Franarea prin ionizare a particulelor incarcate. Puterea de stopare.

Franarea prin ionizare a particulelor incarcate. Puterea de stopare.

Franarea prin ionizare este mecanismul principal de dispersie a energiei particulelor incarcate la trecerea lor prin materie. In acest mecanism energia cinetica a particulelor incarcate se consuma pentru excitarea si ionizarea atomilor (moleculelor) mediului prin care trec.

Se pune intrebarea: de cine depinde marimea pierderilor prin ionizare si care este parcursul mediu de ionizare al particulelor pe care acestea isi pierd intreaga energie? Pentru a raspunde la intrebare vom analiza mai intai schema elementara de interactiune a particulelor incarcate cu un electron si apoi vom insuma efectul obtinut pentru toti electronii pe langa care trece particula.

Fie o particula cu sarcina ze care se misca cu viteza la distanta r de un electron liber (nelegat) de masa m₀ si sarcina e (Fig. 1.1).

Fig. 1.1. Schema interactiei particula incarcata - electron

In ipoteza ca masa particulei m>>m₀, interactiunea ei cu electronul conduce la faptul ca acesta primeste un impuls pe o directie perpendiculara celei de miscare a particulei. Impulsul rezultat in directia miscarii particulei este nul, deoarece el se compune din doua componente egale si de semn opus, corespunzatoare apropierii si indepartarii particulei de electron.

Deci: p = F t  (1.1)

Considerand ca interactiunea efectiva are loc pe o portiune de drum comparabila cu r, de exemplu egala cu 2r, pe care particula il parcurge in timpul t=2r/v si pe care forta coulombiana este egala cu kze²/r² (unde k=9.10⁹ Nm²/C² in S.I.) obtinem:

Energia cinetica corespunzatoare acestui impuls este:

(1.3)

Aceasta este energia primita de electron daca prin dreptul lui la distanta r, trece particula incarcata cu sarcina ze si are viteza v. Aceeasi este si energia pierduta de particula incarcata.

Pentru a tine cont de efectul tuturor electronilor cu parametrul de soc dat vom construi in jurul directiei de miscare a particulei un strat cilindric de raza r, grosime dr si lungime dx (Fig. 1.2). Volumul stratului este egal cu V=2prdrdx. Daca n_e este densitatea electronilor, atunci numarul lor in stratul cilindric este egal cu Vn_e=2prn_edrdx.

Fig. 1.2. Interactia particulei incarcate

cu electronii dintr-un element de volum

De asemenea n_e=n.Z, unde Z este sarcina nucleara caracteristica atomilor mediului prin care trece particula, iar n este concentratia acestora, . Ca rezultat al interactiunii cu toti electronii stratului cilindric dat, particula incarcata pierde urmatoarea energie cinetica:

iar pe unitatea de lungime

Evident, acest rezultat este adevarat daca interactiunea particulei cu electronul dat nu depinde de prezenta in vecinatate a altor electroni. In realitate aceasta nu este adevarata si trebuie introduse corectii la efectul densitatii.

Pierderile de energie medie pe unitatea de lungime a traiectoriei particulei dE/dx se numeste putere de stopare. Pierderea specifica totala se obtine daca se integreaza dE/dx(r) pentru toate valorile posibile ale parametrului de soc r(0, ). Apare o dificultate la r=0, doarece r se afla la numitorul expresiei (1.5) si de asemeni pentru din cauza divergentei integralei

Se poate arata totusi ca limitele fizice de integrare se deosebesc de 0 si si sunt egale cu valori finite r_min si r_max, astfel incat:

Calculul lui r_min si r_max este o problema destul de dificila. Se pot obtine totusi unele estimari ale acestora si din considerente clasice. Se stie de exemplu ca energia maxima care poate fi cedata de particula grea incarcata ce se misca cu viteza v<<c, electronului imobil este: DE_max=2m₀v².

Acest rezultat poate fi obtinut usor daca se considera ca particula grea este in repaus, iar electronul mai usor cade pe ea cu viteza v si ricoseaza cu viteza -v (ca o sfera pe un perete rigid), schimbandu-si impulsul cu marimea p_max 2m₀v si deci energia cu:

Egaland expresia (1.3) cu aceasta, obtinem conditia pentru r_min:

Tot clasic, conditia pentru r_max se obtine ca rezultat al considerarii legaturii electronilor in atom. Pentru valori mari ale parametrului de soc r energia transferata E este comparabila cu

energia de legatura a electronului in atom. Electronii nu vor mai fi considerati liberi si pentru un r destul de mare energia cedata poate fi insuficienta pentru excitarea atomului. In concordanta cu

aceasta r_max trebuie sa fie legat de valoarea potentialului mediu de ionizare al atomului. In sfarsit, la calculul lui ln(r_max/ r_min) trebuie luate in considerare si efectele relativiste.

Calculul rafinat da urmatoarea formula (Bethe-Block) pentru evaluarea pierderilor specifice prin ionizare dE/dx pentru particule grele incarcate (ex. protoni, particule ), la energii

unde este potentialul mediu de ionizare al atomilor substantei absorbante: , iar b=v/c.

Energia sau potentialul mediu de ionizare, nu depinde practic de energia particulelor incidente, masa si sarcina lor. Faptul este remarcabil, pentru ca face posibila utilizarea detectorilor cu ionizare in gaz sau solid, in scopuri spectrometrice.

Pentru aceasta este esential insa sa se cunoasca mai indeaproape legatura dintre si energia particulelor ionizante. In argon s-a gasit experimental ca nu depinde de energia particulelor incidente in limita erorilor experimentale de 0,5 %. Aceasta si explica folosirea pe scara larga a argonului la detectorii cu ionizare in gaz. In schimb, pentru aer, energia medie de ionizare variaza cu energia particulelor; de exemplu, pentru particulele valoarea lui variaza cu 10 % cand energia particulelor variaza intre 4 MeV si 50 KeV. In general, valoarea lui pentru diverse gaze folosite in detectoarele de particule este intre 25 eV si 35 eV.

Comparand expresia (1.9) cu (1.6) conchidem ca termenii din paranteza au fost obtinuti ca rezultat al calculului ln(r_max/ r_min). Fara sa intram in detaliu la obtinerea formulei (1.9) facem totusi urmatoarele observatii: aparitia in formula a termenului ln(1- ) este legat de faptul ca la energii relativiste creste valoarea energiei maxime cedate electronului, care acum in locul formulei (1.7) este data de:

De asemenea aparitia in (1.9) a termenului - este legata de contractia Lorentz a campului coulombian, care duce la transfer de energie electronilor mai indepartati.

Rezultatul fundamental sugerat de formula (1.9) este ca pierderea specifica de energie a particulei incarcate prin ionizare este proportionala cu patratul sarcinii particulei, cu concentratia

electronilor in mediu absorbant si o functie oarecare de viteza f(v)~1/v² si nu depinde de masa m a particulei grele.

Fig.1.3. Curba Bragg

pentru perticule α in aer

Fig.1.4. Dependenta puterii de stopare de energia particulei ionizante

S-a verificat si experimental ca pierderile de energie prin ionizare nu depind de masele particulelor incidente, sunt proportionale cu patratul sarcinii lor si cresc rapid cu micsorarea vitezelor lor (la viteze mici, timpul disponibil pentru interactiune este mai mare).

Ilustrarea unei astfel de dependente este binecunoscuta curba a lui Bragg pentru ionizarea specifica a particulelor in aer (Fig. 1.3). Se observa intr-adevar o crestere a ionizarii specifice dE/dx la sfarsitul drumului liber al particulei , adica la micsorarea vitezei acesteia.

Formula (1.11) arata ca odata cu cresterea energiei particulei (Fig. 1.4), pierderea specifica prin ionizare scade la inceput foarte repede (~1/v²), dar pe masura apropierii vitezei particulei de viteza luminii scaderea este din ce in ce mai lenta. Pentru o energie oarecare pierderea specifica de energie prin ionizare este minima (Fig. 1.4. si Fig.1.5).

Aceasta corespunde faptului ca in numitorul formulei (1.9) exista marimea aproape constanta v²~c². Totusi analiza termenilor din parenteza formulei (1.9) arata ca incepand cu o energie oarecare, destul de mare, a particulei incidente, marimea dE/dx creste din nou incet (fig. 1.4).

Formula (1.9) nu este absolut exacta. Cresterea observata a rolului ciocnirilor indepartate la viteze mari ale particulei conduce la necesitatea considerarii efectului polarizarii atomilor mediului dintre particula in miscare si atomii considerati (efect de densitate).

Fig.1.5. Variatia puterii de stopare in aer (conditii normale)

pentru diferite particule si energii cinetice

Aceasta polarizare a atomilor intermediari duce la micsorarea lui dE/dx in comparatie cu formula (1.9). Daca o transformam cu considerarea efectului densitatii atunci obtinem o expresie din care rezulta ca dE/dx la viteze foarte mari nu depinde de si E. In legatura cu aceasta, cresterea relativa a marimii dE/dx inceteaza incepand de la o energie oarecare si curba se incheie cu un platou.

Efectul densitatii apare mai pregnant in mediile condensate decat in cele rarefiate. Cantitativ aceasta se exprima prin aceea ca cresterea relativista a pierderii prin ionizare nu este aceeasi pentru diferite

medii. In solide ea se masoara in procente, iar in gaze in zecimi de procente. Ca un exemplu de ilustrare a rolului cresterii relativiste a pierderii prin ionizare si a efectului densitatii dam datele

referitoare la miscarea unei particule incarcate intr-o emulsie fotografica. In acest caz curba pentru dE/dx (Fig. 1.4) realizeaza minimul la , apoi creste aproximativ cu 10% si incepand cu ajunge la platou.

Pentru energii mici insa ale particulei incidente, asa cum prezic relatiile (1.9) si (1.11), puterea de stopare scade cu cresterea energiei. In figura 1.6 este data variatia puterii de separare cu energia pentru protoni in siliciu si germaniu.

Fig. 1.6. Puterea de stopare pentru protoni in siliciu si germaniu