APLICATII - Calcule trigonometrice

APLICATII - Calcule trigonometrice

1. Calcularea punctelor auxiliare de-a lungul unei drepte

De-a lungul unei drepte apartinand unui contur, intre punctele P₁ si P₂ (P₁: x = 15, z = 105; P₂: x = 50, z = 62), se cere calculul valorii coordonatei z al unui punct auxiliar in punctul in care coordonata x are valoarea 30 (vezi Fig. 5.71.a). Un astfel de calcul poate fi necesar, de exemplu, atunci cand o operatie de degrosare necesita mai multe treceri. Problema se rezolva in urmatorii pasi :

Primul pas:

Trasand o paralela axei z prin punctele P₁ si H si o alta paralela la axa X, care se intersecteaza cu punctul P₂, se obtin doua triunghiuri dreptunghice suprapuse. Trebuie calculata distanta "b".

Al doilea pas:

Fig. 5.71 b indica faptul ca teorema asemanarii este aplicabila. Se aplica formula data de teorema asemanarii (Fig. 5.71 c)

Al treilea pas:

Cu ajutorul Fig. 5.71a, putem calcula valorile A, B si a cerute pentru a aplica teorema asemanarii (Fig. d)

A = 50 mm - 15 mm = 35 mm

B = 105 mm - 62 mm = 43 mm

C = 50 mm - 30 mm = 20 mm

Al patrulea pas:

Prin rearanjarea formulei teoremei asemanarii se obtine:

b =

Al cincilea pas:

Valoarea punctului H pe coordonata z se obtine (Fig. 5.72 e) prin adunarea valorii coordonatei punctului P₂ pe axa Z si distanta b. Rezulta valoarea punctului H pe coordonata z = 62 mm + 24,57 mm = 86,57 mm

2: Calcularea lungimii generatoarei conului

O piesa strunjita (Fig. 5.73 a) are o zona conica intre punctele P₁ si P₂. Punctul P₁ are coordonatele x = 15 si z = 85. Unghiul dintre generatoarea conului si axa z este α = 35⁰. Numai coordonata x, adica 50, este cunoscuta pentru punctul P₂. Sa se calculeze coordonata z.

Primul pas:

Se traseaza doua paralele la axele x si z prin punctele P₁ s P₂, astfel incat problema sa poata fi rezolvata prin calcule trigonometrice (Fig.5.73 b)

Al doilea pas:

Din triunghiul prezentat in Fig.5.73 b se cunosc unghiul α si latura a. Trebuie sa se afle latura b. Pentru aflarea acesteia se aplica functia tan.

Al treilea pas:

Din formula functiei tan, se obtine b =

Introducand valorile laturii a si a unghiului α, se obtine

b =

Al patrulea pas:

Coordonata z a punctului P₂ este obtinuta prin scaderea lungimii laturii b a triunghiului (Fig. 5.73 d) din coordonata z a punctului P₁ ( z = 85)

Coordonata z a punctului P₁ = 85 mm

Lungimea laturii b  = 50 mm

Coordonata z a punctului P₂ = 35 mm

3: Calcularea coordonatelor centrului cercului

Intre punctele P₁ si P₂ ale unui contur frezat (Fig. 5.74 a) ( P₁: x = 20, z = 70; P₂: x = 45, z = 40), trebuie sa se frezeze un arc de cerc cu raza R = 50 mm. Sa se calculeze coordonatele centrului cercului ( presupunand ca sistemul de control poate permite doar programarea centrului cercului).

Primul pas:

Din triunghiul obtinut (Fig. 5.74 b) se poate calcula distanta intre P₁ si P₂ aplicand teorema lui Pitagora ( a² + b² = c²). Lungimile laturilor a si b rezulta din coordonatele punctelor P₁ si P₂.

a + b = c se obtine c₁ = ; a₁ = 25 mm; b₁ = 30 mm

c₁ = = = 39,05 mm

Al doilea pas:

Calculul unghiului α₁ (Fig.5.74 c) prin aplicarea functiei trigonometrice tan:

tan α_{1 = = =}

Al treilea pas:

Se formeaza triunghiul isoscel de-a lungul distantei de corectie cu lungimile laturilor R = 50 mm (Fig. 5.74 d) si se imparte acest triunghi in doua triunghiuri dreptunghice congruente cu b₂ = ½ c₁ = 19,53 mm si c₂ = 50 mm

(Punctul P reprezinta centrul cercului dorit)

Al patrulea pas:

Calculul unghiului α₂ prin aplicarea functiei trigonometrice cos (Fig.5.74 e)

cos α₂ = = = 0,39 se obtine α₂ = 67,01⁰

Al cincilea pas:

Se aduna unghiurile α₁ si α₂ (Fig. e)

Al saselea pas:

Calculul distantelor punctului P spre punctul P₁ in directia x si z (Fig. f)

Distanta in directia x: U = R x sin β = 50 mm x sin 73,18⁰ = 50 mm x 0,96 = 47,86 mm (sin β = U/R) 

Distanta in directia z: W = R x cos β = 50 mm x cos 73,18⁰ = 50 mm x 0,29 = 14,47 mm

Al saptelea pas:

Calculul coordonatelor punctului P al centrului cercului din coordonatele punctului P₁ (x = 20, z = 70) si valorile lui U si W:

x = 20 + U = 20 + 47,86 = 67,86

z = 70 + W = 70 + 14,47 = 84,47

Exercitii pentru modulul "Calcule trigonometrice"

1. Calculul coordonatei Z a punctului H:

2. Calculul coordonatei X a punctului P₂:

3. Calculul coordonatelor centrului cercului: