Ecuatiile lui maxwell

ECUATIILE LUI MAXWELL

Ecuatiile lui Maxwell, stabilite in 1864, sunt expresia cea mai generala a legilor electromagnetismului clasic. Cuplajul dintre fenomenele electrice si magnetice care apare in aceste ecuatii permite explicarea propagarii undei electromagnetice. In cazul regimului lent variabil, propagarea poate fi neglijata.

1. Legea inductiei si legea conservarii sarcinii electrice

Aparitia curentului indus intr-un conductor fix, situat in camp electric nestationar, este exprimata prin ecuatia Maxwell - Faraday si prin conservarea fluxului magnetic :

(1)

In regim stationar, s-au stabilit teorema Gauss : si teorema Ampère : . In acest cadru, densitatea de curent verifica relatia (flux conservativ) : .

In regim variabil aceste doua teoreme nu sunt compatibile cu legea conservarii sarcinii electrice : . Densitatea volumica de curent nu mai este conservativa, deoarece densitatea volumica de sarcina  poate varia in timp.

 

Experienta a aratat ca fluxul campului electric printr-o suprafata inchisa oarecare nu depinde de starea de miscare a sarcinilor electrice. Deci teorema Gauss poate fi generalizata si pentru regimul variabil.

2. Ecuatia Maxwell - Ampère

Teorema Ampère, in forma stabilita anterior, nu poate fi folosita in cazul regimului variabil. Pentru a demonstra acest lucru se considera o sfera din material radioactiv, omogena, de raza R care emite particule incarcate. Aceasta emisie determina aparitia unui curent de sarcini. Daca fluxul particulelor este suficient de intens pentru a putea justifica o aproximatie continua, densitatea volumica de curent poate fi scrisa (Fig. 1) :

Figura 1

Materia, initial neutra, se incarca cu sarcina de semn opus celei purtate de particulele emise. Scriind legea de conservare a sarcinii pentru o sfera de raza r, delimitata de o suprafata S se obtine :

(2)

unde Q(t) este sarcina din interiorul sferei.

Cum coincide cu vectorul unitar se obtine :

(3)

Cum toate planele ce trec prin punctul M si prin centrul sferei sunt plane de simetrie pentru aceasta distributie de curent, trebuie sa fie perpendicular pe toate aceste plane, deci =0. Se obtine deci rot =0 relatie ce este in contradictie cu teorema Ampère scrisa pentru regim stationar.

Sarcinile creaza un camp electric a carui valoare poate fi obtinuta aplicand teorema Gauss :

de unde, tinand seama de simetria radiala, se obtine :

(4)

Variatia in timp a vectorului este :

(5)

deci termenul este opusul densitatii volumice de curent si se numeste curent de deplasare.

Maxwell a fost cel care a considerat pentru prima data ca acest termen este o sursa de camp magnetic. In regim variabil teorema Ampère este inlocuita prin ecuatia Maxwell - Ampère :

(6)

3. Ecuatiile lui Maxwell in vid

3.1. Forma locala

In vid, in prezenta sarcinilor, campul electromagnetic satisface urmatoarele patru ecuatii :

- ecuatia Maxwell - Faraday  (7)

- ecuatia conservarii fluxului magnetic (8)

- ecuatia Maxwell - Gauss  (9)

- ecuatia Maxwell - Ampère  (10)

Aceste ecuatii nu sunt supuse nici unei restrictii in ceea ce priveste variatia temporala sau spatiala a surselor. Primele doua ecuatii contin doar campul electromagnetic . Acestea exprima legea inductiei, independenta de prezenta eventuala a unui mediu material. Urmatoarele doua leaga campul de surse constituite din sarcini electrice fixe sau mobile.

Cuplajul dintre campul electric si magnetic este intarit prin prezenta termenului de deplasare. Existenta unui camp electric intr-un punct unde exista un camp magnetic variabil (ecuatia 7) are deci o reciproca : intr-un punct in care exista un camp electric variabil exista si un camp magnetic variabil (ecuatia 10). Ecuatiile Maxwell formeaza un sistem de ecuatii cuplate in care vectorii se prezinta ca doua aspecte ale aceleasi entitati : campul electromagnetic .

3.2. Forma integrala

Sub forma integrala ecuatiile Maxwell se scriu :

- ecuatia Maxwell - Faraday  (11)

- ecuatia conservarii fluxului magnetic (12)

- ecuatia Maxwell - Gauss  (13)

- - ecuatia Maxwell - Ampère  (14)

unde I este valoarea algebrica a intensitatii curentului electric ce traverseaza, la momentul t, suprafata S care se sprijina pe conturul orientat C.

3.3. Definitia potentialului electromagnetic

Se poate defini un potential electromagnetic din care deriva campul electromagnetic prin relatiile :

(15)

Relatiile (15) nu definesc de o maniera univoca. Intr-adevar, campul nu se modifica daca in locul cuplului se introduce cuplul astfel ca :

(16)

Prima din relatiile (16) este verificata daca :

(17)

unde f este un camp scalar oarecare. A doua relatie este verificata daca :

(18)

Pentru calculul potentialului trebuie impusa o conditie suplimentara. Pentru a obtine o astfel de conditie suplimentara se inlocuesc in ecuatiile (9) si (10), relatiile (15) si se obtine :

(19)

si

(20)

Folosind identitatea

relatia (20) devine :

(21)

Produsul are dimensiunea inversului patratului unei viteze, se noteaza :

(22)

Ecuatiile (19) si (21) se simplifica foarte mult daca se adopta conditia :

(23)

Conditia precedenta poarta numele de conditia Lorentz. In cazul adoparii acestei conditii potentialul scalar si potentialul vector sunt decuplate si verifica ecuatiile :

(25)

4. Regim cuasistationar

Rezolvarea ecuatiilor lui Maxwell in prezenta surselor variabile este delicata. O alegere posibila pentru potential este solutia potentialului intarziat ce are forma :

(26)

si

(27)

Din expresiile precedente se vede ca valoarea potentialului in punctul M, la momentul t depinde de valorile surselor situate la o distanta PM=r la momentul t-r/c. Evolutia potentialului este in intarziere in raport cu cea a surselor cu un interval de timp egal cu durata de propagare a semnalului de la surse pana la punctul M. Semnalul se propaga cu viteza egala cu viteza de propagare a luminii in vid. Fenomenul de propagare este una din consecintele importante a ecuatiilor lui Maxwell.

Daca evolutia in timp a surselor este suficient de lenta, adica durata de propagare este foarte mica fata de o durata T caracteristica pentru aceasta evolutie, se poate admite ca potentialul si deci si campul urmaresc instantaneu evolutia surselor. Aceasta aproximatie este numita aproximatia regimului quasistationar. In aceste conditii se pot calcula potentialele cu aceleasi formule ca si in regimul stationar :

Expresia campului este dedusa din cea a potentialului cu ajutorul relatiilor :

4.1. Electrodinamica in regim cuasistationar

In aproximatia cuasistationara, indicatia data de un ampermetru plasat in serie in circuit este independenta de pozitia aparatului de masura. Daca este vectorul densitate de curent in ampermetru si S_a este aria sectiunii traversate de catre sarcinile electrice, indicatia aparatului va fi :

(28)

Daca circuitul este constituit dintr-un sir de conductori, fara nici o intrerupere, fluxul lui este conservativ si i_a(t) este fluxul densitatii de curent ce traverseaza o sectiune oarecare a circuitului.

Daca circuitul are o intrerupere provocata de un condensator, intensitatea masurata este egala si cu fluxul termenului de deplasare in spatiul vid dintre armaturi. In acest caz indicatia i_a este :

(29)

Totul se petece ca si cum circuitul fizic intrerupt de catre condensator ar fi inchis, curentul de deplasare inlocuind in condensator curentul de conductie.

In regim variabil, circulatia lui nemaifiind conservativa, diferenta de potential isi pierde semnificatia fizica din regimul stationar. Se introduce acum conceptul de tensiune la bornele unui dipol AB prin circulatia lui in lungul ramurii ce contine voltmetrul orientata de la A la B :

(30)

Relatia intre intensitatea i(t) si tensiunea u_AB(t) pentru un dipol dat nu este, in general, liniara.

In cazul unui dipol rezistiv se aplica relatia integrala Maxwell - Faraday pentru un contur C constituit din dipolul rezistiv R si circuitul aparatului de masura (Fig. 2) :

Figura 2

Tinand seama de legea lui Ohm (), se obtine :

Daca variatia fluxului campului magnetic este neglijabila pe langa circulatia campului electric, ceea ce este cazul in dipolii rezistivi, atunci :

(31)

Rezistenta este :

si deci legea lui Ohm in aproximatia cuasistationara este :

(32)

Pentru un dipol capacitiv, de capacitate C se poate scrie

deoarece in aproximatia cuasistationara fenomenele de inductie pot fi neglijate. In acesta aproximatie se poate scrie :

S fiind suprafata armaturilor. Teorema Coulomb conduce la :

si se obtine :

(33)

Cum din conservarea sarcinii electrice se poate scrie , se obtine in final :

(40)

Pentru un dipol pur inductiv legea inductiei conduce la :

In general pentru un circuit inductiv trebuiesc considerate doua situatii :

este campul propriu. In acest caz si :

ceea ce conduce, daca circuitul nu este deformabil (L=ct.), la :

(41)

este un camp aplicat datorat unor surse exterioare. In acest caz :

(42)

si in acest caz dipolul se comporta ca un convertizor realizand transferul de energie intre sursele campului aplicat si circuit.