FORMULE INTEGRALE

1 BREVIAR TEORETIC

Formulele integrale sunt formule de legatura intre integralele multiple, integralele curbilinii si integralele de suprafata fiind aplicatii particulare ale relatiei , unde este o forma diferentiala, este diferentiala sa exterioara, iar X este un domeniu cu bord regulat, orientabil, orientarile lui X si fiind asociate.

Definitia 1.

(i) Fie in spatiul euclidian real triunghiul cu varfurile in punctele . Vom spune ca triunghiul este orientat pozitiv daca se considera pe multimea varfurilor sale relatia de ordine .

(ii) Un triunghi oarecare este orientat pozitiv daca si numai daca

.

(iii) Un domeniu poligonal D a carui frontiera este imaginea unei curbe simple si inchise este orientat pozitiv daca orice triunghi format din multimea varfurilor domeniului este orientat pozitiv.

(iv) Fie D un domeniu compact din a carui frontiera este imaginea unei curbe simple si inchise. Vom spune ca D este orientat pozitiv daca frontiera lui D este orientata pozitiv (orice linie poligonala formata din puncte ale frontierei este pozitiv orientata).

Observatia 2. Fie D un domeniu compact in spatiul euclidian a carui frontiera este imaginea unei curbe simple si incluse. Fie A un punct arbitrar pe . Notam curba simpla si inchisa care are proprietatea ca orienteaza pozitiv domeniul D avand ca imagine .

Fie doua functii astfel incat integrala curbilinie exista. Atunci pentru orice integrala exista si nu depinde de A. Vom nota valoarea comuna a acestor integrale.

Propozitia 3 (Formula lui Green-Riemann).

Fie un domeniu compact avand ca frontiera o curba simpla, inchisa rectificabila.

Fie doua functii continue pe D care admit derivatele partiale si continue pe D.

In aceste conditii integralele urmatoare exista si are loc relatia

.

Observatia 4.

Fie D un domeniu compact avand ca frontiera o curba simpla inchisa si rectificabila. Atunci are loc egalitatea

.

Observatia 5.

Fie o suprafata neteda deschisa definita de ; marginita de o curba inchisa, neteda , functiile fiind functie de clasa pe .

Vom alege pentru normala suprafetei S acea orientare care determina parcurgerea frontierei in sens direct si vom numi aceasta fata, fata superioara a lui S.

Propozitia 6 (Formula lui Stokes).

Fie

o suprafata orientata, neteda, deschisa marginita de o curba inchisa C.

Fie un domeniu care contine suprafata S si trei functii continue care admit derivate partiale de ordinul I continue pe D.

Atunci are loc egalitatea

Observatia 7. Formula lui Green se obtine din formula lui Stokes daca C si S sunt in (daca ).

Propozitie 8 (Formula lui Gauss-Ostrogradski).

Fie un volum marginit de o suprafata inchisa, neteda orientata dupa normala exterioara a corpului . Daca volumul este simplu in raport cu toate planele de coordonate si daca functiile sunt continue si admit derivate partiale continue pe , atunci are loc egalitatea

Observatii

(i) Daca se considera campul vectorial de componente definit intr-un domeniu prin

,

daca functiile sunt continue si daca este versorul normalei la suprafata , atunci fluxul vectorului prin suprafata orientata S va fi

.

(ii) Daca este un camp vectorial de componente de clasa pe , atunci se numeste rotorul lui vectorul

.

Atunci formula lui Stokes devine

,

adica circulatia vectorului camp de-a lungul unei curbe inchise este egala cu fluxul rotorului sau prin orice suprafata S ce se sprijina pe aceasta curba inchisa.

(iii) Numim divergenta campului vectorial

si notam

.

Cu aceasta definitie formula lui Gauss Ostrogradski devine

,

adica integrala tripla a divergentei unui camp vectorial continuu diferential pe compactul simplu este egala cu fluxul campului prin suprafata frontiera a domeniului.

2 Probleme rezolvate

1 Fie . Se poate aplica formula lui Green pentru calculul integralei curbilinii

Rezolvare. Fie D domeniul marginit de curba . Functiile

nu sunt definite in punctul .

Sa se calculeze urmatoarele integrale curbilinii, folosind formula lui Green:

2 ,

unde este frontiera domeniului

,

parcursa in sens pozitiv.

Rezolvare. Fie . Se observa ca , iar

.

3

unde este frontiera domeniului

,

parcursa in sens pozitiv.

Rezolvare. Fie .

si

Folosind formula Gauss-Ostrogradski, sa se calculeze integralele de suprafata de tipul al doilea:

4 ,

unde S este fata exterioara a domeniului

.

Rezolvare. Fie ,

.

Observam ca si ca

.

Deci

unde

.

Avem

.

5

unde S este fata exterioara a cubului

.

Rezolvare. Fie

6

unde S este fata exterioara a sferei

.

Rezolvare.

unde .

Trecand la coordonate sferice, avem

.

7 Sa se calculeze fluxul campului vectorial

prin fata exterioara S a primului octant:

.

Rezolvare. Fie .

Fluxul campului vectorial F este dat de integrala , unde S este compusa din suprafata sferica a octantului si trei suprafete plane, iar n este normala exterioara la fiecare suprafata

.

Trecem la coordonate sferice cu . Avem

Folosind formula lui Stokes, sa se calculeze:

8 ,

unde este curba data de ecuatiile

.

Rezolvare.

,

este fata exterioara a suprafetei marginita de curba .

9 , unde .

Rezolvare. , unde reprezinta o suprafata marginita de curba , . Atunci

.

Rezulta:

10 , unde conturul poligonal inchis are varfurile

.

Rezolvare. Ecuatia planului este

.

Normala la planul este .

Atunci

.

11 Sa se calculeze integrala curbilinie

,

unde este semicercul superior parcurs de la la .

Rezolvare. Fie

Fig. 1

sunt functii diferentiabile. Functiile .

si, respectiv, sunt si ele functii continue. Consideram curba determinata de reuniunea dintre arcul si segmentul si aplicam formula lui Green pe acest contur inchis

unde .

Trecand la coordonate polare, integrala devine:

Deci:

O parametrizare pentru este si

.

Rezulta deci ca

.

12 Sa se calculeze

,

unde C este curba .

Rezolvare. Curba C este cercul centrat in si de raza 2 deci este o curba inchisa.

Fig. 2

Fie ;

.

Deoarece sunt functii continue si cu derivate partiale continue. Fiind satisfacute ipotezele formulei Green rezulta

13 Sa se calculeze in doua moduri integrala

.

Rezolvare. Prin calcul direct, o parametrizare a curbei C este

.

Fig. 3

Integrala devine atunci

.

Deoarece curba C este o curba inchisa si functiile sunt continue, cu derivate partiale continue pe se poate aplica formula lui Green:

14 Sa se calculeze integrala

,

daca C este elipsa

parcursa in sens trigonometric daca privim din partea pozitiva a axei .

Rezolvare.

Elipsa considerata este un contur simplu, inchis, ce margineste suprafata

.

Fig. 4

Functiile

sunt functii continue care admit derivate partiale continue. Atunci aplicand formula lui Stokes, obtinem

15 Sa se calculeze integrala:

,

unde C este sectiunea cubului cu planul parcursa in sens trigonometric, daca privim din partea pozitiva a axei .

Rezolvare. Curba MNPQRS obtinuta prin intersectia cubului cu planul este un hexagon regulat de latura . Functiile

sunt functii continue ce admit derivate partiale continue pe . Aplicand formula lui Stokes, vom obtine

Fig. 5

Hexagonul MNPQRS fiind inclus in planul

obtinem

16 Sa se calculeze integrala

,

daca C este curba

.

Rezolvare. Curba C este elipsa obtinuta prin intersectia cilindrului cu planul si este o curba simpla inchisa care margineste domeniul D pe planul .

Functiile si fiind continue si cu derivate partiale continue putem aplica formula lui Stokes si vom obtine:

17 Sa se calculeze

,

daca S este suprafata exterioara a corpului din primul octant limitat de suprafetele si planele de coordonate.

Rezolvare. Suprafata paraboloidului si cea a cilindrului se intalnesc in si deoarece functiile si sunt continue si cu derivate partiale continue se poate aplica formula Gauss-Ostrogradski si vom obtine:

Fig. 6

18 Sa se calculeze fluxul vectorului de pozitie prin suprafata conului .

Rezolvare. Fluxul vectorului prin suprafata considerata va fi

.

Fig. 7

Vom inchide suprafata conului cu discul din planul si vom aplica formula lui Gauss-Ostrogradski, deoarece ipotezele acesteia sunt indeplinite

Dar si deci

19 Sa se calculeze fluxul vectorului prin octantul pozitiv al sferei .

Rezolvare. Deoarece suprafata considerata este deschisa, o vom inchide adaugand planele de coordonate . Fluxul vectorului prin suprafata considerata va fi:

.

Observam ca

Deoarece si sunt functii de clasa pe , suntem in conditiile formulei Gauss-Ostrogradski si

,

unde .

Trecand la coordonate sferice Jacobianul transformarii este . Obtinem:

20 Sa se calculeze integrala

,

daca S este suprafata exterioara a conului

.

Rezolvare. Deoarece suprafata S este o suprafata deschisa, o vom inchide considerand discul

.

Deoarece functiile si sunt functii de clasa pe si suprafata este o suprafata inchisa, putem aplica formula Gauss-Ostrogradski si vom obtine:

Deci, .

21 Fie forma diferentiala de grad 1 si clasa pe

si curbele si avand urmatoarele reprezentari parametrice

.

Sa se calculeze diferenta integralelor

si

in doua moduri:

(i) prin calcul direct;

(ii) cu ajutorul formulei Green.

Rezolvare.

(i) Folosind teorema de reducere a integralei curbilinie la o integrala Riemann deducem:

.

Fig. 8

(ii) Cum curba este simpla, inchisa si rectificabila. In plus, determina orientarea pozitiva a domeniului.

.

Cum functiile si sunt polinomiale ele au derivate partiale continue pe , iar:

.

Folosind formula lui Green deducem:

.

Din teorema Fubini deducem:

.

22 Cu ajutorul integralei curbilinii sa se calculeze ariile urmatoarelor domenii:

(i) ;

(ii) D marginit de imaginea curbei

.

Rezolvare.

Fig. 9

(i) O reprezentare parametrica a frontierei domeniului D este:

.

Aceasta curba este simpla, inchisa si rectificabila. In plus, determina orientarea pozitiva a domeniului D.

Aplicand formula de exprimare a ariei unui domeniu (Green) cu ajutorul unei integrale curbilinii, obtinem:

.

Folosind teorema de reducere la o integrala Riemann deducem:

(ii) Curba C este simpla, inchisa si rectificabila.

In plus, determina orientarea pozitiva a domeniului D.

Aplicand formula de exprimarea a ariei unui domeniu cu ajutorul unei integrale curbilinii, obtinem:

Fig. 10

23 Folosind formula Stokes sa se calculeze integrala curbilinie

,

unde este curba definita prin intersectia paraboloidului de revolutie cu cilindrul .

Fig. 11

Rezolvare. O reprezentare parametrica a paraboloidului de revolutie este:

Portiunea din paraboloid care se afla in interiorul cilindrului respecta conditia:

.

Cum si au derivate partiale continue, iar suprafata este cu plan tangent continuu pe portiuni, prin aplicarea teoremei Stokes obtinem:

.

Matricea derivatelor este:

,

iar coeficientii primei forme diferentiale sunt

.

Prin teorema de transformare a integralei de suprafata intr-o integrala dubla, alegand normala exterioara la suprafata, obtinem:

,

unde domeniul

.

Dupa prelucrari algebrice simple, folosind teorema Fubini se obtine succesiv:

24 Sa se calculeze circulatia vectorului

de-a lungul curbei definita de reprezentarea parametrica

.

Rezolvare. Prin eliminarea parametrului t se determina doua suprafete a caror intersectie este curba .

Imaginea curbei se afla la intersectia sferei

cu cilindrul .

Din teorema Stokes deducem:

Prin teorema de reducere a unei integrale de suprafata la o integrala dubla deducem:

,

unde pentru suprafata S am folosit reprezentarea parametrica

matricea derivatelor fiind

coeficientii primei forme diferentiale (alegand sensul normalei exterioare) sunt:

,

iar domeniul este definit prin:

.

In final, prin teorema Fubini, deducem ca este egala cu

25 Cu ajutorul teoremei Stokes sa se calculeze integrala

,

unde S este jumatatea superioara a sferei

,

iar sunt unghiurile facute de normala exterioara la sfera cu axele de coordonate.

Rezolvare. Vom cauta un camp vectorial

diferentiabil astfel incat

(1)

Determinand o solutie a sistemului (1) de forma , si , deducem

,

unde este cercul

Din cele de mai sus deducem:

,

unde pentru am folosit reprezentare parametrica

.

26 Sa se determine circulatia vectorului

de-a lungul elipsei definite ca fiind intersectia hiperboloidului , cu planul . Sa se verifice rezultatul cu ajutorul teoremei Stokes.

Rezolvare.

(i) Ecuatia parametrica a elipsei este:

.

Prin urmare:

(ii) Verificarea cu ajutorul teoremei Stokes

Deoarece , deducem

.

Cum suprafata S ce are ca bordura este portiunea din planul aflata in interiorul hiperboloidului deducem

si

.

Dar cum elipsa are semiaxele si deducem

.

27 Folosind teorema Gauss-Ostrogradski sa se determine fluxul campului vectorial

prin suprafata domeniului

in directia normalei exterioare.

Rezolvare. Cum

deducem:

.

Folosind coordonatele cilindrice

deducem:

28 Sa se calculeze integrala

,

unde S este bordura domeniului

.

Rezolvare.

Fig. 12

Integrala se mai poate scrie si sub forma

si folosind formula Gauss-Ostrogradski se obtine

.

Folosind coordonatele cilindrice se obtine:

.

29 Se da campul vectorial , unde este de clasa si .

(i) Sa se determine functia f astfel incat fluxul lui prin orice suprafata S inchisa, cu plan tangent continuu pe portiuni, sa fie nul.

(ii) Sa se determine fluxul lui prin suprafata S a conului aflata intre planele si .

Rezolvare.

(i) Conditia din problema este echivalenta cu pe , adica:

.

Notand cu , se obtine ecuatia diferentiala

,

care are solutia generala:

.

Cum f este diferentiabil pe si , iar campul vectorial este

.

(ii) .

Completam suprafata S cu planul , obtinand o suprafata inchisa . Intrucat fluxul lui prin suprafata este nul, deducem:

,

unde sunt unghiurile formate de normala exterioara la planul cu axele de coordonate .

Deducem:

.

30 Stabiliti identitatea (formula lui Green)

,

unde u si v sunt functii continue cu derivate de ordinul doi continue in
domeniul .

Rezolvare. In formula lui Gauss-Ostrogradski

punem:

atunci:

(2)

iar

(3)

Reunind (2) si (3) in combinatie cu formula Gauss-Ostragradski se obtine rezultatul dorit.

3 TEMA DE CONTROL

Folosind formula lui Green, sa se calculeze:

,

unde este cercul parcurs in sens pozitiv.

Raspuns. .

2. ,

unde este conturul de varfuri parcurs in sens pozitiv.

Raspuns. .

3. ,

unde este frontiera domeniului

.

Raspuns. .

4. Sa se calculeze aria domeniului plan marginit de astroida .

Indicatie. O reprezentare parametrica a astroidei este:

Raspuns. .

Sa se calculeze integralele de suprafata, utilizand formula Gauss-Ostrogradski:

5. ,

unde S este fata exterioara a domeniului din , delimitat de planele .

Raspuns. .

6. ,

unde S este fata exterioara a sferei .

Raspuns. 0.

7. ,

unde S este forta exterioara a domeniului din marginit de planele .

Raspuns. .

Sa se calculeze integralele urmatoare, aplicand formula lui Stokes:

8. , unde este conturul poligonal determinat de punctele .

Raspuns. .

,

unde margineste suprafata

.

Raspuns. 0.

10. Fie campul vectorial

si elipsoidul Sa se calculeze circulatia campului F in lungul curbei de intersectie dintre elipsoid si semiplanele de coordonate , , in sens pozitiv.

Raspuns. .

11. Fie domeniul si functiile

si

Daca functia se prelungeste prin continuitate in origine, sa se calculeze integralele

si

.

Sa se explice rezultatul obtinut.

Raspuns.

, deoarece functiile P si Q nu sunt continue si nu admit derivate partiale in origine.

12. Sa se calculeze , daca

.

Raspuns. .

13. Sa se calculeze daca punctele A si B se gasesc pe axa Ox si aria figurii limitate de curba considerata si segmentul este egala cu S.

Raspuns. .

14. Sa se calculeze

,

daca C este frontiera domeniului

parcurs in sens pozitiv.

Raspuns. .

15. Sa se calculeze integrala

,

curba C este obtinuta prin intersectia cilindrului cu planul .

Raspuns. .

16. Sa se calculeze integrala

,

daca C este curba aflata la intersectia sferei cu cilindrul , parcursa in sens trigonometric privind dinspre partea pozitiva a axei Ox.

Raspuns. .

17. Sa se calculeze integrala

,

unde S este suprafata exterioara a solidului comun suprafetelor si .

Raspuns. .

18. Sa se calculeze integrala

,

daca C este curba lui Viviani definita prin intersectia suprafetelor si .

Raspuns. .

1 Folosind formula lui Green sa se calculeze integrala

,

unde este bucla lui Descartes data de ecuatia

.

Sa se verifice rezultatul prin calcul direct.

Raspuns. .

Indicatie. O reprezentare parametrica posibila a buclei Descartes este:

.

Fig. 13

unde

.

20. Calculati integrala curbilinie

,

unde este hipocicloida

.

Fig. 14

Raspuns. .

21. Calculati direct si apoi verificati rezultatul folosind formula Stokes, urmatoarea integrala curbilinie

,

unde este cercul

Raspuns. .

22. Determinati circulatia vectorului

pe curba aflata la intersectia hiperboloidului cu planul . Verificati rezultatul cu formula Stokes.

Fig. 15

Raspuns. .

Determinati cu ajutorul teoremei Gauss-Ostrogradski fluxul campului vectorial

prin suprafata S ce este bordura domeniului

;

in directia normalei exterioare.

Raspuns. .

24. Sa se calculeze integrala

,

unde S este suprafata sferei , iar sunt unghiurile formate de normala exterioara cu directia pozitiva a axelor de coordonate.

Raspuns. .

25. Sa se calculeze, aplicand formula lui Gauss-Ostrogradski, integrala de suprafata

,

unde este fata exterioara a suprafetei octoedrului

.

Fig. 16

Raspuns. .

Indicatie. In integrala tripla se face schimbarea de variabile

26. Calculati folosind formula Gauss-Ostrogradski integrala de suprafata:

,

unde S este bordura domeniului

.

Raspuns. .

27. Determinati fluxul campului vectorial

prin suprafata S a conului

in directia normalei exterioare.

Raspuns. .

Sa se calculeze, folosind formula integrala a lui Stokes, integrala:

,

unde C este conturul aflat la intersectia planului cu sfera , parcurs in sens direct fata de axa Ox.

Raspuns. .

2 Sa se calculeze, folosind formula integrala lui Gauss-Ostrogradski, integrala:

,

unde S este suprafata tetraedrului ABCO cu varfurile , , si .

Raspuns.

(i) Sa se calculeze in doua moduri integrala:

,

unde C este curba inchisa data de ecuatia: .

(ii) Calculati valoarea integralei:

,

unde este arcul din cercul cu .

Raspuns. (i) ; (ii) 1.

BIBLIOGRAFIE RECOMANDATA PENTRU MODULUL 10

I. Colojoara, Analiza matematica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1983

M. Craiu, V. V. Tanase, Analiza matematica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1980

M. Craiu, M. Rosculet, Culegere de probleme de analiza matematica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1976

N. Donciu, D. Flondor, Algebra si analiza matematica. Culegere de probleme, vol. I, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1978

I. P. Elianu, Principii de analiza matematica. Calcul diferential, Editura Academiei Militare, Bucuresti, 1976

P. Flondor, O. Stanasila, Lectii de analiza matematica, Editura ALL, 1993

M. Nicolescu, N. Dinculeanu, S. Marcus, Manual de Analiza matematica, vol. I, II, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1966

M. Rosculet, Culegere de probleme de analiza matematica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1968

I. Sprintu, Elemente de analiza matematica, Editura Academiei Tehnice Militare, Bucuresti, 2001

O. Stanasila, Analiza matematica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1981

Sprintu, I. Garban, V. - Analiza matematica, vol I. Calcul diferential si integral, Editura A.T.M., Bucuresti, 2003