TORSOR MINIM. AXA CENTRALA

TORSOR MINIM. AXA CENTRALA

Reducand un sistem de forte apartinand unui solid rigid in diferite puncte ale spatiului, se vor obtine torsori diferiti, avand acelasi vector rezultant dar, vectori moment rezultant diferiti dupa cum se observa din relatia (2.31). Totusi, proiectia vectorului moment rezultant pe directia vectorului rezultant se va pastra constanta indiferent de punctul de reducere al torsorului sistemului de forte.

Exista insa puncte pentru care torsorul de reducere are o valoare minima, adica vectorul moment rezultant calculat in raport cu un astfel de punct este coliniar cu vectorul rezultant.

Fie punctul P, (fig. 2.15), un astfel de punct care se bucura de proprietatea torsorului minimal. Daca torsorul sistemului de forte s-a calculat in prealabil in raport cu punctul O, ales arbitrar, atunci conform teoremei momentelor, momentul rezultant al sistemului de forte calculat in raport cu acest punct este:

pentru

(2.38)

Deoarece este coliniar cu , conditia de coliniaritate fiind , si relatia (2.38) se mai poate scrie:

(2.39)

Dar, daca punctul P se bucura de proprietatea de a fi un punct de torsor minimal, atunci toate punctele situate pe dreapta (D) care trece prin punctul P se bucura de aceeasi proprietate. Pentru a arata acest lucru se va considera un punct Q pe axa (D) si se va aplica teorema momentelor in raport cu acest punct

(2.40)

Dar: , deoarece cei doi vectori sunt coliniari si rezulta . Acest lucru inseamna ca exista o dreapta (D) in spatiu, pentru sistemul de forte dat, loc geometric al punctelor de torsor minimal, iar aceasta dreapta se numeste axa centrala. Ecuatia vectoriala a axei centrale este data de ecuatia (2.39), a carei ecuatie analitica se determina folosind expresiilor analitice ale vectorilor respectivi, adica

(2.41)

Prin identificarea coeficientilor versorilor axelor de coordonate din cele doua parti ale ecuatiei (2.41), rezulta:

(2.42)

iar prin eliminarea parametrului l din aceste ecuatii scalare rezulta sirul de egalitati

(2.43)

Aceasta este expresia analitica a ecuatiei axei centrale. Dupa cum se observa, ea reprezinta, din punct de vedere analitic intersectia a doua plane.

Torsorul unui sistem de forte reprezentat fata de un punct de pe axa centrala este cea mai simpla forma in care se poate exprima efectul unui sistem general de forte. Totusi aceasta forma de reprezentare are o aplicare limitata deoarece in mecanica, mai ales in partea sa de dinamica, se obisnuieste ca punctul de calcul al torsorului sistemului de forte sa fie tocmai centrul de masa al corpului si axa centrala isi pierde importanta.