Alegeri optimale la nivelul consumatorului, pe piata produselor si serviciilor

Teoria consumatorului rational presupune ca acesta, capabil de a efectua optiuni coerente, va incerca sa obtina maximum de avantaje din resursele disponibile.

Alegerea optimala a consumatorului va depinde astfel de functia de utilitate (reprezentata grafic de ansamblul curbelor de indiferenta) si totakul resurselor sale, si anume atunci cand pentru un buget dat si preturi ale bunurilor de consum determinate consumatorul beneficiaza de utilitate.

Dreapta bugetului

In cazul a doua bunuri( implementat prin softul alaturat) :

Cantitatile de bunuri fiind notate x si y, pretul unitar al fiecaruia fiind p_x respectiv p_y, cheltuiala totala este de xp_x+yp_y u.m. care trebuie sa se incadreze in disponibilul de V u.m., deci V=xp_x+yp_y

fiecare dintre punctele segmentului PS reprezinta o cheltuiala identica cu o alocare diferita intre cantitatile cumparate; domeniul de optiune a consumatorului este restrans la triunghiul OPS

Punctul M de tangenta al dreptei bugetului la o curba de indiferenta reprezinta combinatia optima de bunuri, in care raportul dintre utilitatile marginale este egal cu raportul preturilor

Punctul de optim poate fi determinat analitic prin metoda multiplicatorului Lagrange:

Se disting situatiile urmatoare, (aflate in dualitate) :

a)     cunoscand restrictia de buget, se poate determina nivelul maxim de utilitate ce poate fi atins, cu venitul respectiv.

b)     cunoscand nivelul de utilitate, se doreste minimizarea venitului necesar pentru obtinerea utilitatii impuse.

In situatia a doua bunuri:

Maximizarea utilitatii

Din punct de vedere formal, aceasta situatie este descrisa prin intermediul modelului urmator:

-se presupune existenta unui vector X(x1,x2), cu preturile p1 si p2

- preturile p1 si p2, precum si venitul consumatorului V sunt variabile endogene(cunoscute)

Max U(x)

pe restrictia de buget: (1)

p1*x1+p2*x2=V

Rezolvand (1) se obtine cererea optima din cele doua bunuri, la nivelul consumatorului:

x1(opt) =x1(p1,p2,V)

x2(opt)=x2(p1,p2,V) 

Problema de optim la nivelul consumatorului este:

si are urmatoarea rezolvare:

Pasul 1: fiind o problema clasica de extrem cu legaturi, se construieste Lagrangeanul problemei:

Pasul 2: Conditiile necesare de optim:

de unde se deduce ca:

sau mai mult:

Rezolvand sistemul se obtine cererea optima din cele doua bunuri, la nivelul consumatorului:

cunoscuta si sub numele de cerere necompensata sau cerere Walrasiana (sau de tip Marshall).

Pasul 3:Conditia suficienta de optim este ca diferentiala totala de ordinul 2 a Lagrangeanului in punctul sa fie negativa.

Interpretarea economica a multiplicatorului lui Lagrange (λ):

Aplicand diferentiala totala in problema atat functiei de utilitate cat si restrictiei de buget, se obtine:

Substituind sidin primele doua ecuatii ale sistemului in sistemul avem: si deci adica utilitatea marginala a venitului (cu cat creste utilitatea la o crestere cu o unitate a venitului).

Revenind la figura 1 se observa ca, pentru atingerea unui nivel cat mai mare de utilitate, venitul consumatorului urmeaza a se consuma in intregime. Pe de alta parte consumand intregul venit disponibil V, se poate realiza nivelul de utilitate si respectiv . Dar cum scopul consumatorului este de a-si maximiza satisfactia, rezulta ca alegerea optima este aceea pentru care dreapta de buget este tangenta la o curba de indiferenta, adica panta dreptei bugetului este egala cu panta curbei de indiferenta, .

A doua situatie - este aceea in care cunoscand vectorul preturilor bunurilor p si nivelul de utilitate dorit a fi obtinut , consumatorul are de rezolvat problema de optim:

a carei rezolvare necesita pasii urmatori:

Pasul 1. Se construieste Lagrangeanul problemei:

Pasul 2. Conditiile necesare de optim:

de unde:

sau

Rezolvand sistemul dat de conditiile necesare de optim, se obtine cererea optima din cele doua bunuri in acest caz:

cunoscuta si sub numele de cerere compensata sau de tip Hicks.

Pasul 3. Conditia suficienta de optim este ca diferentiala totala de ordinul 2 a Lagrangeanului in punctul sa fie negativa.

Intr-o prezentare grafica, avem:

Figura 2.Alegerea optima  atunci cand utilitatea consumatorului si vectorul preturilor bunurilor sunt cunoscute

Asa dupa cum se poate observa, cu venitul nu se poate obtine nivelul de utilitate dorit , in timp ce venitul permite obtinerea nivelului de utilitate dar si a unui nivel de utilitate superior .

In consecinta alegerea optima se face in acel punct unde o dreapta a bugetului este tangenta la curba de indiferenta data (similar cu cazul anterior, panta dreptei bugetului sa fie egala cu panta curbei de indiferenta).

Alegeri optimale in functie de tipul preferintelor (al bunurilor)

In continuare vom analiza alegerea optima la nivelul consumatorului in cazul cererii necompensate (Walrasiene sau de tip Marshall), in functie de tipul preferintelor (bunurilor).

Pentru bunuri substituibile - cererea Marshalliana se determina din rezolvarea problemei de optim:

parametrii dati;

parametrii (sunt marimi cunoscute)

Rezolvarea numerica:

se construieste Lagrangeanul problemei:

conditiile de ordinul I (CNO):

Din a doua relatie a ultimului sistem se deduce ca:

sau mai mult

atunci cand: .

Grafic, trasand dreapta bugetului si cateva curbe de indiferenta avem:

Figura 3. Alegerea optima in cazul bunurilor substituibile si , respectiv .

Asa cum se observa si din figura 3, atunci cand panta dreptei bugetului este egala cu panta curbei de indiferenta, alegerea optima a consumatorului este:

Daca (deci panta curbelor de indiferenta este mai abrupta decat panta restrictiei de buget) cererea necompensata va fi:

deoarece cu venitul V si vectorul preturilor se asigura utilitatea maxima in punctul A.

Ultima situatie posibila, cand , conduce la alegerea optima:

Observatie: Solutiile aflate ca intersectie cu axele, corespund cazului cand bunurile sunt perfect substituibile (se poate consuma numai dintr-un bun din pachetul format de cele doua tipuri de bunuri).

Figura 4. Alegerea optima in cazul bunurilor substituibile si

Deoarece cu ajutorul venitului V, consumatorul poate sa satisfaca atat nivelul de utilitate (in punctul C), cat si nivelul de utilitate (in punctul D) si pentru ca > rezulta ca alegerea optima este in punctul D, ce coincide cu solutia optima scrisa mai inainte.

Pentru bunuri complementare - cererea Marshalliana se determina din rezolvarea problemei de optim:

Grafic avem:

Figura 5. Alegerea optima in cazul bunurilor complementare

Dupa cum se constata din figura 5, cu venitul V se poate realiza nivelul de utilitate dar si . Consumatorul avand ca obiectiv maximizarea satisfactiei si cum >, se deduce ca punctul C este cel optim.

Pentru acest punct si de asemenea este indeplinita restrictia de buget .

Solutia optima la nivelul consumatorului este:

Pentru preferinte de tip Cobb-Douglas - problema de optim ce urmeaza a fi rezolvata la nivelul consumatorului este:

Conditia necesara de optim (CNO) conduce la relatia:

sau

de unde:

Substituind in restrictia de buget, se obtine ca cererea Marshalliana este:

Observatie:

Calculand ponderea cheltuielilor cu bunul 1 in total venit, respectiv ponderea cheltuielilor cu bunul 2, se constata ca:

, respectiv ;

Daca atunci se observa ca parametrul reprezinta ponderea consumului din bunul 1 in bugetul consumatorului, iar semnifica ponderea consumului din bunul 2 in bugetul consumatorului.

Pentru preferinte concave - conditia de tangenta a dreptei bugetului la curba de indiferenta se constata, din acest caz, ca este necesara dar nu si suficienta.

Daca avem situatia urmatoare:

Figura 6. Alegerea optima in cazul preferintelor neconvexe

Punctele A,B,C indeplinesc conditia de tangenta, dar numai punctele A si B sunt de optim, deoarece punctul C se afla pe o curba de indiferenta de un nivel inferior (<). Mai mult, alegerile optime corespunzatoare punctelor A si B sunt indiferente consumatorului (ambele aduc aceeasi satisfactie).

Pentru preferinte concave - alegerea optima este redata de figura urmatoare:

Figura 7. Alegerea optima in cazul preferintelor concave

Cu ajutorul venitului V se poate realiza nivelul de utilitate (punctul A), (punctul B), (punctul C). Dar cum << rezulta ca alegerea optima va fi in punctul C, adica cererea Marshalliana este data de:

Pentru cazul pachetelor care includ un bun neutru, respectiv un produs rau - alegerea optima este data de:

unde bunul 2 a fost presupus neutru, respectiv rau.

O data cu introducerea restrictiei de buget, multimea consumurilor posibile s-a micsorat, ceea ce conduce la ideea ca nivelul de utilitate ce poate fi satisfacut cu venitul respectiv este limitat.

Similar, atunci cand este cunoscut nivelul de utilitate ce se doreste a fi atins, venitul cu care se poate realiza acest nivel de utilitate poate fi foarte diferit, fiind impus totusi un nivel minim.

Apar astfel doua situatii, a caror rezolvare se impune la nivelul unui consumator. Prima situatie ar fi aceea cand, cunoscand restrictia de buget, se poate afla nivelul maxim de utilitate ce poate fi obtinut cu venitul respectiv.

Fie pentru aceasta cazul unui consumator ce doreste sa cumpere doua tipuri de bunuri, ale caror preturi unitare sunt p₁ si p₂, si care dispune de un venit V, cu:

reprezentand restrictia de buget.

Analizand situatia in cazul preferintelor convexe si stiind ca oricare ar fi doua curbe de indiferenta acestea nu se intersecteaza si mai mult sunt convexe, problema care se pune la nivelul consumatorului este identificarea nivelului maxim de satisfactie ce poate fi atins dispunand de venitul V.

Avem urmatoarea reprezentare grafica:

Figura 1 Alegerea optima atunci cand venitul consumatorului si vectorul preturilor bunurilor sunt cunoscute.

Dupa cum reiese si din figura 3.1, cunoscand venitul de care dispune consumatorul si vectorul preturilor bunurilor ce formeaza pachetul respectiv, se poate determina utilitatea maxima ce poate fi realizat in aceste conditii.

Modificari la nivelul resurselor

Echilibrul consumatorului a fost studiat pentru cazul in care agentul economic dispune de un buget determinat. Daca nivelul constrangerii se modifica ( preturile bunurilor ramanand fixe) , dreapta bugetlui se deplaseaza paralel cu ea insasi: catre dreapta daca constrangerea slabeste, catre stanga daca aceasta se accentueaza; astfel domeniul de optiune al consumatorului se mareste sau se micsoreaza.

Pentru fiecare nivel al venitului putem determina optimul consumatorului . Fiecare dintre punctele de echilibru reprezinta cea mai buna optiune pentru un venit dat. Daca unim ansamblul punctelor de echilibru , obtinem curba consumatorului in raport cu venitul care arata modul in care combinatiile de bunuri consumate variaza in functie de evolutia venitului consumatorului, preturile lor relative ramanand constante.

Primul caz este cel mai frecvent: atunci cand venitul creste, cantitatile corespunzatoare din cele doua bunuri se maresc si ele, dr structura de consum variaza: consumul din bubnul y se amplifica mai mult decat cel din bunul x.

Graficul b prezinta ipoteza deosebita in care consumul celor doua bunuri sporeste in aceeasi proportie, corespunzand cazului cand functia de utilitate este o functie omogena de gradul unu.

In figura c este prezentat cazul bunurilor inferioare: atunci cand venitul creste, poate avea loc o scadere in cantitatea consumata din unul dintre bunuri.modificari in structura preturilor bunurilor

Aceasta problema poate fi tratata considerand p_x fix si p_y variabil. Dreapta bugetului se roteste atunci in jurul punctului sau de intersectie cu axa ordonatelor( v/p_y) fiind fix din ipoteza), spre stanga sau spre dreapta dupa cum pretul scade sau creste.

In cazul in care pretul bunului x scade rezulta trecerea la un nivel de utilitate mai ridicat pentru consumator, ata in cazul bunurilor complementare( cand structura de consum ramane fixa) cat si la bunuri substituibile, caz in care se poate diferentia efectul de venit( de sens variabil) de cel de substitutie(care are intotdeauna acelasi sens dar poate fi nul cand bunurile sunt complementare)

Exemplu numeric:

Presupunem ca preferintele unui consumator sunt convexe, de tip Cobb-Douglas

U(x1,x2)=x1*x2

Se cunosc de asemenea p1=4 um, p2=2 um, si venitul V=120 u.m

Se cere sa se determine mixul optim de cantitati care se utiliza in consum.

Modelul matematic al problemei anterioare este urmatorul:

(Max) U(x)=x1*x2

pe restrictia de buget:

4*x1+2*x2=120

Deoarece este o problema de extrem cu legaturi, se poate rezolva prin intermediul multiplicatorilor lui Lagrange.

Utilizand pachetul de programe Mathematica s-a obtinut urmatoarea combinatie optima:

x1=15, x2=30, l=15/2 (multiplicatorul lagranjean)

Interpretare economica:

a)     Pachetul care va aduce consumatorului utilitate maxima va fi constituit din 15 bucati din bunul 1 si 30 bucati din bunul 2.

b)    Relaxarea bugetului cu o unitate monetara, de la 120 um la 121 um va conduce la cresterea utilitatii maxime cu 15/2.

c) Utilitatea maxima care se obtine daca se consuma pachetul format din cele doua bunuri este 450.

Este interesant de studiat comportamentul consumatorului, atunci cand pretul bunului "i", de exemplu se reduce cu 1 unitate monetara.

Bunul "i" se considera a fi normal daca cererea creste atunci cand pretul acestui bun scade.

Bunul "i" se considera a fi Giffin daca cererea scade atunci cand pretul acestuia scade.

Astfel, in situatia in care pretul primului bun se reduce de la 4 u.m la 3 u.m, cererea optima, care asigura maximizarea utilitatii consumatorului va fi formata din 20 bucati din primul bun, si 30 unitati din bunul 2.Deci bunul 1 este bun normal.Si in cazul celui de-al doilea bun, lucrurile se petrec la fel, reducerea pretului acestuia cu o unitate monetara aducand un spor al cererii de 30 unitati pe situatia de optimalitate.

Se mai remarca un aspect extrem de interesant:o relaxare a bugetului cu o unitate monetara, va conduce, in situatia de optimalitate, la o valoare a multiplicatorului lagranjean de 121/16 (7.56).Procesul continua si pentru o valoare a bugetului de 122 um se obtine l=7.625, iar pentru 123 um, multiplicatorul devine l

Unor cresteri constante ale resurselor financiare le corespund cresteri din ce in ce mai mari ale multiplicatorului.

Pentru vizualizarea grafica a rezultatelor obinute pe cale analitica, in cadrul exemplului analizat, se va

prezenta in continuare graficul functiei de utilitate pentru un pachet format din doua bunuri, trasarea unei izocuante, corespunzatoare unui nivel fixat al utilitatii,(nivel maxim obtinut in problema prezentata anterior) precum si "desenarea" dreptei de buget, 4*x1+2*x2=120.

a)     Graficul suprafetei de utilitate, pentru un consumator cu preferinte tip Cobb-Douglass.

U(x1,x2)= x1* x2. x1,x2I

x2 x2

x1 x1

Graficul curbei de izoutilitate ,corespunzatoare Dreapta de buget, care exprima totaliatatea

nivelului U(x1,x2)=450.Ansamblul combinatiilor combinatiilor intre x1 si x2, care permit

cantitatilor corespunzatoare pachetului (X1,X2),ce cheltuirea bugetului disponibil, cu preturile

conduc prin consum la obtinerea de 450 unitati utilitate. considerate ca fiind fixate.

Obs: Mixul optim din cele doua bunuri, se situeaza pe dreapta de buget, in punctul in care o curba de izoutilitate este tangenta la aceasta dreapta; Deoarece consumatorul vizeaza maximizarea utilitatii sale, exista o multime de astfel de curbe de izoutilitate.

Codul implementat in Mathematica 3.0, necesar rezolvarii alegerii optimale a consumatorului.

In urma executiei acestor instructiuni a fost obtinuta solutia urmatoare:

Bibliografie:

1.Stelian Stancu, Tudorel Andrei  "Microeconomie"

2.Hal Varian "Economic Computational with Mathematica 3.0"

3.Gilbert Abraham-Frois "Economia politica"