Electroencefalografie

Electroencefalografie

Explorarea functionala de detectare pe pielea capului a activitatii bioelectrice cerebrale, reprezentarea grafica a acesteia si analiza semnalului obtinut se numeste electroencefalografie (EEG).

Electroencefalograma (prescurtat tot EEG, Figura 2.5) este un amestec de semnale de joasa frecventa, neperiodice sau cvasiperiodice, avand amplitudinea intre (10 100) mVvv (tipic cca. 50 mVvv). Traseul EEG reprezinta mai multe tipuri de unde separabile pe benzi de frecventa prin analiza spectrala.

Figura 2.5 EEG (a), distributia amplitudinii (b) si densitatea spectrala (c)

Aceste unde specifice sunt:

Ritmul a are banda de 8 . 13 Hz si apare in perioade de veghe si relaxare. Pentru relaxare profunda undele de 10 Hz sunt predominante ('ceasul biologic'), coincizand cu frecventa de rezonanta a campului magnetic terestru;

Ritmul b are componente intre 14 32 Hz, amplitudini sub 30 mVvv si este asociat gandirii;

Ritmul g are banda de frecventa intre 33 . 55 (chiar 70) Hz;

Ritmul d are frecvente intre 0.5 .3 Hz, amplitudini de 50-150 mVvv si apare la copii si la adult in somn. La adult in starea de veghe este patologic.

Undele q au componente intre 4 7 Hz, amplitudini de 30-70 mVvv, se intalnesc la copii frecvent iar la adult in cazuri izolate. O pondere mare la adult denota probleme psihice.

Alte ritmuri tipice ale EEG sunt complexele K (avand amplitudini minime de 100 mVvv si fiind intalnite in somn) si fusul encefalografic (succesiune de unde avand componente intre 12 16 Hz).

Sistemele de culegere a semnalului EEG sunt standardizate (Figurile 2.6, 2.7).

Electrozii poarta numele zonei de culegere: F - electrozi frontali, T - temporali, C - centrali, P - parietali, O - occipitali, iar electrodul de referinta este notat cu A. Electrodul de masa este plasat pe piciorul drept, ca in cazul ECG.

Culegerea unipolara amplifica semnalul de electrod fata de referinta. Culegerea cu punct median de referinta foloseste medierea semnalelor tuturor electrozilor encefalici printr-o retea rezistiva de sumare. Culegerea bipolara permite localizarea mai buna a fenomenelor encefalice, caci semnalele utile pot fi in antifaza si astfel pot fi izolate de artefacte.

Figura 2.6 Plasarea electrozilor EEG si culegerea unipolara

 

(a) (b)

Figura 2.7 Culegerea cu punct de referinta median (a) si culegerea bipolara (b)

Electroencefalograful (Figura 2.8) poate avea 8, 16 sau 32 de canale separate si contine o cutie activa de conectare a electrozilor la pacient. PAD8 este un preamplificator pentru opt canale, a carui sensibilitate se regleaza cu blocul comun, RSC, in 10 trepte de la 2 la 75 mV/mm.

Parametrii electrici principali sunt: amplificare foarte mare (1000), rejectie de mod comun mare (100 dB), Z_in >10 MW, zgomot redus (1 mV_rms).

Pentru eliminarea artefactelor frecventa limita inferioara se regleaza in trepte (0.16 - 0.53 - 1 - 5.3 Hz) iar pentru eliminarea zgomotului electromiografic treptele de frecventa limita superioara sunt 15 - 35 - 50 - 70 - 100 Hz. Generatorul de semnal dreptunghiular (GS) furnizeaza impulsuri de 51000 mV si este folosit la etalonarea aparatului. A8 este un amplificator de tensiune pentru comanda etajului de putere AP8. Comutatorul RSI ajuta la reglarea separata a amplificarii canalelor. Convertorul analog-numeric (CAN) realizeaza interfata cu un sistem de prelucrare numerica (PN). AP8 comanda inregistratorul DIS, a carui viteza a hartiei este controlata in trepte (10, 15, 30, 60 mm/s) de blocul CVH.

Figura 2.8 Schema bloc a unui electroencefalograf

Tehnici de inregistrare EEG

In comparatie cu ECG, EEG este dificil de interpretat datorita semnificatiei sale pentru diferite zone ale creierului, precum si din cauza modului de plasare a electrozilor. Ultimul aspect a fost rezolvat prin standardizarea unui sistem de culegere EEG folosind 10-20 de electrozi. Acest sistem, pentru o analiza riguroasa, este completat de monitorizarea miscarii globului ocular, a sistemului muscular si de ECG.

Electrozii folositi obisnuit sunt sub forma de disc, au diametrul de 1.3 mm, sunt construiti din Ag-AgCl si contin conductoare flexibile pentru conectarea la amplificator. Necesitatea unei impedante de contact cu pielea scazute (< 10 kW) este indeplinita doar partial de existenta parului si de stabilitatea mecanica relativ scazuta a culegerii. O pasta conductoare electric si un ciment special (collodion) contribuie la obtinerea impedantei scazute dorite. Varianta electrozilor cu preamplificator incorporat ofera o adaptare foarte buna de impedanta cu conductorii de legatura. Monitorizarea impedantei inter-electrozi este o facilitate utila in echipamentele moderne.

Inregistrarile pe termen lung fac apel la electrozi tip ac, inserati intre pielea capului si cutia craniana, desi pericolul infectiei nu este de neglijat.

De la electrozi se poate obtine un semnal cu amplitudini de 1.10 mV, care trebuie amplificat foarte mult (de cca. 10⁶ ori) in vederea inregistrarii. Amplificarea, in conditii de zgomot, se realizeaza cu amplificatoare diferentiale cu impedanta de intrare si rejectie de mod comun mari. Datorita benzii de frecventa scazute a semnalului EEG, folosirea FTJ cu frecventa de taiere de cca. 40 Hz contribuie si la eliminarea zgomotului de retea. In plus, atenuarea frecventei de 50 Hz se face cu filtre notch intercalate in amplificator. Un raport semnal/zgomot la intrarea amplificatorului de minim 20 dB este considerat satisfacator pentru obtinerea unei EEG de calitate.

Un inregistrator clasic este cel cu penita. Viteza de inrgistrare este reglabila: redusa (10mm/s), pentru observarea varfurilor de semnal, precum si ridicata (pana la 120 mm/s), in vederea detectarii diferitelor ritmuri in EEG.

O alta modalitate de inregistrare este cea pe banda magnetica, multicanal, semnalul fiind modulat in frecventa. Un dispozitiv de afisare optica (osciloscop sau monitor video) permite monitorizarea EEG. Redarea semnalului inregistrat poate avea loc la viteza mai mare ca la inregistrare, folosind scheme de compensare in timp ce permit un raport uzual de 60:1 intre inregistrare si redare.

Memorarea EEG poate avea loc si pe sisteme de calcul, cu ajutorul convertoarelor A/D interfatate cu memoria calculatorului. Rezolutia convertorului folosit este uzual de 10-12 biti. Un bloc de filtrare digitala poate preceda memorarea esantioanelor EEG. Astfel de tehnici permit memorarea pe termen scurt, datorita necesitatilor de memorie. De exemplu, pentru esantionare cu 128 Hz si o inregistrare de 8 sec., rezulta 1024 de esantioane/canal; pentru 10 min. inregistrate, trebuie memorate 76800 de esantioane. Apare astfel necesitatea compresiei datelor, prin tehnicile uzuale din domeniu.

Prelucrarea semiautomata a EEG

Citirea directa a EEG ofera relativ putina informatie utila clinicianului. Analiza (semi)automata asimileaza semnalul EEG pe un tronson limitat (de exemplu la doua secunde) cu un proces aleator, stationar si ergodic (mediile statistice sunt egale cu mediile temporale), astfel ca se foloseste o singura realizare reprezentativa si este posibila analiza in timp real.

Din punct de vedere informational, parametrii EEG sunt temporali, statistici de amplitudine si frecventiali.

Parametri temporali sunt: numarul de intersectii de nivel (zero sau nivel constant) in unitatea de timp, numarul extremelor in amplitudine din unitatea de timp si mediile temporale de ordinul unu si doi. Mediile temporale (care sunt si medii statistice) folosite mai des sunt: media, media patratica, dispersia, abaterea medie patratica, functiile si coeficientii de inter- si autocorelatie, functiile de inter- si autocovarianta, ale caror definitii sunt date in literatura (Figura 2.10).

Parametrii statistici de amplitudine (Figura 2.9) se determina pe histograma (a) si pe functia densitate de probabilitate (histograma de ordinul doi) (b). Pe ultimul grafic se calculeaza media, mediana (valoarea mijlocie a domeniului variabilei x) si moda (argumentul pentru care densitatea este maxima).

Figura 2.9 Histograma (a) si densitatea de probabilitate a semnalului EEG (b)

Parametrii temporali ai EEG (Figura 2.10). Dinamica semnalului EEG este diferenta dintre maximum-maximorum si minimum-minimorum.

Figura 2.10 Parametri statistici folositi in analiza EEG

Este important de retinut ca orice procedura de analiza nu poate oferi simultan informatii referitoare la toti parametrii, deci alegerea unei tehnici analitice particulare va sublinia modificarile unei variabile anume, in detrimentul celorlalte.

Daca in general distributia histogramei este una gaussiana (normala), ea poate fi caracterizata simplu prin media si deviatia standard. In cazul distributiilor nongaussiene informatii suplimentare utile sunt oferite de momentele de ordin superior. Acestea sunt oblicitatea (skewness) si kurtosis-ul.

Oblicitatea masoara gradul de deviere de la simetria distributiei normale, in raport cu linia de baza. !n general, valori diferite de zero ale acestui parametru indica prezenta unor evenimente monofazice in EEG. Formulele de calcul pentru oblicitate sunt urmatoarele:

; ; .

Kurtosis-ul masoara, proportional cu valoarea sa, gradul de "ascutire" a unei distributii. In EEG clinica, atunci cand se observa modulatii de frecventa si amplitudine mici, valorile kurtosis-ului sunt negative. Dimpotriva, valori mari pozitive indica varfuri tranzitorii, forme de unda izolate de amplitudini mari etc. Formulele pentru calculul acestui indice sunt

;

.

O distributie normala are valoarea acestui index de 0,5.

Parametrii frecventiali. Analiza in frecventa se bazeaza pe spectrele de amplitudine (obtinute prin transformata Fourier) si pe spectrele de putere. Parametrii frecventiali inseamna evidentierea ritmurilor specifice a b g d q ale EEG, a caror distributie in frecventa se asociaza cu starile fizio-patologice ale subiectului. Puterea semnalului EEG, data de aria de sub functia densitatii spectrale de putere, da informatii despre gradul de oboseala, iar deplasarea benzilor de frecventa se asociaza cu anumite manifestari patologice.

Densitatea spectrala de putere (distributia puterii in banda B a semnalului x(t)) nu se masoara direct. Pornind de la definitia puterii semnalului avand frecventa centrala f_o si banda B,

,

densitatea spectrala este

.

Practic se masoara puterea medie intr-o banda ingusta Df in jurul lui f_o. Cu cat Df este mai mica cu atat puterea medie in acea banda se apropie mai mult de densitatea spectrala.

Analizoare spectrale

Un sistem de analiza spectrala contine in principiu un filtru trece banda axat pe f_o, un detector patratic si un integrator. Constructiv, exista analizoare paralel, serie (cu baleiere), cu filtru dispersiv, analizoare cu compresie de timp si analizoare Fourier.

Analizorul paralel (Figura 2.11) extrage simultan componentele de frecventa cu filtre trece-banda cu selectivitate constanta avand frecventa centrala respectiv f₁, , f_k, k = B/Df. Timpul de analiza este dat de perioada T de mediere. In figura, 2 este un multiplexor, 3 este un CAN, 4 - bloc de prelucrare digitala, 5 - memorie, 6 - CNA, 7 - convertor BCD.

Analizorul serial are un singur filtru acordabil succesiv si automat pe frecventele spectrului.

Analizorul Fourier se bazeaza pe teorema Wiener-Hincin: densitatea spectrala de putere este egala cu transformata Fourier a functiei de autocorelatie a semnalului.

Figura 2.11 Schema bloc a unui analizor spectral paralel

Analizoare spectrale seriale, cu filtru acordabil (Figura 2.12). Acordul se realizeaza cu un generator de tensiune liniar variabila (GTLV), care comanda si deplasarea pe orizontala a spotului pe ecranul dispozitivului de afisare. In figura: 1 - filtru cu acord variabil; 2 - detector patratic; 3 - GTLV.

Figura 2.12 Analizor serial (cu filtru acordabil)

Datorita unor dificultati practice de implementare a analizoarelor seriale, se folosesc analizoare cu heterodinare (Figura 2.13), in care: 1 - bloc de amestec; 2 - filtru de banda Df si frecventa centrala f_x + f₀ fixa; 3 - detector patratic; 4 - GTLV; 5 - oscilator comandat in tensiune (OCT, VCO); 6 - acord manual.

Componentele de frecventa ale semnalului si OCT sunt extrase cu filtrul acordat pe frecventa fixa. Baleierea frecventei OCT se face cu un GTLV. La iesirea detectorului patratic semnalul este direct proportional cu puterea medie in banda filtrului a semnalului analizat, x(t ).

Figura 2.13 Analizor heterodina

Analizorul cu compresie de timp (Figura 2.14) memoreaza semnalul real achizitionat pe durata T si il prelucreaza (filtrare plus detectie componenta de frecventa) intr-o durata mult mai mica, T/K per componenta. Semnalul analizat in timpul DT este identic cu semnalul real pe durata T iar spectrul de frecventa se modifica in frecventa cu acelasi raport k din domeniul timp.

Figura 2.14 Principiul compresiei de timp

Analizorul Fourier (Figura 2.15) se compune dintr-un corelator si un transformator Fourier, astfel: corelator (1), multiplicatoare (2, 4), memorii pentru functii pondere (3), memorii sin si cos (5), integrator numeric (6) si un bloc de prelucrare (7). Formula de calcul este

,

in care C_xx este functia de autocorelatie a semnalului EEG. Din memorie se extrage functia de autocorelatie, care se inmulteste cu functii pondere, pentru netezirea spectrului in cazul unor semnale cu spectru mai larg. Memoriile sin si cos implementeaza functia exponentiala iar blocul de prelucrare ofera la iesire partile reala si imaginara, modulul si faza transformatei Fourier.

Figura 2.15 Analizor Fourier

Analiza spectrala

Analiza spectrului de putere a semnalului EEG ofera informatii cantitative despre distributia in frecventa a EEG, insa cu pretul pierderii unor detalii importante, ca distributia de amplitudine sau prezenta unor forme caracteristice (complexul K, descarcari epileptice etc.). Introducerea algoritmului Transformatei Fourier Rapide (FFT) a facut ca aceasta masuratoare sa devina de rutina.

Spectrul de putere reprezinta functia de corelatie a EEG cu ea insasi, conform formulei

,

in care X(f ) este transformata Fourier a semnalului EEG pe un canal.

Analiza puterii spectrale permite si analiza statistica a modificarilor EEG, lucru imposibil prin inspectia simpla a inregistrarilor. Alt parametru important, puterea relativa, este definita ca distributia procentuala a puterii pe fiecare banda de frecventa. Ea permite reducerea dispersiei intre subiecti, datorate diferentelor de conductante electrice la nivel de scalp. Acest avantaj este "compensat" de relatia inversa intre modificarile de putere relativa pe diferite benzi de frecventa.

Legatura dintre diferite canale EEG este cuantificata de marimea numita coerenta. Formula de definitie este

,

unde spectrul incrucisat este dat de produsul

spectrul incrucisat = X(f) Y*(f)

in care X(f) si Y(f) sunt transformatele Fourier ale semnalelor EEG de pe doua canale iar (*) este complex conjugatul.

Patratul valorii coerentei (PVC), situat in domeniul s1, 0t, indica maximum (1), respectiv nesincronizare (0). Deoarece coerenta este un numar complex, faza semnalului EEG este data de unghiul reprezentarii polare a acestuia. PVC si faza sunt marimi care pot ilustra interactiuni ale activitatii cerebrale inregistrate in zone diferite ale scoartei.

Etapele standard ale analizei spectrale liniare ale EEG sunt: achizitia semnalului EEG multicanal, calculul densitatii spectrale de putere (cu FFT), al spectrului incrucisat, coerentei si relatiilor de faza.

Analiza spectrala comprimata (Figura 2.16), efectuata pentru un timp total de 120 sec. (4 sec / epoca x 30 trasee), se realizeaza simultan pentru mai multe culegeri si se pot observa asimetrii intre cei doi lobi, pentru diverse unde specifice. Variatiile componentelor individuale ale spectrului se observa pe histogramele frecventelor.

Figura 2.16 Analiza spectrala comprimata a unui semnal EEG

Prelucrarea automata a EEG

Interpretarea automata a EEG implica analiza unei mari varietati de forme de unda, normale si anormale, pe un numar mare de canale. Monitorizarea EEG are ca scop detectia si semnalizarea unor modificari semnificative ale EEG, atat pentru unde lente cat si pentru unde rapide (spike-uri). Monitorizarea EEG in timp real realizeaza functiile:

calculul functiei de corelatie intre doua canale EEG;

filtrarea adaptiva, prin care EEG curenta se compara cu diferite EEG memorate;

filtrare digitala selectiva, prin care se pun in evidenta sau se elimina diferite ritmuri specifice EEG (de exemplu filtrare trece - a sau rejectie - a

monitorizarea intervalelor de trecere prin zero si a densitatii spectrale.

Detectia descarcarilor epileptice. Parametrii spike-ului (undei de descarcare epileptica) ce trebuie evidentiati sunt: amplitudinea, panta, durata si spectrul acesteia (Figura 2.17). Modelul acestei unde este forma triunghiulara cu varf rotunjit. Durata ei este de 20 80 ms. Panta laturilor (derivata I-a, figura (b)) este mai mare decat M. Durata unui flanc trebuie sa fie mai mare ca o limita T_o (10-40 ms) iar varful nu trebuie sa depaseasca valoarea DT. O filtrare a priori cu un filtru trece-jos (3050 Hz, 18dB/oct) reduce zgomotul. Pentru eliminarea artefactelor (semnalelor false, de exemplu miografice) se introduce un criteriu de amplitudine maxima a spike-ului.

Figura 2.17 Modelul undei de descarcare epileptica

Detectarea complexelor K. EEG in timpul somnului prezinta forme si ritmuri specifice, care permit definirea unor faze repetitive: veghe, somn cu unde lente (faza NREM - Non Rapid Eye Movement) si somnul cu unde rapide (paradoxal sau REM). Fusul de somn (unde cu frecventa de 1216 Hz) si complexul K au respectiv formele din Figura 2.18 (a), (b). In Figura 2.19 apare modelul complexului K.

Figura 2.18 Unde EEG specifice somnului Figura 2.19 Modelul complexului K

Complexul K apare spontan sau evocat. Frecventa componentelor sale este in banda 1,1 2,2 Hz. Prelucrarea poate fi in timp real sau in 1/32 din timpul real (EEG inregistrata, de exemplu, in opt ore poate fi prelucrata in 15 min). Achizitia datelor se face simultan pe trei canale pentru a reduce influenta artefactelor. Volumul mare de date este redus cu cca. 80%(!) folosind tehnici de compresie a datelor (ADPCM - Adaptive Differential Pulse Code Modulation). Detectia propriu-zisa poate fi facuta prin filtrare digitala si analiza in amplitudine, durata si perioade de latenta sau folosind tehnici inteligente de recunoastere a formelor (sDum96t).

Sistem pentru determinarea potentialului evocat (Figura 2.20, Ciu92

Potentialul evocat (PE) este raspunsul activitatii de fond a creierului la un anumit stimul luminos, acustic sau electric si este caracterizat printr-o succesiune de deflexiuni pozitive si negative. Amplitudinea si durata lor depind de tipul si caracteristicile stimulului, precum si de starea functionala a structurilor care produc PE. PE poate fi inregistrat cu microelectrozi, cu macroelectrozi pe suprafata scoartei cerebrale (rezultand un semnal de cca. 500 mV) sau cu electrozi pe scalp (cca. 10 mV). In aceasta ultima situatie se foloseste medierea semnalelor ca tehnica de inlaturare a semnalului EEG de fond. Timpul de intarziere a raspunsului la stimul se numeste timp de latenta.

Sistemul din Figura 2.20 contine generatori de stimuli acustici si vizuali, impulsurile respective fiind folosite si pentru esantionarea semnalului EEG. Valorile numerice ale raspunsului sunt memorate in functie de intervalul de timp ales pentru analiza. In faza citirii informatiei se vizualizeaza suma esantioanelor din fiecare zona de memorie. Daca EEG de fond este aleatoare la stimuli, raspunsul evocat este proportional cu numarul de esantioane iar activitatea de fond cu radacina patrata din acest numar. Viteza sistemului este limitata de timpul necesar memorarii datelor. Majoritatea mediatoarelor contin si echipamente periferice pentru controlul achizitiei datelor, a afisarii si inregistrarii lor. Circuitul de calibrare genereaza un semnal standard, de exemplu 10 mVvv.

Figura 2.20 Un sistem pentru determinarea potentialului evocat

3 Analiza neliniara a EEG

Presupunerea ca EEG este un proces liniar si gaussian, desi conduce la utilizarea unor metode eficiente computational, nu tine cont de informatia oferita de modelarea unor procese de ordin mai mare ca doi. Spectrul de putere nu este capabil sa distinga relatia neliniara intre frecvente date de semnale generate spontan si care au aceeasi conditie de rezonanta. De exemplu, EEG care apare in timpul unei activitati mentale ce implica multe calcule matematice are o alura negaussiana si neliniara clare. Astfel de distributii trebuie analizate cu algoritmi de prelucrare neliniara, cum sunt cei legati de analiza bispectrala.

Considerand un proces stationar avand media zero, bispectrul este transformata Fourier a cumulantului de ordinul trei definita ca valoarea asteptata (E - estimata) a produsului triplu

C(m, n) = E ,

adica

.

Daca procesul este gaussian pur, este nul pentru fiecare (m, n) si in consecinta bispectrul sau este zero. Suma amplitudinii bispectrului estimat este o masura a deviatiei EEG fata de comportarea gaussiana:

.

De exemplu, in Figura 2.21(A, B) apar spectre de putere mediate pe 16 inregistrari EEG pe timpul somnului REM (esantionare cu 128 Hz), pentru respectiv doua subcampuri ale hipocampusului ( Car98 ). Se observa doua maxime, la cca. 8 Hz (ritmul q) si 16 Hz (ritmul b). Graficele C si D indica respectiv bispectrele celor doua secvente. Calculul indicelui de bicoerenta pentru frecventa de 8 Hz arata un important cuplaj de faza in cuadratura, ceea ce indica faptul ca frecventa de 16 Hz nu este generata spontan (natural), ci este rezultatul sumarii activitatii celor doua zone cerebrale. Indicele de bicoerenta se calculeaza cu formula

(Is0, 1t),

in care P_xj(w) este spectrul de putere al semnalului .

Examinarea relatiei de faza intre doua semnale neliniare achizitionate in locuri diferite se face cu bispectrul incrucisat. Astfel, avand trei procese stationare de medie zero, , j=1, 2, 3, mai intai se imparte fiecare din ele in trei segmente egale, de lungime M. Bispectrul incrucisat se estimeaza luand media produselor triple ale coeficientilor Fourier peste cele M segmente:

,

unde este transformata Fourier a segmentului m al lui . Bispectrul poate fi aplicat pentru determinarea cuplajului de faza incrucisat ce apare intre si si efectele sale asupra lui . De exemplu, un maxim al bispectrului sugereaza ca la frecventa (w w ) a lui semnalul apare datorita cuplajului de faza intre w a lui si w a lui .

Figura 2.21 Spectre de putere (a, b) si bispectre ale EEG pentru somnul REM

Aplicarea dinamicii neliniare in studiul cantitativ al EEG

EEG convertita digital poate fi considerata o serie de timp unidimensionala.   Seria este generata de un sistem dinamic neliniar care are un numar mare de grade de libertate, n. Valorile numerice ale acestor grade de libertate (sau variabile) definesc in mod unic un punct in spatiul starilor, adica starea sistemului. Sistemul descrie in timp in spatiul starilor o traiectorie n-dimensionala, care este o hipersuprafata. EEG ar fi in acest caz proiectia sistemului neliniar pe axa tensiunii. Necunoscand a priori dimensiunea spatiului, nu putem masura direct multitudinea variabilelor sistemului.

Reconstructia spatiului starilor, deci obtinerea traiectoriei sistemului, se poate face prin metoda numita imersia in coordonate retardate. Considerand un semnal x(t ), el poate fi reprezentat sub forma

xⁿ(t_i) = sx(t_i), x(t_i+t), ., x(t_i+(n-1)t)t^T ,

in care t_i = i T_e , i = 1, ., N, n este dimensiunea imersiei, T_e este perioada de esantionare, t este timpul de intarziere iar T este operatorul de transpunere. Figura 2.22 reda principiul metodei, exemplificata cu un "pieptene" ce genereaza o traiectorie 5-dimensionala. Timpul de intarziere este dat de distanta dintre dintii pieptenului: t = 2. Alegerea acestei valori se face calculand lungimea corelatiei, adica marimea timpului pana la primul zero al functiei de autocorelatie a semnalului. Alt procedeu de estimare a lui t este calculul mediei intervalelor dintre varfurile traseului EEG, obtinuta dupa filtrarea prealabila a acestuia.

Figura 2.22 Principiul imersiei in coordonate retardate

Analiza comportarii unui sistem dinamic comporta testarea existentei atractorilor, care sunt submultimi invariante, de exemplu stationare, ale spatiului starilor. Daca sistemul are o comportare determinista, atractorul corespunde regimului permanent catre care tinde sistemul. Algoritmul dimensiunii corelatiei (Grassberger si Procaccia) constata existenta si determina dimensiunea atractorului gasit.

Se calculeaza toate distantele x(t_i) - x(t_j) dintre un punct oarecare de referinta x(t_i) si restul de N-1 puncte din spatiul starilor. Astfel se poate determina numarul de puncte care se afla la distanta r fata de punctul de referinta ales.

Se calculeaza valoarea numerica a integralei de corelatie pentru semnalul EEG digital:

,

in care s este functia treapta.

Se constata ca in intervalul lui r numit regiune de scalare, C(r) are alura functiei C(r)=r ^d. Dimensiunea d a atractorului este data de panta lui log C(r) in functie de log r, calculata prin derivare in zona liniara a graficului.

Este utila reprezentarea dimensiunii de corelatie d in functie de dimensiunea n a imersiei. Se calculeaza media si deviatia standard a lui d. Media astfel gasita reprezinta dimensiunea fractala a atractorului.

Exponentul Lyapunov este marimea care caracterizeaza sintetic stabilitatea comportarii unui sistem dinamic. Comportarea haotica se defineste fizic drept acea dinamica pentru care traiectorii avand puncte de start vecine in spatiul starilor vor diverge exponential in timp. Exponentul Lyapunov reprezinta media temporala pe termen lung a vitezelor exponentiale de convergenta sau divergenta a starilor vecine. Daca un sistem are cel putin un exponent pozitiv, el este instabil, posibil haotic. Calculul exponentului Lyapunov implica pasii urmatori:

Avand seria de timp x(t), se reconstruieste un spatiu al starilor prin metoda coordonatelor retardate.

Se alege un punct initial si se calculeaza distanta euclidiana fata de cel mai apropiat vecin, notata cu D₀, considerata la momentul de timp t₀.

La momentul t₁ > t₀ distanta dintre cele doua puncte devine D₁. Se cauta un alt punct pentru care distanta D'(t₁) si unghiul fata de punctul initial evoluat sunt minime. Daca un astfel de punct nu poate fi aflat, se pastreaza punctele initiale.

Se repeta procedura pana la epuizarea traiectoriei prin spatiul starilor generat.

Se calculeaza marimea exponentului Lyapunov cu formula

,

in care M este numarul total de pasi iar pasul temporal D = t_k - t_k-1 = const. De exemplu, pentru un semnal EEG filtrat se poate gasi o valoare a celui mai mare exponent Lyapunov (dominant) pozitiva si relativ mare (de exemplu 69,4), ceea ce indica o comportare haotica.

Analiza a numeroase trasee EEG normale, de adult tanar, a condus la concluzia ca activitatea electrica normala a scoartei cerebrale este reprezentata printr-un proces nestationar, multidimensional, cu dinamica haotica si atractori stranii (cu dimensiune fractala).