s-au notat densitatile spectrale de putere bilaterale (cu limite simetrice: ), care se stabilesc pe baza datelor experimentale; functia de coerenta are valori in plaja:

                   (26)

Avand in vedere expresia coeficientului de corelatie prezentata anterior, rezulta ca functia de coerenta reprezinta, la fiecare frecventa, patratul coeficientului de corelatie.

Daca sistemul este liniar, atunci, utilizand relatiile (18), se obtine:

                           (27)

Asadar, daca sistemul este liniar, functia de coerenta are valoare unitara (anterior s-a aratat ca la un sistem liniar si patratul coeficientului de corelatie  are valoare unitara).

Cum practica a dovedit ca sistemele reale sunt neliniare, rezulta ca <1. Mai mult, in cazul in care <1, exista urmatoarele cauze [33]

- sistemul nu este liniar;

- exista si alte marimi la intrare, care nu sunt luate in considerare (intentionat sau nu

Daca exista doua marimi la intrare (deci doua variabile factoriale), atunci se obtin doua functii de coerenta:

               (28)

si respectiv

             (29)

in aceste expresii toate marimile fiind stabilite pe baza datelor experimentale.

Pe baza functiei de coerenta se pot stabili semnalul util S si zgomotul Z dintr-o serie dinamica oarecare marimea rezultativa y . In acest scop se utilizeaza ecuatiile, pentru o marime oarecare y

(30)

Din ecuatiile (30) se obtin semnalul util S si zgomotul Z:

(31)

Trebuie aratat ca prin zgomot se intelege in acest caz "zgomotul modelului", adica marimea ce indica abaterea seriei dinamice experimentale fata de cea obtinuta pe baza regresiei liniare.

Graficele din fig.32 (cu marimea rezultativa viteza automobilului si variabila factoriala turatia motorului - coloana din stanga; cu marimea rezultativa viteza automobilului si variabila factoriala pozitia clapetei obturatoare - coloana din dreapta) arata ca in general transferul energetic este ridicat (valori mari ale amplitudinii functiei de transfer) la frecventele la care functia de coerenta are valori mari.

Fig.32

Se poate concluziona ca analiza in frecventa a datelor experimentale permite depistarea componentelor armonice cu aport energetic ridicat, adica a acelor componente care au contributia majora in dinamica automobilului; in acest sens o mare importanta o are stabilirea corecta a frecventei de esantionare, obtinuta prin aplicarea teoremei lui Shannon si care permite stabilirea ecuatiilor diferentiale ale dinamicii automobilului.

In plus, analiza de coerenta a datelor evidentiaza existenta unor dependente neliniare intre marimile functionale, ceea ce indica necesitatea studiului si a dinamicii neliniare a automobilului.