Speranta matematica a unei variabile aleatoare discrete

Speranta matematica a unei variabile aleatoare discrete.

Fie x o variabila aleatoare discreta a carei lege de distributie este urmatoarea:

x x₁ x₂ x₃ ... . x_k . .. x_n

P( x = x_k ) p₁ p₂ p_{3 ..........} p_k p_n

Definitia 1: Se numeste speranta matematica a variabilei aleatoare discrete x (pe care o notam cu M[x] sau m_x) suma tuturor valorilor posibile ale variabilei aleatoare prin probabilitatile respective ale acestor valori

M[x] = x₁ p₁ + x₂ p₂ + ..... + x_n p_n (VII 32)

sau mai simplu:

M[x] = (VII 33)

In acest caz avem, dupa cum am mentionat mai sus:

= 1

Daca valorile variabilei aleatoare formeaza o serie infinita de valori, atunci

M_x = (VII 34)

Noi nu vom considera decat variabilele aleatoare pentru care aceasta serie converge. Sa stabilim acum relatia dintre speranta matematica a unei variabile aleatoare si media aritmetica a valorilor variabilei aleatoare pentru un numar mare de probe ; mai exact sa aratam ca pentru un numar mare de probe, media aritmetica a valorilor observate este aproape de speranta matematica sau in virtutea "capitolului 1" putem afirma ca media aritmetica a valorilor observate a unei variabile aleatoare tinde, cand numarul de probe creste nedefinit, spre speranta matematica.

Sa ne imaginam ca efectuam N probe independente. Presupunem ca:

- valoarea x₁ se manifesta de n₁ ori

- valoarea x₂ se manifesta de n₂ ori

- valoarea x_v se manifesta de n_v ori

Variabila aleatoare x ia valorile x_{1 ,} x_{2 ,} x_{3 , ....}x_v

Sa calculam media aritmetica a valorilor obtinute de variabila x (vom nota aceasta medie aritmetica prin [x] sau ).

Avem deci:

= =

+ + ...... + (VII 35)

Cum pentru un numar mare de probe N frecventa relativa tinde spre probabilitatea de realizare a valorii x_k , avem:

Rezulta deci imediat ca:

[x] M [x] (VII 36)

Remarca 1 Daca am considera schema urnelor cu N bile, din care n₁ bile marcate cu semnul x₁ si n₂ marcate cu semnul x₂ ...etc, numarul sperat cand se extrage o bila, va fi dat de forma (34) altfel spus este egal cu .

Solutia: Variabila aleatoare x poate sa ia valorile :

x₁ = 0; x₃ = 1; x₃ = 2; x₄ = 3.

Vom pune intr-un tablou distributia variabilei aleatoare date. Vom gasi probabilitatea acestor valori dupa teorema probelor repetate. (n=3; p = 0,4; q = 0,6)

P( x = 0) = (0,6)³ = 0,216

P( x =1) = (0,4)(0,6)² = 0,432

P( x =2) = (0,4)²(0,6) = 0,288

P( x =3) = (0,4)³ = 0,064

Tabloul distributiei variabilei aleatoare va fi:

x 0 1 2 3

P(x = x_k) 0,46 0,432 0,288 0,064

Vom calcula speranta matematica dupa formula(34).

= 0*0,0216 + 1*0,432 + 2*0,288 + 3*0,064 = 1,2 realizari

Exemplul 2. Se efectueaza o proba in cursul careia evenimentul A poate sau nu avea loc. Probabilitatea ca evenimentul sa se realizeze este egala cu p. Sa se determine speranta matematica a variabilei aleatoare X exprimand numarul de realizari al evenimentului.

Formam tabloul distributiei variabilei aleatoare:

x 0 1

p_k 1-p p

Remarca 2. Se poate stabili in continuare ca speranta matematica M[x] a numarului de realizare a evenimentului A in cursul a n probe independente este egala cu produsul numarului de probe prin probabilitatea p de realizare a evenimentului A in fiecare proba.

M[x]= np (VII 37)

Solutia problemei de la exemplul 1 va fi astfel:

M[x]= n*p = 3^.0,4 = 1,2 realizari

Daca in formula (37) se cunoaste M[x] si p, se poate gasi n care este numarul de probe care dau speranta matematicii ceruta de numarul de realizari a evenimentului.

Exemplul 3. Sa se determine speranta matematica a variabilei aleatoare al carui tablou de distributie este urmatorul:

x 1 2 3 . k ..

p_k p (1-p)p (1-p)² p .(1-p)^k-1 p.

Solutie: Avem in virtutea relatiei (34) notand cu 1-p = q

m_x = 1* p + 2q.p + 3q²p + .... + kq^k-1p + .. =

= p(1 + 2q + 3q² + .. + kq^k-1 + .) =

= p(q + q² + q³ + .... + q^k + ...)^' =

= p()' = p = = =

Astfel:

m_x =

Notam ca m_x 1 cand p1

m_x cand p0

Se pot explica aceste relatii bazandu-ne pe sensul problemei.

Daca probabilitatea de realizare a evenimentului A este pentru fiecare proba aproape 1 (p ), se poate astepta ca evenimentul A sa aiba loc in cursul unei singure probe (prima) (m_x ). Din contra, daca probabilitatea p este mica (p se poate astepta ca pentru realizare sa fie efectuat un numar mare de probe (m_x

Se numeste centrul de distributie a probabilitatilor variabilei aleatoare X speranta matematica a variabilei aleatoare X.

Remarca 3: Termenul " centru de distributie a probabilitatilor" este introdus prin analogie cu cel al "centrului de greutate". Daca pe axa 0x se atribuie punctele de abscise x₁ , x₂ , . ,x_n ; masele p₁ , p₂ , . ,p_n se stie de la mecanica teoretica ca centrul de greutate al acestor mase va fi determinata de formula.

(VII 38)

Daca

Atunci

x _c = (VII 39)

Formula (39) coincide cu formula sperantei matematice (34).

Am stabilit astfel ca centrul de greutate si speranta matematica se calculeaza cu ajutorul unor formule analoage. Aceasta este motivul pentru care am introdus termenul " centru de distributie a probabilitatilor".

Fie data o variabila aleatoare x cu legea sa de distributie data de figura alaturata: (fig 1). Presupunem ca speranta sa matematica este m_x.

P

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ x₇ x₈ x₉ x_{10 X}

Consideram diferenta intre variabilele aleatoare x si speranta matematica x- m_x. Vom numi aceasta variabila centrala sau abatere si o vom nota prin x⁰.

Este evident ca legea de distributie a acestei variabile aleatoare x⁰ va fi (cf. fig. 2)

= - = - ...... = -

.......

Vom gasi speranta matematica a variabilei aleatoare centrala:

M [- ] = - - =

== ^. 1 = 0 (VII 40)

Astfel speranta matematica a unei variabile aleatoare centrale este nula.

Remarca 4. Este util cateodata sa se considere o variabila nealeatoare (certa) constanta ca o variabila aleatoare, care ia la probabilitatea 1 valoarea c si la probabilitatea 0 alta valoare.

In acest sens se poate apoi sa se vorbeasca de speranta matematica a unei constante.