Integrale rationale si reductibile la integrale rationale

INTEGRALE RATIONALE SI REDUCTIBILE

LA INTEGRALE RATIONALE

In problemele de calcul integral, integralele rationale joaca un rol de baza, deoarece majoritatea integralelor( prin substitutii cunoscute) se reduce la acesea.

Integralele rationale au forma:
unde numitorul poate fi descompus in factori sub forma :

Presupunand ca grupul P(x) este mai mic decat gradul lui Q(x) (in caz contrar facem initial impartirea) putem descompune in fractii simple:

Substitutiile lui EULER se folosesc pentru integralele de forma:
aceste substitutii sunt :
(1) = cand a>0

(2) = cand c>0

(3) =t(x-) cand si fiind radacini reale.

Integralele binoame sunt de forma:

unde

Cazul I pfacem substitutia ,unde k este numitorul comun a lui m si n

Cazul II facem substitutia

Cazul III facem substitutia

APLICATII LA INTEGRALE RATIONALE

Sa se calculeze urmatoarele integrale:

163. I(x)

R. Descompunem integrantul in elemente simple

Pentru a afla pe A imultim ambii termeni cu ai identitatii lui x ,

Dam lui x valoare 0 si obtinem:

In mod asemanator :

De unde :

164.

R. Descompunem in elemente simple

B si D se determina ca in exercitiul 1,

Pentru calculul a lui A si C facem pe x=0 si inmultim identitatea cu x facand apoi obtinem

de unde :

165.

R. Deoarece si are radacini complexe rezulta

Avem :

Facem x= x=-1 si dupa inmultirea identitatii cu x facem , obtinem : A=1,C=-2 D=-3. Deci

166.

R. Putem scrie :

Notam

Folosind formulele de recurenta

In cazul de mai sus avem u=x+ a=1 , n=4.

de unde :

167. ,

18. Se observa ca integrantul este o functie para,facem =u si obtinem:
    

deci

168.

18. Integrantul fiind o functie impara putem scrie :

Deci