ECUATIILE LUI MAXWELL
Ecuatiile lui Maxwell, stabilite in 1864, sunt expresia cea mai generala a legilor electromagnetismului clasic. Cuplajul dintre fenomenele electrice si magnetice care apare in aceste ecuatii permite explicarea propagarii undei electromagnetice. In cazul regimului lent variabil, propagarea poate fi neglijata.
1. Legea inductiei si legea conservarii sarcinii electrice
Aparitia curentului indus intr-un conductor fix, situat in camp electric nestationar, este exprimata prin ecuatia Maxwell - Faraday si prin conservarea fluxului magnetic :
(1)
In
regim stationar, s-au stabilit teorema Gauss : si teorema
Ampère :
. In acest cadru, densitatea de curent
verifica
relatia (flux conservativ) :
.
In
regim variabil aceste doua teoreme nu sunt compatibile cu legea
conservarii sarcinii electrice : . Densitatea volumica de curent nu mai este conservativa,
deoarece densitatea volumica de sarcina poate varia in timp.
Experienta a aratat ca fluxul campului electric printr-o suprafata inchisa oarecare nu depinde de starea de miscare a sarcinilor electrice. Deci teorema Gauss poate fi generalizata si pentru regimul variabil.
2. Ecuatia Maxwell - Ampère
Teorema Ampère, in forma stabilita anterior, nu poate fi folosita in cazul regimului variabil. Pentru a demonstra acest lucru se considera o sfera din material radioactiv, omogena, de raza R care emite particule incarcate. Aceasta emisie determina aparitia unui curent de sarcini. Daca fluxul particulelor este suficient de intens pentru a putea justifica o aproximatie continua, densitatea volumica de curent poate fi scrisa (Fig. 1) :
Figura 1
Materia, initial neutra, se incarca cu sarcina de semn opus celei purtate de particulele emise. Scriind legea de conservare a sarcinii pentru o sfera de raza r, delimitata de o suprafata S se obtine :
(2)
unde Q(t) este sarcina din interiorul sferei.
Cum
coincide cu vectorul
unitar
se obtine :
(3)
Cum
toate planele ce trec prin punctul M si prin centrul sferei sunt plane de
simetrie pentru aceasta distributie de curent, trebuie sa fie
perpendicular pe toate aceste plane, deci
=0. Se obtine deci rot
=0 relatie ce este in contradictie cu teorema
Ampère scrisa pentru regim stationar.
Sarcinile creaza un camp electric a carui valoare poate fi obtinuta aplicand teorema Gauss :
de unde, tinand seama de simetria radiala, se obtine :
(4)
Variatia
in timp a vectorului este :
(5)
deci termenul este opusul
densitatii volumice de curent
si se
numeste curent de deplasare.
Maxwell a fost cel care a considerat pentru prima data ca acest termen este o sursa de camp magnetic. In regim variabil teorema Ampère este inlocuita prin ecuatia Maxwell - Ampère :
(6)
3. Ecuatiile lui Maxwell in vid
3.1. Forma locala
In vid, in prezenta sarcinilor, campul electromagnetic satisface urmatoarele patru ecuatii :
- ecuatia Maxwell - Faraday (7)
- ecuatia conservarii fluxului
magnetic (8)
- ecuatia Maxwell - Gauss (9)
- ecuatia Maxwell - Ampère (10)
Aceste
ecuatii nu sunt supuse nici unei restrictii in ceea ce priveste
variatia temporala sau spatiala a surselor. Primele
doua ecuatii contin doar campul electromagnetic . Acestea exprima legea inductiei,
independenta de prezenta eventuala a unui mediu material.
Urmatoarele doua leaga campul
de surse
constituite din
sarcini electrice fixe sau mobile.
Cuplajul
dintre campul electric si magnetic este intarit prin prezenta
termenului de deplasare. Existenta unui camp electric intr-un punct unde
exista un camp magnetic variabil (ecuatia 7) are deci o
reciproca : intr-un punct in care exista un camp electric variabil
exista si un camp magnetic variabil (ecuatia 10). Ecuatiile
Maxwell formeaza un sistem de ecuatii cuplate in care vectorii se prezinta ca
doua aspecte ale aceleasi entitati : campul
electromagnetic
.
3.2. Forma integrala
Sub forma integrala ecuatiile Maxwell se scriu :
- ecuatia Maxwell - Faraday (11)
- ecuatia conservarii fluxului
magnetic (12)
- ecuatia Maxwell - Gauss (13)
- - ecuatia Maxwell - Ampère (14)
unde I este valoarea algebrica a intensitatii curentului electric ce traverseaza, la momentul t, suprafata S care se sprijina pe conturul orientat C.
3.3. Definitia potentialului electromagnetic
Se
poate defini un potential electromagnetic din care deriva
campul electromagnetic
prin
relatiile :
(15)
Relatiile
(15) nu definesc de o maniera
univoca. Intr-adevar, campul
nu se modifica
daca in locul cuplului
se introduce cuplul
astfel ca :
(16)
Prima din relatiile (16) este verificata daca :
(17)
unde f este un camp scalar oarecare. A doua relatie este verificata daca :
(18)
Pentru calculul potentialului trebuie impusa o conditie suplimentara. Pentru a obtine o astfel de conditie suplimentara se inlocuesc in ecuatiile (9) si (10), relatiile (15) si se obtine :
(19)
si
(20)
Folosind identitatea
relatia (20) devine :
(21)
Produsul
are dimensiunea
inversului patratului unei viteze, se noteaza :
(22)
Ecuatiile (19) si (21) se simplifica foarte mult daca se adopta conditia :
(23)
Conditia precedenta poarta numele de conditia Lorentz. In cazul adoparii acestei conditii potentialul scalar si potentialul vector sunt decuplate si verifica ecuatiile :
(25)
4. Regim cuasistationar
Rezolvarea
ecuatiilor lui Maxwell in prezenta surselor variabile este
delicata. O alegere posibila pentru potential este solutia
potentialului intarziat ce are forma :
(26)
si
(27)
Din
expresiile precedente se vede ca valoarea potentialului in punctul M,
la momentul t depinde de valorile surselor situate la o distanta PM=r
la momentul t-r/c. Evolutia potentialului este in intarziere in
raport cu cea a surselor cu un interval de timp egal cu durata de propagare a
semnalului de la surse pana
la punctul M. Semnalul se propaga cu viteza
egala cu viteza
de propagare a luminii in vid. Fenomenul de propagare este una din
consecintele importante a ecuatiilor lui Maxwell.
Daca
evolutia in timp a surselor este suficient de lenta, adica
durata de propagare este foarte mica
fata de o durata T caracteristica pentru aceasta
evolutie, se poate admite ca potentialul si deci si
campul urmaresc instantaneu evolutia surselor. Aceasta
aproximatie
este numita
aproximatia regimului quasistationar. In aceste conditii se pot
calcula potentialele cu aceleasi formule ca si in regimul
stationar :
Expresia
campului este dedusa din
cea a potentialului
cu ajutorul
relatiilor :
4.1. Electrodinamica in regim cuasistationar
In
aproximatia cuasistationara, indicatia data de un
ampermetru plasat in serie in circuit este independenta de pozitia
aparatului de masura. Daca este vectorul
densitate de curent in ampermetru si Sa este aria
sectiunii traversate de catre sarcinile electrice, indicatia
aparatului va fi :
(28)
Daca
circuitul este constituit dintr-un sir de conductori, fara nici
o intrerupere, fluxul lui este conservativ
si ia(t) este fluxul densitatii de curent ce
traverseaza o sectiune oarecare a circuitului.
Daca
circuitul are o intrerupere provocata de un condensator, intensitatea
masurata este egala si cu fluxul termenului de deplasare in spatiul vid
dintre armaturi. In acest caz indicatia ia este :
(29)
Totul se petece ca si cum circuitul fizic intrerupt de catre condensator ar fi inchis, curentul de deplasare inlocuind in condensator curentul de conductie.
In
regim variabil, circulatia lui nemaifiind
conservativa, diferenta de potential isi pierde
semnificatia fizica din regimul stationar. Se introduce acum
conceptul de tensiune la bornele unui dipol AB prin circulatia lui
in lungul ramurii ce
contine voltmetrul orientata de la A la B :
(30)
Relatia intre intensitatea i(t) si tensiunea uAB(t) pentru un dipol dat nu este, in general, liniara.
In cazul unui dipol rezistiv se aplica relatia integrala Maxwell - Faraday pentru un contur C constituit din dipolul rezistiv R si circuitul aparatului de masura (Fig. 2) :
Figura 2
Tinand
seama de legea lui Ohm (), se obtine :
Daca variatia fluxului campului magnetic este neglijabila pe langa circulatia campului electric, ceea ce este cazul in dipolii rezistivi, atunci :
(31)
Rezistenta este :
si deci legea lui Ohm in aproximatia cuasistationara este :
(32)
Pentru un dipol capacitiv, de capacitate C se poate scrie
deoarece in aproximatia cuasistationara fenomenele de inductie pot fi neglijate. In acesta aproximatie se poate scrie :
S fiind suprafata armaturilor. Teorema Coulomb conduce la :
si se obtine :
(33)
Cum din conservarea sarcinii electrice se
poate scrie , se obtine in final :
(40)
Pentru un dipol pur inductiv legea inductiei conduce la :
In general pentru un circuit inductiv trebuiesc considerate doua situatii :
este campul propriu. In acest caz
si :
ceea ce conduce, daca circuitul nu este deformabil (L=ct.), la :
(41)
este un camp aplicat datorat unor surse exterioare. In acest
caz :
(42)
si in acest caz dipolul se comporta ca un convertizor realizand transferul de energie intre sursele campului aplicat si circuit.
Politica de confidentialitate |
![]() |
Copyright ©
2025 - Toate drepturile rezervate. Toate documentele au caracter informativ cu scop educational. |
Personaje din literatura |
Baltagul – caracterizarea personajelor |
Caracterizare Alexandru Lapusneanul |
Caracterizarea lui Gavilescu |
Caracterizarea personajelor negative din basmul |
Tehnica si mecanica |
Cuplaje - definitii. notatii. exemple. repere istorice. |
Actionare macara |
Reprezentarea si cotarea filetelor |
Geografie |
Turismul pe terra |
Vulcanii Și mediul |
Padurile pe terra si industrializarea lemnului |
Termeni si conditii |
Contact |
Creeaza si tu |