Solutia Reynolds a ecuatiei Navier-Stokes pentru curgerea in straturi subtiri

Solutia Reynolds a ecuatiei Navier-Stokes pentru curgerea in straturi subtiri

Miscarea fluidelor vascoase in straturi subtiri, fara a fi cu adevarat o miscare plana, este caracterizata cu o buna aproximatie de un camp de viteze bidimensional datorita diferentei scarilor de lungime ale domeniului fluid pe cele trei axe de coordonate. De exemplu, in figura 11.8 distanta dintre suprafetele z si (h reprezentand lungimea caracteristica corespunzatoare directiei Ox ) este cu mult mai mica  decat lungimile caracteristice directiilor Ox si Ox

(11.58)

In consecinta, cinematica fluidului de viscozitate ce se gaseste intre cele doua suprafete este caracterizat numai de componentele de viteza si , componenta fiind neglijabila ca marime. Mai mult, gradientii de viteza pe directiile Ox si Ox₂ se neglijeaza comparativ cu gradientii componentelor de viteza pe directia Ox

In aceste ipoteze, sistemul de ecuatii (11.6) capata forma redusa

, (11.59)₁

, (11.59)₂

, (11.59)₃

cu din (11.6)₂ obtinandu-se

(11.60)

In (11.59)₃, datorita grosimii h foarte mici a stratului de fluid, greutatea a fost neglijata.

In (11.60) cu si s-au notat componentele de viteza pe directia Ox₃ a suprafetelor z si ; deoarece acestea sunt si raman suprafete materiale pe tot timpul miscarii rezulta

,

,

unde cu "V" s-au notat componentele de viteza ale celor doua suprafete (v. figura 11.8).

Miscarea analizata este caracterizata de urmatoarele conditii la limita:

, si ; (11.63)

, si . (11.64)

Deoarece presiunea nu depinde de directia Ox (v. relatia (11.59)₃) prin integrarea ecuatiilor (11.59)₁ si (11.59)₂ se obtin distributiile de viteze

, (11.65)

cu i = 1, 2. Din (11.63) (11.65) rezulta

. (11.66)

Fig. 11.8. Miscarea fluidului vascos in stratul subtire de grosime h.

Folosind formula derivarii unei integrale functie de un parametru

(11.67)

relatia (11.55) devine

(11.68)

Inlocuind distributiile de viteza (11.66) in (11.68) si folosind (11.61) si (11.62), dupa efectuarea integralelor, unde , se obtine ecuatia

(11.69)

Relatia (11.69) este cunoscuta sub denumirea de relatia Reynolds pentru lubrificatie. Este o ecuatie cu derivate partiale in care functia necunoscuta este presiunea in stratul subtire de fluid vascos (filmul de lubrifiant). Distributia de presiuni se determina in functie de variatia spatiala si temporala a grosimii de fluid h, precum si de vitezele suprafetelor care delimiteaza curgerea.