Utilizarea modelelor matematice in optimizarea proceselor de transport

UTILIZAREA MODELELOR MATEMATICE IN OPTIMIZAREA PROCESELOR DE TRANSPORT

1. Consideratii generale

Optimizarea activitatii in transporturi este un deziderat major al fiecarei etape istorice si presupune imbinarea elementelor de conducere, organizare, cu elementele tehnice, in combinatiile cele mai potrivite momentului.

Aceste combinatii nu se realizeaza la intamplare ci prin utilizarea unor metode specifice scopului urmarit, tinand cont de posibilitatile concrete de aplicare.

Modele matematice

In optimizarea procesului de transport se pot utiliza:

modele matematice descriptive, care sunt modele complicate, cu utilitate teoretica si mai putin practica, datorita caracterului restrictiv al problemelor vizate   (aspecte partiale) si nu reusesc sa corespunda obiectivelor practice;

modele matematice deterministe

o teoria grafurilor;

o programarea matematica,

modele de simulare pe calculator, modele ce nu contin expresii matematice complicate, sunt laborioase din punct de vedere al algoritmului de calcul si a volumului acestuia, sunt precise, sunt utile pentru rezolvarea problemelor practice.

Fig.1. Modele matematice

Modele matematice deterministe

Modele matematice deterministe exprimate prin relatii algebrice

Unele probleme de transport, pentru a fi rezolvate, reclama un volum mare de calcul, cu utilizare frecventa si precizie ridicata.

In acest caz este rational sa se utilizeze modele matematice exprimate prin relatii algebrice care pot stabili corespondenta intre diversi indicatori, ca de exemplu:

timp de mers;

tonaj;

viteza optima,

si factorii care influenteaza parametrii de stare si cei de proces (fig. 2), in baza carora se determina valorile particulare ale functiilor.

Fig. Modele matematice deterministe exprimate prin relatii algebrice

Modele matematice deterministe exprimate prin sisteme de ecuatii de tip A

Procesele tehnologice de transport cuprind procese fundamentale pentru a caror definire este necesar sa se utilizeze modele matematice exprimate prin sisteme de ecuatii, de obicei sisteme de ecuatii diferentiale (fig.3).

Rezolvarea sistemelor se poate face printr-o metoda analitica, exacta sau aproximativa, care reda legatura matematica dintre variabile, fie sub forma tabelara, fie sub forma grafica.

3. Modele matematice deterministe exprimate prin sisteme de ecuatii de tip B

Unele componente ale procesului tehnologic de transport, cum ar fi:

planificarea, dupa anumite criterii, a transportului unor marfuri omogene intre producatori si beneficiari;

dirijarea vagoanelor goale;

planificarea aprovizionarii tehnico-materiale etc.,

pentru a fi exprimate si optimizate impun utilizarea unor sisteme de ecuatii sau inecuatii de tip B (fig. 4) liniare, neliniare, parametrice etc., cu un numar mare de variabile, care se determina din conditia de minim sau de maxim a unei functii obiectiv, depinzand si de anumite alte conditii. Numarul variabilelor este de obicei mai mare decat cel al ecuatiilor sau inecuatiilor.

Fig.3. Modele matematice deterministe exprimate prin sisteme de ecuatii de tip A

Pentru rezolvarea acestor sisteme se utilizeaza metodele programarii matematice, care poate fi:

liniara;

neliniara;

parametrica;

dinamica;

stochastica etc.

Fig.3. Modele matematice deterministe exprimate prin sisteme de ecuatii de tip B

4. Modele matematice deterministe exprimate prin teoria grafurilor

Procesele tehnologice de transport presupun si rezolvarea uinor probleme de fluxuri in retelele de transport, drumuri optime, drum critic, relatia resurse-activitati etc. In acest scop se utilizeaza teoria grafurilor (fig.2 5).

Fig.3. Modele matematice deterministe exprimate prin teoria grafurilor

3. Modele de simulare pe calculator

Procese mai complicate din procesul tehnologic de transport cum ar fi:

conducerea acestuia;

intocmirea si corectarea operativa a planului tehnic de transport;

amplasarea optima a instalatiilor, echipamentelor si mijloacelor de transport;

dezvoltarea rationala a unitatilor si activitatilor de baza etc.

nu se pot rezolva prin direct, prin metode algebrice. Ele cuprind probleme combinatorii cu multe variante si probleme logice care se rezolva fie prin calcularea directa a tuturor variantelor posibile, atunci cand se poate realiza un algoritm in acest sens, fie prin aplicarea simularii, caz in care este necesara intocmirea modelelor de simulare specifice obiectivului urmarit.

Cercetarea experimentala a fenomenelor ce compun procesul de transport feroviar implica fonduri materiale si umane, suplimentare procesului propriu-zis, ceea ce determina costuri ridicate, reflectate in costul final al transportului. Din aceasta cauza experimentarea se realizeaza cu ajutorul simularii fenomenelor, utilizand tehnici si procedee specifice care sa permita formularea unei imagini cat mai aproape de realitate.

Simularea se realizeaza prin doua metode:

simulare analogica prin care se reproduc fizic conditiile reale ale unui sistem si care se aplica de obicei in cercetarea problemelor tehnice;

simularea numerica, bazata pe un model matematic al sistemului real si care are in vedere utilizarea tehnicii de calcul pentru a realiza experimentarile asupra modelului.

Simularea numerica este definita ca o tehnica de realizare a experientelor cu calculatoare digitale care implica utilizarea unor modele matematice si logice ce descriu comportarea unui sistem real sau a unor componente ale sale de-a lungul unei perioade de timp.

In practica se aplica doua tipuri de simulare numerica :

joc, ce presupune un model matematic al realitatii, experimentarea constand in acordarea unor valori arbitrare variabilelor din model, urmarindu-se efectul asupra uneia sau mai multor functii obiectiv:

o       se aplica de obicei in situatii caracterizate printr-un conflict intre anumiti parteneri sau intre mediu, care ofera mai multe variante, si om, care trebuie sa ia decizia optima;

o       a generat o serie de aplicatii in conducerea si organizarea activitatilor economice si in transporturi.

Monte Carlo, tehnica de simulare ce asociaza unei probleme deterministe un model aleator:

o       prin generarea unor variabile aleatoare, legate functional de solutie, se realizeaza experiente pe model si se furnizeaza informatii despre solutia problemei deterministe.

Un model matematic specific metodelor de simulare cuprinde urmatoarele elemente (fig.4):

variabile si parametri de intrare

o       variabilele se determina dupa un anumit procedeu sau se genereaza in mod aleator, in functie de anumiti parametri de intrare;

o       variabilele de intrare iau valori discrete care se modifica mereu, etapa in care toate variabilele au valori constante numindu-se pas al   simularii;

o       parametrii de intrare au valori constante in tot timpul procesului de simulare;

variabile si parametri de iesire

o       variabilele de intrare fiind aleatoare, rezultatele simularii sunt variabile aleatoare de iesire;

o       valorile variabilelor si a parametrilor de iesire sunt rezultate obtinute dupa efectuarea unui pas al programului de calcul asociat modelului matematic;

o       legatura logica dintre variabilele de intrare si cele de iesire, cat si operatiile executate asupra variabilelor de intrare pentru a le obtine pe cele de iesire este data de algoritmul modelului de simulare atasat fenomenului.

variabila ceas

o       variabila care cronometreaza momentul atins in evolutia sistemului studiat, atunci cand acestea evolueaza in timp.

algoritm prin care se prezinta dependenta dintre elementele sistemului exprimate prin variabile, precum si operatiile aritmetice necesare executarii unui pas al simularii.

relatii functionale exprimate prin identitati si caracteristici operative care redau legatura dintre variabile si comportarea sistemului; caracteristicile operative sunt de obicei ipoteze ce se fac asupra variabilelor aleatoare, prin care se indica repartitia acestora.

Fata de situatiile standard prezentate mai pot sa apara probleme sau clase de probleme diferite, pentru a caror modelare matematica poate fi necesara fie o combinatie intre doua sau mai multe categorii de modele, fie conceperea si realizarea de noi categorii de modele matematice.

Unele clase de probleme de transport se pot rezolva atat cu modele matematice din grupa lor, cat si cu modele matematice din alta grupa, sau cu combinatii ale acestora.

Problema modelarii matematice si a simularii proceselor de transport este extrem de complexa, iar obtinerea unui rezultat corect si optim in urma modelarii si /sau simularii este conditionata, in principal, de posibilitatile stiintifice ale modelului utilizat, de nivelul de cunostinte si datele existente asupra problemei de rezolvat, precum si de fidelitatea transpunerii si reprezentarii matematice a realitatii din practica exploatarii feroviare.