Campuri scalare, campuri vectoriale, derivata dupa directie, gradient, rotor, divergenta

Campuri scalare, campuri vectoriale, derivata dupa directie, gradient, rotor, divergenta

Se considera campul scalar al inverselor distantelor de la origine la punctul din spatiu,

definit prin

, , unde .

(a). Determinati campul potential vectorial ; in acest caz, campul scalar se numeste potentialul campul vectorial .

(b). Determinati suprafata de nivel care trece prin punctul .

(c). Determinati liniile de camp ale campului . Sa se scrie ecuatia liniei de camp care trece prin punctul .

(d). Determinati suprafata de camp generata de liniile de camp ale campului , care trece prin curba (curba nu este linie de camp), definita prin

.

(e). Calculati si .

Indicatie. (a). Pentru calculul derivatelor partiale ale campului vom considera compunerea de functii .Fie . Prin derivarea aceastei relatii in raport cu obtinem deci avem . Analog obtinem si . Deoarece , atunci putem calcula derivatele partiale ale lui privita ca o functie compusa si avem

si .

Asadar,

. (6.1.1)

(b). Suprafata de nivel care trece prin punctul este definita de relatia . Deci, ecuatia suprafetei de nivel este

; (6.1.2)

(suprafata reprezinta sfera cu centrul in origine de raza ). Evident, pe aceasta suprafata campul scalar ia valoarea constanta egala cu . Deci oricare ar fi .

(c). Linia de camp a campului este o curba care se determina din conditia ca vectorul sa fie tangent curbei in fiecare punct al ei. Daca notam cu vectorul de pozitie al unui punct oarecare de pe curba atunci coliniaritatea vectorului cu vectorul deplasarii , care este tangent la linia de camp, se exprima prin conditia . Aceasta conditie poate fi scrisa cu relatiile diferentiale echivalente,

sau .

Din ecuatia , prin integrare, obtinem sau .

Ultima relatie se poate scrie sub forma sau , (s-a notat ). Analog,

din ecuatia , prin integrare, obtinem solutia , . Asadar, sistemul diferential considerat admite integralele prime independente

si . (*)

Atunci familia de linii de camp (integrala generala a sistemului diferential) depinde de doi parametrii reali si si reprezinta o familie de drepte obtinuta prin intersectia planelor (*). Daca dorim sa determinam acea linie de camp care trece prin punctul , atunci trebuie sa intersectam suprafetele definite de relatiile (*) unde si . Deci, ecuatia liniei de camp are forma

(reprezinta o dreapta in planul ). (6.1.3)

(d). Pentru a determina suprafata de camp generata de liniile de camp ale campului , care trece prin curba va trebui sa facem compatibil sistemul

.,

Obtinem conditia de compatibilitate . Inlocuind in aceasta conditie constantele si , cu valorile date de relatiile (*), obtinem ecuatia suprafetei de camp:

. (6.1.4)

Suprafata de camp reprezinta un con cu varful in originea reperului cartezian.

Fie vectorul normal la suprafata de camp in fiecare punct al suprafetei. Deoarece

,

atunci si deci vectorul , normal la suprafata, este colinear cu vectorul

.

Observam ca produsul scalar este nul,

,

ceea ce confirma ca vectorul este tangent suprafetei de camp fiecare punct al ei.

(e). Avem,

.

Asadar, campul vectorial este solenoidal, iar functia , este armonica in multimea .

si, in consecinta, campul vectorial este irotational.

Se considera campul scalar al distantelor de la origine la punctul din spatiu, definit prin

, , unde .

(a). Determinati campul potential vectorial ;

(b). Determinati suprafata de nivel care trece prin punctul .

(c). Determinati ecuatia liniei de camp a campului , care trece prin punctul .

(d). Determinati suprafata de camp generata de liniile de camp ale campului , care trece prin curba , definita prin .

(e). Calculati si .

Se considera campul vectorial , unde este un punct din spatiu. Se cere sa se calculeze si .

Indicatie. Avem,

(campul vectorial este solenoidal).

.

Fie un punct din spatiu. Calculati si pentru campurile vectoriale:

(i). ;

(ii) . ;

(iii). ;

Se considera campul scalar al distantelor de la origine la punctul din spatiu, definit prin

, , unde .

(a). Determinati valoarea campului in punctul si suprafata de nivel care trece prin

(b). Sa se determine derivatele campului in punctul dupa directiile axelor de coordonate si dupa directia , unde

(d). Care este directia dupa care derivata in punctul are valoarea maxima.

Indicatie. (a). Avem . Atunci si suprafata de nivel care trece prin punctul are ecuatia . Asadar, suprafata de nivel cautata este sfera cu centrul in originea axelor de coordonate avand raza egala cu (definita de ecuatia ).

(b). Observam ca . Atunci exista derivata dupa orice directie determinata de versorul , care trece prin punctul, si putem scrie .

Deoarece , , avem situatiile:

− derivata campului in punctul dupa directia axei , de versor , are valoarea

;

− derivata campului in punctul dupa directia axei de versor are valoarea

;

− derivata campului in punctul dupa directia axei de versor are valoarea

;

− Fie si versorul . Atunci derivata campului in punctul dupa directia vectorului are valoarea numerica

.

Valoarea derivatei dupa directia determinata de versorul intr-un punct este maxima cand coincide cu normala la suprafata de nivel dusa prin . Normala la suprafata de nivel are directia vectorului si atunci

.

Se considera campul scalar , definit prin .

(a). Determinati valoarea campului in punctul si suprafata de nivel care trece prin

(b). Sa se determine derivatele campului in punctul dupa directiile axelor de coordonate si dupa directia , unde . Care este directia dupa care variatia campului in punctul are valoarea maxima.

Indicatie. (a). Avem si atunci suprafata de nivel care trece prin punctul are ecuatia adica, .

(b). Folosim formula . Deoarece , atunci si avem:

− derivata campului in punctul dupa directia axei de versor are valoarea

;

− derivata campului in punctul dupa directia axei de versor are valoarea

;

− derivata campului in punctul dupa directia axei de versor are valoarea

;

− Fie vectorul si versorul corespunzatorAtunci derivata campului in punctul dupa directia vectorului are valoarea numerica

.

Valoarea derivatei dupa directia determinata de versorul , intr-un punct , este maxima cand coincide cu normala la suprafata de nivel dusa prin . Normala la suprafata de nivel are directia vectorului si atunci, in punctul , avem

.

Se considera campul scalar , definit prin .

(a). Determinati valoarea campului in punctul si suprafata de nivel care trece prin

(b). Sa se determine derivatele campului in punctul dupa directiile axelor de coordonate si dupa directia , unde .

(c). Determinati directia dupa care derivata in punctul are valoarea maxima si minima; adica, directia dupa care variatia campului are valori extreme.

Indicatie. (a). Avem ; atunci suprafata de nivel care trece prin punctul are ecuatia

.

(suprafata de nivel este sfera cu centrul in origine de raza egala cu ).

(b). Folosim formula . Deoarece , atunci in punctul , obtinem si avem:

− derivata campului in dupa directia axei de versor are valoarea

;

− derivata campului in punctul dupa directia are valoarea

;

− derivata campului in punctul dupa versorul are valoarea

;

− Fie vectorul si versorul sau Atunci derivata campului in punctul dupa directia are valoarea numerica .

(c). Calculele pot fi efectuate ca mai inainte (vezi, exercitiul 6). Insa, pentru motivul ca problema cere sa determinam valorile extreme ale unei functii, respectiv, ale derivatei unui camp scalar intr-un punct, dupa o directie care trece prin acel punct, putem reduce rezolvarea la o problema de extreme cu legaturi. Intr-adevar, derivata campului scalar intr-un punct dupa directia versorului are expresia

.

Observam ca in aceasta formula, derivatele partiale sunt calculate in punctul si deci sunt numere reale fixate. Cum prin punctul , fixat, trec o infinitate de directii , atunci expresia derivatei depinde numai de componentele si ale versorului supuse la unica conditie .

Prin urmare, avem de determinat extremele functiei

,

supuse la legatura .

In acest sens, consideram lagrangeianul

,

pentru care determinam punctele de extrem relativ;

pasul 1. determinam punctele stationare, care sunt solutii ale sistemului

,

Un calcul simplu conduce la solutiile (punctele critice):

si respectiv si .

- pasul 2. Hessiana formei patratice are forma

.

Pentru , hessiana arata, dupa criteriul lui Sylvester, ca si, in consecinta, directia realizeaza maximul relativ pentru ceea ce reprezinta maximul lui supusa la legatura . Asadar, valoarea maxima a variatiei campului in punctul este si ea se realizeaza dupa directia .

Pentru , hessiana arata, dupa criteriul lui Sylvester, ca si atunci directia realizeaza minimul relativ pentru ceea ce reprezinta minimul lui supusa la legatura . Asadar, valoarea minima a variatiei campului in punctul este egala cu si ea se realizeaza dupa directia , opusa directiei .

Observatia 6.1.1. Rezolvarea acestei probleme poate fi facuta pe baza relatiei

,

care arata ca deoarece vectorul este constant, atunci are valoarea maxima cand unghiul dintre vectorii si este zero; adica, atunci cand directia coincide cu directia vectorului fix . Cum , rezulta ca versorul are directia vectorului . Asadar, .