Probleme fizica camp magnetic, bobine cilindrice

Problema 6.7. O bobina cilindrica este formata din N spire uniform distribuite si are grosimea neglijabila. Pentru ce valori ale raportului dintre lungimea si diametrul bobinei , intensitatea campului magnetic in centrul acesteia se poate calcula cu formula determinata in cazul bobinei infinit lungi ?

Solutie. Fie H - intensitatea campului magnetic in centrul bobinei si H - intensitatea campului magnetic pentru bobina infinit lunga.

La problema 6.6. s-a determinat:

Deci:

unde:

Valorile intensitatii campului magnetic in centrul unei bobine de lungime finita, pentru diferite valori k, sunt date in tabela 6.2.

Tabela 6.2

Se observa din tabela 6.2. ca pentru , intensitatea campului magnetic in centrul bobinei poate fi determinata, cu aproximatie de cel mult , folosind formula corespunzatoare bobinei de lungime infinita.

Problema 6.8. O bobina cilindrica de lungime l, de raza interioara a si raza exterioara b este bobinata uniform cu N spire. Bobina fiind strabatuta de curentul I, sa se calculeze intensitatea campului magnetic in centrul bobinei.

Solutie. In problema 6.6. s-a determinat intensitatea campului magnetic in centrul unei bobine cilindrice de grosime neglijabila:

unde N' reprezinta numarul de spire ale bobinei de grosime dx (fig.6.11).

Deci:

Insa:

Rezulta:

Problema 6.9. Un cilindru metalic de raza a si lungime l, incarcat uniform in sarcina electrica Q, se roteste cu viteza unghiulara w in jurul axei sale. Sa se calculeze intensitatea campului magnetic in punctuele de pe axa (fig.6.12).

Solutie. Un element de suprafata al cilindrului:

dS = a dj dx este incarcat cu sarcina dQ = r_s dS, unde reprezinta densitatea de suprafata a sarcinii electrice. Rezulta:

Sarcinii electrice dQ in miscare de rotatie cu viteza unghiulara w ii corespunde curentul electric:

Deoarece:

se obtine:

O spira circulara de raza a strabatuta de curentul dI determina intr-un punct oarecare P de pe axa, campul magnetic:

(problema 6.4), unde:

Rezulta:

Campul magnetic determinat de cilindru in punctul P se calculeaza pe baza principiului superpozitiei. Se obtine:

Se poate face observatia ca, sarcinii electrice Q de pe cilindrul in miscare de rotatie cu viteza unghiulara w ii corespunde curentul electric total:

Tinand seama de aceasta expresie, se obtine:

adica acelasi rezultat care s-a obtinut la problema 6.6.

Problema 6.10. O sfera metalica de raza R incarcata uniform cu sarcina electrica Q se roteste cu viteza unghiulara w in jurul unui diametru. Sa se calculeze intensitatea campului magnetic in centrul sferei.

Solutie. Sfera este incarcata uniform cu densitatea superficiala de sarcina electrica .

Un element de suprafata al sferei

este incarcat cu sarcina electrica:

Curentul electric dI, care corespunde sarcinii dQ in miscare de rotatie cu viteza unghiulara w, are expresia:

unde s-a inlocuit

O spira circulara de raza r strabatuta de curentul dI determina in punctul campul magnetic (problema 6.4):

unde r = R sin a

Sau:

Integrand aceasta expresie se obtine:

Problema 6.11. Un cilindru infinit lung de raza a este strabatut de un curent electric I constant in timp. Sa se studieze variatia functiei potentiale vectoriale A in interiorul si exteriorul cilindrului (fig.6.14).

Solutie. In interiorul cilindrului functia A satisface ecuatia:

Deoarece rezulta , fiind vectorul unitar al axei 0z

Deci: .

In coordonate cilindrice laplacianul are forma:

care, pentru cazul studiat:

se transforma in:

Integrand de doua ori se obtine:

In domeniul exterior conductei, functia potentiala A satisface ecuatia lui Laplace:

sau, in coordonate cilindrice:

care prin integrare da:

Determinarea constantelor se face tinand seama de conditiile de limita.

Deoarece functia potentiala este finita pentru orice punct din domeniu, deci si pentru r = 0, este necesar ca C' , adica:

Pentru puncte situate in exteriorul conductei:

iar din conditia de continuitate a componentelor tangente ale intensitatii campului magnetic avem:

Cum:

si

rezulta:

Solutia pentru domeniul exterior este deci:

iar pentru punctele din interiorul conductei:

Constantele C si C' pot fi reduse la una singura punand conditia de continuitate a potentialului vector la r = a

unde:

deci in punctele exterioare conductei, potentialul vector va fi:

Constanta C' depinde de alegerea punctului de referinta pentru A, punct in care A = 0

Daca acest punct este luat pe suprafata conductei:

r = a, A = 0

urmeaza ca:

si deci functia potentiala vectoare admite urmatoarele expresii finale:

in interiorul conductei si

in exteriorul ei.

Cu acestea, se poate calcula vectorul inductie magnetica in punctele din interiorul, respectiv exteriorul conductei:

respectiv

Problema 6.12. Se considera un corp masiv feromagnetic cu permeabilitatea magnetica m = const., care are o suprafata plana foarte mare. In interiorul corpului masiv, la adancimea h de suprafata plana se afla asezat un conductor izolat, rectiliniu si foarte lung, strabatut de curentul I. Sa se calculeze campul magnetic in interiorul si exteriorul corpului feromagnetic.

Solutie. Datorita prezentei suprafetei de separatie dintre doua medii cu permeabilitati magnetice diferite, liniile campului magnetic se abat de la simetria cilindrica si se inchid in mare parte prin fier (fig.6.15).

In exteriorul corpului masiv campul magnetic are acelasi spectru ca si campul produs de un conductor imaginar rectiliniu si foarte lung, strabatut de un curent I' si situat in aer in locul conductorului strabatut de curentul I. Campul magnetic in corpul feromagnetic se determina daca se considera un conductor imaginar strabatut de curentul I', in sens contrar fata de I, situat la distanta h deasupra suprafetei de separatie, intregul spatiu fiind ocupat de materialul feromagnetic. Campul magnetic in corpul feromagnetic va fi determinat de contributia curentilor I si I'

Valorile curentilor I si I' se determina din conditiile de pe suprafata de frontiera (fier-aer) si anume:

egalitatea componentelor tangentiale ale intensitatii campului magnetic in cele doua medii:

H_t1 = H_t2

egalitatea componentelor normale ale inductiei magnetice in cele doua medii:

B_n1 = B_n2

Tinand seama de consideratiile de mai sus si de notatiile din fig.6.16.a rezulta:

a b

Fig.6.16.

Din conditiile de pe suprafata de frontiera se obtine:

adica:

si

Componentele intensitatii campului magnetic intr-un punct oarecare P (fig.6.16.b) din corpul feromagnetic sunt:

Campul magnetic rezultant este deci:

Daca punctul P se afla in exteriorul corpului feromagnetic, campul magnetic are valoarea:

Problema 6.13. Intr-un camp magnetic initial uniform de intensitate H se introduce un cilindru de fier foarte lung, de raza a si permeabilitate m = const., perpendicular pe liniile de camp. Sa se determine vectorul magnetizatie M in interiorul cilindrului.

Solutie. Se alege axa 0z a sistemului de referinta in lungul axei cilindrului si axa 0x in directia campului.

Se foloseste potentialul magnetic scalar V_H. In aceasta situatie campul fiind plan paralel, intr-un punct oarecare P potentialul magnetic scalar V_H depinde numai de coordonatele cilindrice ale punctului r si a

Fie V_H0 potentialul magnetic scalar corespunzator campului initial uniform H . Deoarece V_H0 se modifica numai cu x, se poate scrie:

;

S-a considerat: C₂ = 0 (pentru r = 0; V_H0

Campul magnetic initial uniform se perturba prin introducerea cilindrului metalic care se magnetizeaza.

Fie V_H1 potentialul magnetic scalar in exterior si V_H2 potentialul in interiorul cilindrului.

Conditiile la limita sunt:

pentru r = a

Se presupune ca cilindrul de fier introdus in camp se magnetizeaza uniform, urmand ca aceasta presupunere sa fie verificata de rezultatul care se obtine prin calcul. Aceasta ipoteza se scrie astfel:

(2)

C fiind o constanta care se va determina din conditiile la limita.

Termenul CV_H0 reprezinta contributia cilindrului de fier la producerea campului magnetic.

Pentru a tine seama de contributia cilindrului magnetizat in scopul determinarii potentialului magnetic scalar V_H1 in exterior, se va presupune ca prin introducerea in camp, pe suprafata lui se separa sarcini magnetice de semn contrar. Se echivaleaza apoi influenta in exterior a acestor sarcini magnetice fictive cu un dipol format din sarcini lineiforme (doua sarcini liniare egale si de semn opus la distanta foarte mica).

Prin analogie cu un rezultat din electrostatica, potentialul scalar V_H corespunzator unui fir infinit lung avand densitatea de sarcina magnetica r_lm va fi:

Potentialul magnetic scalar V'_H dat de cele doua fire este:

Se stie ca:

si deoarece termenul este mic se considera numai primul termen din dezvoltarea in serie:

Deci:

Se noteaza:

k- reprezinta momentul magnetic al dipolului liniar.

Rezulta:

Momentul magnetic k si constanta C' se vor determina din conditiile de limita.

Potentialul magnetic in exterior este deci:

V'_H reprezentand contributia cilindrului magnetizat.

Sau:

Punand conditia la limita: pentru r , campul magnetic ramane uniform, adica:

se obtine: C' = 0

Deci:

(3)

Din relatiile (2) si (3), folosind conditiile la limita (1), se calculeaza C si k

Se obtine succesiv:

Iar din:

rezulta:

Daca se tine seama ca: m m m_r

m_r - fiind permeabilitatea magnetica relativa, se obtine:

iar

Din relatia (2) rezulta:

Componentele intensitatii campului magnetic in cilindru sunt:

iar

Campul magnetic in cilindru este deci uniform.

Magnetizatia M in interiorul cilindrului este:

unde: c_m m_r este susceptivitatea magnetica.

Deci: .