Algebra liniara

Curs pentru studentii

de la Invatamant la Distanta

1. Spatii liniare

1.1. DEFINITII. BAZA

1.1.1. Spatiu liniar.Sa consideram o multime de elemente si un corp K, pe care il luam R sau C.

Definitie. Multimea de elemente formeaza un spatiu liniar L daca intre elementele sunt definite doua operatii: adunare (+) si inmultire cu scalari (·) cu urmatoarele proprietati:

I. Multimea formeaza grup abelian fata de operatia de adunare +, adica satisface urmatoarele axiome:

S₁: a + b = c, a, b, c L,

S₂: a + b = b + a (comutativitate),

S₃: a + (b + c) = (a + b) + c (asociativitate).

S₄: exista elementul neutru, 0 I L astfel incat a + 0 = 0 + a = 0.

S₅: la orice a I L, exista opusul sau ( - a) I L, astfel incat a + ( - a) = 0.

II. Daca (λ, μ, ) I K, este definita operatia (·) de inmultire cu scalari (elemente din K) care satisface urmatoarele axiome:

I₁: λa I L,

I₂: λ(μa) = (λμ)a (asociativitate),

I₃: (λ + μ) · a = λa + μb (distributivitate),

I₄: λ(a + b) = λa + λb (distributivitate fata de operatia + in L),

I₅: exista elementul neutru 1 K astfel incat

1 · a = a, a I L.

Exemple. 1. Multimea matricelor m n formeaza un spatiu liniar pe R sau C.

2. Multimea polinoamelor de grad ≤ n cu coeficienti reali formeaza un spatiu liniar pe R.

Completari. 1) Elementele unui spatiu liniar se numesc vectori.

2) Daca K este corpul R, spatiul liniar se numeste real; daca K este corpul C, spatiul liniar se numeste complex. In cele ce urmeaza vom considera K = R.

1.1.2. Vectori liniar independenti. Sa consideram in L vectorii v₁, v₂, , v_p.

Definitie. 1. Vectorii v₁, v₂, , v_p sunt liniar dependenti daca exista λ₁, λ₂, λ_p I R, cu astfel incat

λ₁v₁ + λ₂v₂ + + λ_pv_p = 0.

Daca un astfel de sistem de numere nu exista, vectorii v₁, v₂, , v_p sunt liniar independenti.

Observatii. 1) Vectorii v₁, v₂, , v_p I L sunt liniar independenti daca egalitatea

λ₁v₁ + λ₂v₂ + + λ_pv_p = 0 (1)

atrage λ₁ = 0, λ₂ = 0, , λ_p = 0.

2) Daca in relatia (1) cel putin un λ_i este diferit de zero, fie λ₁ ≠ 0, atunci putem scrie

sau v₁ = μ₂v₂ + + μ_pv_p, μ_k = -λ_k/λ₁,

adica vectorul v₁ se exprima liniar cu ajutorul lui v₂, v₃, , v_p.

Exemple. 1. In plan trei vectori sunt totdeauna liniar dependenti.

2. In spatiul R³ vectorii i, j, k sunt liniar independenti. Patru vectori in R³ sunt totdeauna liniar dependenti.

1.1.3. Baza. Definitii. 1. Fie L un spatiu vectorial. Numarul maxim de vectori liniar independenti se numeste dimensiunea spatiului L; se mai spune ca L este un spatiu vectorial n dimensional, daca numarul maxim este n.

2. Intr-un spatiu n dimensional L un sistem de vectori v₁, v₂, , v_n liniar independenti se numeste baza sau formeaza o baza.

Observatii. Daca numarul de vectori liniar independenti este nemarginit, spatiul este infinit dimensional. Daca numarul este finit, spatiul este finit dimensional.

Exemple. 1. Planul este un spatiu vectorial cu dimensiunea 2; o baza in plan o formeaza doi vectori necoliniari.

2. Multimea polinoamelor de grad ≤ p, cu coeficientii in R, formeaza un spatiu cu p + 1 dimensiuni. O baza este formata din 1, x, x², , x^p.

3. Seriile trigonometrice formeaza un spatiu infinit dimensional cu baza 1, sin x, cos x, , sin nx, cos nx,

Fie L_n un spatiu n dimensional.

Teorema. 1. Intr-un spatiu n dimensional n + 1 vectori sunt totdeauna liniar dependenti.

2. Daca v₁, v₂, , v_n si v sunt n + 1 vectori din L_n si v₁, v₂, , v_n formeaza o baza, atunci exista λ₁, λ₂, , λ_n I R nu toate nule astfel incat

v = λ₁v₁ + λ₂v₂ + + λ_pv_n,

numerele λ₁, λ₂, , λ_n fiind unice.

Demonstratie. 1) Rezulta din definitie. 2) Fie v₁, v₂, , v_n, v I L_n, din care v₁, v₂, , v_n formeaza o baza. Fiind liniar dependenti exista μ₀, μ₁, , μ_n I R nu toate nule astfel incat

μ₀v + μ₁v₁ + + μ_nv_n = 0;

presupunand μ₀ ≠ 0, obtinem

sau v = λ₁v₁ + λ₂v₂ + + λ_nv_n, λ_k = -μ_k/μ₀. (1')

Sa aratam ca λ₁, λ₂, , λ_n sunt unice. Sa presupunem ca mai exista un sistem de numere λ'₁, λ'₂, , λ'_n astfel incat sa avem

v = λ'₁v₁ + λ'₂v₂ + + λ'_nv_n. (1")

Daca scadem pe (1') din (1"), obtinem

(λ'₁ - λ₁)v₁ + (λ'₂ - λ₂)v₂ + + (λ'_n - λ_n)v_n = 0,

ceea ce conduce la λ₁ = λ'₁, , λ_n = λ'_n, deoarece v₁, v₂, , v_n sunt liniar independenti.

Observatii. 1) Numerele λ₁, λ₂, , λ_n se numesc coordonatele vectorului v fata de baza v₁, v₂, , v_n; ele sunt unice.

2) Fie v = λ₁v₁ + λ₂v₂ + + λ_nv_n, w = μ₁v₁ + μ₂v₂ + + μ_nv_n. Suma vectorilor

v + w = (λ₁ + μ₁)v₁ + (λ₂ + μ₂)v₂ + + (λ_n + μ_n)v_n.

are coordonate suma coordonatelor lui v si w.

3) Vectorul μv, μ I R, este dat de

μv = (μλ₁) + (μλ₂) + + (μλ_n)v_n.

1.1.4. Spatii liniare izomorfe. Fie L si L doua spatii vectoriale pe acelasi corp K.

Definitie. 1. Spatiile L si L sunt izomorfe daca la orice a I L corespunde un a' I L si numai unul si reciproc.

2. Daca a a' si b b', atunci

2') a + b a' + b';  2") λa λa'.

Observatie. Doua spatii liniare finite L_n, L_m, de dimensiuni diferite nu sunt izomorfe intre ele. Intr-adevar, daca ar fi izomorfe, la vectorii liniar independenti din L_n ar corespunde vectori liniar dependenti din L_m daca m < n.

Teorema. Spatiile vectoriale finit dimensionale, de aceeasi dimensiune n sunt izomorfe intre ele.

Demonstratie. Fie L_n, L_n doua spatii liniare de dimensiune n cu bazele, respectiv,

(v₁, v₂, , v_n), (w₁, w₂, , w₃).

La elementul

v = λ₁v₁ + λ₂v₂ + + λ_nv_n

corespunde

w = μ₁w₁ + μ₂w₂ + + μ_nw_n,

deoarece grupul ordonat (λ₁, λ₂, , λ_n) este unic ca si grupul (μ₁, μ₂, , μ_n); rezulta ca avem corespondenta v w biunivoca.

Daca lui v' ii corespunde w':

v' = λ^'₁v₁ + λ^'₂v₂ + + λ^'_nv_n,

w' = μ^'₁w₁ + μ^'₂w₂ + + μ^'_nw_n,

avem corespondenta v + v' w + w'. In fine, lui

νv' = (νλ₁)v₁ + (νλ₂)v₂ + + (νλ_n)v_n

ii corespunde

νw' = (νμ₁)w₁ + (νμ₂)w₂ + + (νμ_n)w_n

din L_n si reciproc.

1.2. SPATIUL Rⁿ

1.2.1. Structura de spatiu vectorial. Spatiul Rⁿ este o extindere naturala a spatiului R (dreapta), a spatiului R² (plan), a spatiului R³ etc.

Definitie. Multimea grupurilor ordonate de n numere reale (a₁, a₂, , a_n) se numeste spatiul cu n dimensiuni Rⁿ.

Observatie. 1) Din definitie rezulta ca Rⁿ este produsul cartezian

R R R

n

sau

Rⁿ

2) Elementele lui Rⁿ se numesc puncte sau vectori. Grupul ordonat reprezinta un punct a de coordonate a₁, a₂, , a_n sau un vector a de proiectii a₁, a₂, , a_n pe axele Ox₁, Ox₂, , Ox_n respectiv.

Cu elementele din Rⁿ sunt permise doua operatii:

1) operatia + (adunare) care satisface urmatoarele reguli:

daca a = (a₁, a₂, , a_n), b = (b₁, b₂, , b_n) I Rⁿ, atunci:

S₁: a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, , a_n + b_n) I Rⁿ,

S₂: a + b = b + a (comutativitate),

S₃: (a + b) + c = a + (b + c) (asociativitate),

S₄: exista elementul neutru, vectorul nul 0 = (0, 0, , 0) astfel incat pentru orice a I Rⁿ, avem

a + 0 = 0 + a = a;

S₅: la orice a I Rⁿ exista opusul - a = (-a₁, -a₂, , -a_n) astfel incat

a + (-a) = 0;

2) operatia · (inmultire) cu numere λ I Rⁿ (scalari) care satisface urmatoarele reguli:

I₁: λa = aλ = (λa₁, λa₂, , λa_n),

I₂: λ(μa) = (λμ)a, λ, μ I R,

I₃: (λ + μ)a = λa + μa,

I₄: λ(a + b) = λa + λb, a, b I Rⁿ,

I₅: 1·a = a, 1 I R.

Din proprietatile de mai sus rezulta urmatoarea teorema.

Teorema. Spatiul Rⁿ este un spatiu vectorial pe R.

1.2.2. Baza in Rⁿ. Sa consideram vectorii

e₁ = (1, 0, 0, , 0), e₂ = (0, 1, 0, , 0), , e_n = (0, 0, 0, , 1).

Teorema. Orice vector v = (ν₁, ν₂, , ν_n) I Rⁿ, se scrie sub forma v = e₁ν₁ + e₂ν₂ + + e_nν_n.

Demonstratie. Avem

ν₁e₁ = (ν₁, 0, 0, , 0), ν₂e₂ = (0, ν₂, 0, , 0), , ν_ne_n = (0, 0, 0, , ν_n),

din care obtinem, aplicand axiomele adunarii,

v = (ν₁, ν₂, , ν_n) = e₁ν₁ + e₂ν₂ + + e_nν_n.

Observatii. 1) Vectorii e₁, e₂, , e_n sunt liniar independenti deoarece λ₁e₁ + λ₂e₂ + +λ_ne_n = (λ₁, λ₂, , λ_n) = 0, daca si numai daca λ₁, λ₂, , λ_n sunt toti nuli, prin urmare e₁, e₂, , e_n formeaza o baza in Rⁿ.

2) In R³ avem

e₁ = i = (1, 0, 0), e₂ = j = (0, 1, 0), e₃ = k = (0, 0, 1).

Exercitiu. Un vector in baza e₁, e₂, , e_n se scrie

v = e₁ν₁ + e₂ν₂ + + e_nν_n,

si in baza

g₁ = (1, 1, 0, 0, , 0), g₂ = (0, 1, 1, 0, , 0), g_n = (1, 0, 0, 0, , 1),

se scrie

v = g₁u₁ + g₂u₂ + + g_nu_n.

Sa se determine ν₁, ν₂, , ν_n in functie de u₁, u₂, , u_n. Avem

g₁ = e₁ + e₂, g₂ = e₂ + e₃, , g_k = e_k + e_k+1, , g_n = e_n + e₁,

deci

u₁g₁ + u₂g₂ + + u_ng_n = u₁(e₁ + e₂) + + u_n(e_n + e₁) = e₁ν₁ + e₂ν₂ + + e_nν_n,

care ne da imediat

u₁ + u_n = ν₁, u₁ + u₂ = ν₂, , u_n-1 + u_n = ν_n.

1.3. PRODUS SCALAR. NORMA

1.3.1. Produs scalar. Definitie. 1. O aplicatie a lui L_n L_n in R se numeste produs scalar daca indeplineste urmatoarele conditii:

1) a, b = b, a (simetrie),

2) λa, b = λa, b = a, λb, λ I R,

3) a+b, c = a, c + b, c (distributiv fata de operatia de adunare),

4) produsul scalar al unui vector cu el insusi este nenegativ x, x ≥ 0 si este nul daca si numai daca x = 0.

2. Un spatiu liniar in care s-a definit un produs scalar se numeste spatiu euclidian.

Exemplu. Multimea functiilor continue pe [a, b] formeaza un spatiu vectorial. Produsul scalar in acest spatiu poate fi definit astfel:

f₁, f₂ =

si satisface toate axiomele produsului scalar.

1.3.2. Produsul scalar in Rⁿ. Definitii. 1. Fie a = (a₁, a₂, , a_n) si b = (b₁, b₂, , b_n) doi vectori din Rⁿ. Se numeste produsul scalar al vectorilor a si b numarul real

a, b = a₁b₁ + a₂b₂ + + a_nb_n

2. Norma, masura sau lungimea vectorului a este numarul real si pozitiv

|a| = (a, a)^1/2.

3. Unghiul θ a doi vectori a si b din Rⁿ (a doua directii din Rⁿ) este definit de

4. Distanta a doua puncte a, b din Rⁿ este data de

d(a, b) = [b - a,b - a]^1/2 = |b - a|.

Observatii. 1. Produsul scalar definit satisface toate axiomele produsului scalar.

2. Prin introducerea notiunii de norma in Rⁿ spatiul Rⁿ este un spatiu vectorial normat.

3. Avem inegalitatea lui Schwartz - Buneakovski

|a|²·|b|² - a, b² ≥ 0.

Intr-adevar, ecuatia de gradul doi in x

(a₁x - b₁)² + (a₂x - b₂)² + + (a_nx - b_n)² = 0

are numai solutii imaginar conjugate, deci discriminantul este negativ. Ecuatia in x se scrie

|a|²x² - 2a, bx + |b|² ≤ 0,

de unde se obtine inegalitatea (a, b)² - |a|²·|b|² ≤ 0. Din inegalitate mai rezulta ca |cos θ| ≤ 1.

4. Distanta dintre doua puncte d(a, b) are urmatoarele proprietati:

(a') d(a, b) = d(b, a);

(b') d(a, b) ≥ 0, d(a, b) = 0 a = b;

(c') d(a, b) + d(b, c) ≥ d(a, c).

Un spatiu vectorial normat in care s-a definit distanta cu proprietatile (a'), (b'), (c') se numeste spatiu metric.

1.3.3. Baza ortogonala in Rⁿ. Doi vectori a, b sunt ortogonali daca cos θ = 0, unde θ este unghiul celor doi vectori.

Definitie. 1. Vectorii a, b I Rⁿ sunt ortogonali daca

a, b = a₁b₁ + a₂b₂ + + a_nb_n = 0.

2. Vectorii a, b I Rⁿ sunt paraleli daca

.

Observatie. Daca vectorii a, b sunt ortogonali, functioneaza teorema lui Pitagora:

|a + b|² = |a|² + |b|².

In general, avem

|a + b + c + + 1|² = |a|² +|b|² +|c|² + + |1|²

daca vectorii a, b, c, , 1 sunt ortogonali doi cate doi.

Definitie. 1. Un sistem de n vectori liniar independenti v₁, v₂, , v_n din L_n formeaza o baza ortogonala daca

v_i, v_j = 0, i ≠ j = 1, , n, si v_i, v_i ≠ 0.

2. Baza se numeste ortogonala daca v_i, v_j=

astfel definit se numeste simbolul lui Kronecker.

Teorema. Vectorii

e₁ = (1, 0, 0, , 0), e₂ = (0, 1, 0, , 0), , e_n = (0, 0, 0, , 1)

formeaza o baza ortogonala in Rⁿ.

Demonstratie. Avem

e_i, e_j =

Consecinta. Daca v, w sunt doi vectori in L_n raportati la o baza ortogonala (e₁, e₂, , e_n) si

v = ν₁e₁ + ν₂e₂ + + ν_ne_n,

w = w₁e₁ + w₂e₂ + + w_ne_n,

atunci produsul lor scalar se scrie

v, w = ν₁w₁ + ν₂w₂ + + ν_nw_n.

1.3.4. Constructia unei baze ortogonale in L_n pornind de la o baza data. Fie n vectori liniar independenti v₁, v₂, , v_n; cu ajutorul lor putem construi o baza ortogonala e₁, e₂, , e_n in modul urmator.

a) Luam e₁ = v₁, apoi e₂ = v₂ + α₁e₁ si determinam pe α₁ astfel incat e₁, e₂ = 0; obtinem

e₁, e₂ = e₁, v₂ + α₁e₁, e₁ = 0,

deci α₁ = - e₁, v₂/e₁, e₁, de unde .

In general, avem

e_k = v_k + α₁e₁ + α₂e₂ + α_k-1e_k-1,

caruia ii cerem ca sa fie ortogonal cu e₁, e₂, ,e_k-1:

e₁, e_k = e₁, e_k + α₁e₁, e₁ = 0,

de unde α₁ = - e₁, v_k/e₁, e₁; avem si

e₂, e_k = e₂, v_k + α₂e₂, e₂ = 0,

deci α₂ = - e₂, v_k/e₂, e₂ etc.; prin urmare

.

b) Nici unul din vectorii obtinuti nu este nul. Intr-adevar, e_k se scrie cu ajutorul lui v₁, v₂, , v_k, deci

e_k = β₁v₁ + β₂v₂ + + β_kv_k,  β_i I R,

si e_k = 0 implica β₁v₁ + β₂v₂ + + β_kv_k = 0, ceea ce nu se poate, deoarece v₁, v₂, , v_k sunt liniar independenti.

c) Vectorii e₁, e₂, , e_n astfel construiti sunt liniar independenti.

Intr-adevar, daca am avea

γ₁e₁ + γ₂e₂ + + γ_ne_n = 0, γ_k I R, ,

inmultind scalar cu e₁, obtinem γ₁e₁, e₁ = 0, ceea ce da γ₁ = 0; in acest mod obtinem ca toti γ_i sunt nuli.

d) Pentru a obtine o baza ortonormala este suficient sa consideram vectorii

e^*₁ = e₁/|e₁|, e^*₂ = e₂/|e₂|, , e^*_n = e_n/|e_n|.

Am demonstrat urmatoarea

Teorema. Daca v₁, v₂, , v_n este o baza in L_n, vectorii

e^*₁ = e₁/|e₁|, e^*₂ = e₂/|e₂|, , e^*_n = e_n/|e_n|,

unde  e₁ = v₁,

,

,

formeaza o baza ortonormala in L_n.

Exemplu. Se dau vectorii v₁ = (1, 1, 0), v₂ = (1, 0, -1), v₃ = (0, 1, 2). Sa se construiasca o baza ortogonala in R³.

Luam e₁ = v₁ = (1, 1, 0), e^*₁ = (1/, 1/, 0), deoarece v₁, v₁ = 2.

Calculam pe , e₁, v₂ = (1, 1, 0), (1, 0, -1) = 1, deci

e₂ = (1, 0, -1) - (1, 1, 0) = ;e₂, e₂ = .

Obtinem

e^*₂ = .

Sa calculam pe

;

e₁, v₃ = (1, 1, 0), (0, 1, 2) = 1,

e₂, v₃ = , (0, 1, 2) = - - 2 = .

e₃ = (0, 1, 2) - (1, 1, 0) + = ;

e₃, e₃ = , deci e^*₃ = .

Baza e^*₁, e^*₂, e^*₃ este ortonormala in R³.

1.4. SUBSPATII ALE LUI L_n

1.4.1. Subspatii ale unui spatiu liniar. Fie L_n un spatiu liniar de dimensiune n fata de operatiile (+, ·) pe un corp K si L o submultime a lui L_n.

Definitie. Multimea L formeaza un subspatiu vectorial al lui L_n daca are structura de spatiu vectorial fata de operatiile (+, ·) pe acelasi corp K.

Spatiul vectorial L_n este definit ca multimea vectorilor

v = λ₁v₁ + λ₂v₂ + + λ_nv_n,

cu n vectori liniar independenti v₁, v₂, , v_n in L_n si λ₁, λ₂, , λ_n scalari din K.

Din aceasta observatie rezulta ca orice subspatiu liniar al unui spatiu liniar L_n este format de multimea vectorilor de forma

v^* = μ₁v₁ + μ₂v₂ + + μ_mv_m, m ≤ n,

cu v₁, v₂, , v_m vectori liniar independenti din L_n, iar μ₁, μ₂, , μ_m scalari din K.

Exemple. 1. Multimea vectorilor λv formeaza un spatiu vectorial, numit dreapta.

2. Multimea vectorilor λv₁ + μv₂ formeaza un spatiu vectorial, numit plan.

3. Spatiul L_n si spatiul nul (format cu vectorul nul) sunt subspatii ale lui L_n (m = n sau m = 0).

4. Orice spatiu

R^k, R = R R R

k

cu k ≤ n este un subspatiu al lui Rⁿ.

5. Multimea polinoamelor de grad ≤ m formeaza un subspatiu liniar al spatiului polinoamelor de grad ≤ n, cu m < n.

1.4.2. Perpendiculara dintr-un punct din L_n pe un subspatiu L_m din L_n.

Definitie. Un vector v I L_n este ortogonal pe spatiul L_m L_n, daca este ortogonal la fiecare vector din L_m.

Teorema. Vectorul v este ortogonal pe L_m daca este ortogonal pe vectorii unei baze din L_m.

Demonstratie. Fie e₁, e₂, , e_m o baza dim L_m. Avem deci

v, e₁ = 0, v₁, e₂ = 0, , v, e_m = 0;

orice vector w I L_m se scrie

w = μ₁e₁ + μ₂e₂ + + μ_me_m,

de unde rezulta imediat ca v, w = 0.

Fie v I L_n, v L_m, m < n; ne propune sa determinam un vector v₀ in L_m astfel incat d = v - v₀ sa fie ortogonal pe L_m.

Definitie. Vectorul v₀ se numeste proiectia vectorului v pe L_m, iar masura vectorului d anume |d|, distanta de la punctul M (de vector de pozitie v) la subspatiul L_m.

Observatie. Vectorul v₀ are proprietatea ca oricare ar fi v₁ I L avem |v - v₁| > |v - v₀|, deci |v - v₀| reprezinta distanta cea mai mica de la un punct M la un subspatiu. Intr-adevar,

|v - v₁|² = |v - v₀ + v₀ - v₁|² = |v - v₀|² + |v₀ - v₁|² + 2v - v₀, v₀ - v₁ = |v - v₀|² + |v₀ - v₁|²,

din care rezulta |v - v₁| > |v - v₀|; avem v - v₀, v₀ -v₁ = 0, deoarece d = v - v₀ este perpendicular pe L_m si v₀ - v₁ I L_m.

Teorema. Vectorul v₀ este dat de

v₀ = μ₁e₁ + μ₂e₂ + + μ_me_m

cu e₁, e₂, , e_m o baza ortogonala din L_m si coeficientii

μ₁ = v, e₁, μ₂ = v, e₂, , μ_m = v, e_m.

Demonstratie. Trebuie sa avem v -v₀, e_k, k = 1, 2, , m,

si pentru ca baza este ortogonala, obtinem

μ_k = v, e_k,

deoarece e_i, e_j = 0, e_i, e_i = 1.

Exemplu. Sa se gaseasca distanta punctului (4, 5, 9) la planul definit de vectorii v₁ = (1, 1, 0), v₂ = (0, -1, 1).

Determinam o baza ortogonala:

e₁ = v₁ = (1, 1, 0),

= (0, -1, 1) + (1, 1, 0) = ;

deci e^*₁ = (1/, 1/, 0), e^*₂ = formeaza o baza ortonormala in plan. Punand v₀ = μ₁e^*₁ + μ₂e^*₂, calculam:

μ₁ = ,

μ₂ = ,

v₀ =

si distanta este data de

d = .

1.4.3. Metoda celor mai mici patrate. Sa consideram un fenomen b ce se exprima ca o functie de m stari a₁, a₂, , a_m, anume

b = a₁λ₁ + a₂λ₂ + + a_mλ_m,

cu λ₁, λ₂, , λ_m numere ce trebuie determinate.

Facandu-se n masurari asupra lui b si a_i, obtinem relatiile

λ₁a₁₁ + λ₂a₁₂ + + λ_ma_1m = b₁,

λ₁a₂₁ + λ₂a₂₂ + + λ_ma_2m = b₂,

λ₁a_n1 + λ₂a_n2 + + λ_ma_nm = b₁,.

Cand m = n, putem aplica regula lui Cramer daca determinantul |a_ij| ≠ 0. In general n ≠ m. Cum masurarile introduc erori, sistemul (1) nu conduce la solutii exacte; se cauta solutii aproximative si anume valori pentru λ₁, λ₂, , λ_m cat mai aproape de cele exacte.

Definitie. Se numeste abaterea patratica a relatiilor (1) expresia

. (2)

Metoda celor mai mici patrate consta in a determina pe λ₁, λ₂, , λ_m, astfel incat abaterea patratica medie sa fie minima.

Sa observam insa ca daca consideram vectorii

b = (b₁, b₂, , b_n), a₁ = (a₁₁, a₂₁, , a_n1), a₂ = (a₁₂, a₂₂, , a_n2),

, a_m = (a_1m, a_2m, , a_nm),

expresia (2) este patratul distantei vectorului

b₀ = a₁λ₁ + a₂λ₂ + + a_mλ_m,

la vectorul b, si problema se reduce la aflarea proiectiei b₀ a vectorului b pe acest spatiu. Vectorul b - b₀ este perpendicular pe spatiul determinat de a₁, a₂, , a_m, deci

b - b₀, a_k = 0, k = 1, 2, , m,

sau, pentru ca baza nu este ortogonala,

λ₁a₁, a₁ + λ₂a₂, a₁ + + λ_ma_m, a₁ = b, a₁,

λ₁a₁, a₂ + λ₂a₂, a₂ + + λ_ma_m, a₂ = b, a₂,

.

λ₁a₁, a_n + λ₂a₂, a_n + + λ_ma_m, a_n = b, a_n,

unde

a_i, a_j = , b, a_i = ,

din sistemul (3) se determina λ₁, λ₂, , λ_m care sunt parametrii ce determina pe vectorul b care face abaterea patratica minima.

Aplicatie. 1) Vectorul b depinde de un parametru λ. Avem dupa n masurari

b₁ = λa₁, b₂ = λa₂, , b_n = λa_n,

b = λa sau b, a = λa, a, sau

;

solutia este dreapta b = λa in planul a0b, care trece prin originea 0 si coeficient unghiular λ. Dreapta in general nu trece prin cele n puncte (a_i, b_i).

2) In cazul cand b depinde de doi parametri, avem

b₁ = λa₁ + μa^*₁, b₂ = λa₂ + μa^*₂, , b_n = λa_n + μa^*_n;

punand a = (a₁, a₂, , a_n), a^* = (a^*₁, a^*₂, , a^*_n), si b = (b₁, b₂, , b_n), obtinem

a, aλ + a, a^*μ = b, a, a, a^*λ + a^*, a^*μ = b, a^*,

care determina pe λ si μ, deoarece determinantul sistemului este diferit de zero daca a si a^* sunt liniar independenti.

1.4.4. Determinantii lui Gram. Fie p vectori e₁, e₂, , e_p.

Definitie. Se numeste determinantul lui Gram al vectorilor e₁, e₂, , e_p determinantul

.

Teorema. Daca vectorii e₁, e₂, , e_p sunt liniar dependenti, determinantul lui Gram este nul.

Demonstratie. Daca de exemplu

e_p = μ₁e₁ + μ₂e₂ + + μ_p-1e_p-1,

atunci se observa ca ultima linie este o combinatie liniara a celorlalte linii.

Se poate arata ca daca e₁, e₂, , e_p sunt liniar independenti determinantul lui Gram este strict pozitiv.

Exercitii. 1. In R² determinantul lui Gram

este, evident, strict pozitiv daca a, b nu sunt coliniari; pentru ca

|a|² · |b|² · sin²θ = |a|² · |b|²(1 - cos²θ) = |a|² · |b|² =

= |a|² · |b|² - a, b²,

rezulta ca determinantul Gram da patratul ariei paralelogramului construit pe a, b ca laturi.

2. Avem relatia

,

deci determinantul lui Gram pentru 3 vectori din spatiu da patratul volumului paralelipipedului construit cu acesti vectori ca laturi.

1.5. TRANSFORMARI LINIARE

1.5.1. Matricea unei transformari liniare. Definitie. Fie F o aplicatie a lui L_n in L_n. Aplicatia F se numeste transformare liniare daca

1) F(a + b) = F(a) + F(b), a, b I L_n,

2) F(λa) = λF(a), λ I L_n,

Observatii. 1) Daca E(a) = a, aplicatia liniara E se numeste transformarea identica.

2) Daca O(a) = 0 pentru orice a I L_n aplicatia O se numeste transformarea nula.

Exemple. 1. Operatia de derivare este aplicatie liniara pentru multimea polinoamelor de grad ≤ n.

2. Operatia de integrare pe [a, b] pentru functiile continue este o transformare liniara.

Fie L_n un spatiu liniar, e₁, e₂, , e_n o baza, F o transformare liniara in L_n si

a = a₁e₁ + a₂e₂ + + a_ne_n

un vector oarecare in L_n. Sa consideram o noua baza h₁, h₂, , h_n si

b = a₁h₁ + a₂h₂ + + a_nh_n

un vector din L_n.

Teorema. Exista o transformare F pentru care

F(e₁) = h₁, F(e₂) = h₂, , F(e_n) = h_n,

Demonstratie. Sa consideram transformarea F care duce vectorul a in b. Avem F(a) = b sau

F(a₁e₁) + F(a₂e₂) + + F(a_ne_n) = a₁h₁ + a₂h₂ + + a_nh_n

sau

F(e₁) = h₁, F(e₂) = h₂, , F(e_n) = h_n.

Reciproc, sa ducem vectorii h_i in e_i; la vectorul arbitrar

a = a₁e₁ + a₂e₂ + + a_ne_n

ii corespunde vectorul

b = a₁h₁ + a₂h₂ + + a_nh_n;

deoarece a₁, a₂, , a_n sunt date, urmeaza ca b este unic, iar din F(a) = b rezulta h_i = F(e_j).

Daca scriem

h_i = F(e_i) = a_i1e₁ + a_i2e₂ + + a_ine_n,

transformarii F i se asociaza matricea

A = ||a_ik||

Definitie. Matricea A se numeste matricea transformarii F in baza e₁, e₂, , e_n.

Daca notam

,

avem relatia h = Ae, care justifica pentru A unirea de matricea transformarii F.

Exemple. 1. Sa se gaseasca matricea transformarii care duce baza e₁, e₂, e₃ in baza

h₁ = e₁ + e₂, h₂ = e₂ - e₃, h₃ = e₁ - e₂ + e₃.

Matricea transformarii este

si

.

2. Sa se gaseasca matricea transformarii care duce vectorii e₁, e₂, , e_n in vectorii

h₁ = e₁ - e₂, h₂ = e₂ - e₃, , h_n = e_n - e₁

Matricea transformarii este

si h = Ae.

Fie F o transformare liniara in L_n, e₁, e₂, , e_n o baza in L_n si A = ||a_ij|| matricea transformarii F in acea baza. In urma transformarii F vectorul

x = ξ₁e₁ + ξ₂e₂ + + ξ_ne_n

devine

y = η₁e₁ + η₂e₂ + + η_ne_n

deci y = F(x) = Ax. Putem scrie

F(x) = ξ₁F(e₁) + ξ₂F(e₂) + + ξ_nF(e_n) =

=ξ₁(a₁₁e₁ + a₁₂e₂ + + a_1ne_n) + ξ₂(a₂₁e₁ + a₂₂e₂ + + a_2ne_n) +

+ ξ_n(a_n1e₁ + a_n2e₂ + + a_nne_n) = η₁e₁ + η₂e₂ + + η_ne_n,

cu η₁ = a₁₁ξ₁ + a₂₁ξ₂ + + a_n1ξ_n,

η₂ = a₁₂ξ₁ + a₂₂ξ₂ + + a_n2ξ_n,

.

η_n = a_1nξ₁ + a_2nξ₂ + + a_nnξ_n,

deci ε = A_t · ξ, unde , iar A_t = ||a_ji|| este matricea transpusa matricei A = ||a_ij||.

1.5.2. Operatii cu transformari liniare. Suma a doua transformari liniare. Definitie. Fie doua transformari liniare in L_n, F si G de matrice A = ||a_ij|| si B = ||b_ij||.

1. Numim suma a transformarilor F si G transformarea F + G care face sa corespunda vectorului x vectorul F(x) + G(x). Matricea transformarii F + G este A + B = ||a_ij + b_ij||.

2. Numim produs al transformarilor F si G transformarea H care rezulta din transformarea F urmata de transformarea G. Se noteaza H = G(F) si face sa corespunda vectorului x vectorul G(F(x)). Matricea transformarii G(F) este produsul A · B al celor doua matrice.

Intr-adevar avem

;

unde  , deci ||c_ij|| = ||a_ij|| · ||b_ij||

si matricea transformarii compuse este C = A · B.

Teorema. Suma si produsul de transformari au proprietatile:

1') F + G = G + F,

2') (F + G) + H = F + (G + H),

3') F(G(H)) = F(G)(H),

4') (F + G)(H) = F(H) + G(H),

5') H(F + G) = H(F) + H(G);

6') daca I este o transformare identica, de matrice E, avem relatia

AE = EA = A.

Demonstratie. Daca F are matricea A si G matricea B, operatiile 1') si 2'), 3'), 4') si 5') sunt operatii intre matrice. Matricea E este

si verifica pe 6').

1.5.3. Polinom de matrice. Sa notam

E = A, A = A , A · A = A², A^n-1 · A = Aⁿ.

Definitie. Se numeste polinom de matricea A pe corpul K matricea

P(A) = λ₀E + λ₁A² + + λ_nAⁿ.

Observatii. Putem defini si serii de puteri de matrice

λ₀E + λ₁A + λ₂A² + + λ_nAⁿ + ;

astfel avem

e^A = E + ,

(E - A)^-1 = E + A + A² + + Aⁿ + .

1.5.4. Transformare inversa. Fie F(x) o transformare care duce vectorul x in vectorul y.

Definitie. Transformarea F^-1 care transforma vectorul y in vectorul x se numeste transformare inversa.

Teorema. Daca transformarea F este realizata de matricea

, det A ≠ 0, deci F(x) = Ax,

transformarea inversa F este realizata de matricea A^-1 definita de relatia

A A = AA = E

Demonstratie. Avem

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + + a_1nx_n = y₁,

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + + a_2nx_n = y₂,

..

a_n1x₁ + a_n2x₂ + + a_nnx_n = y_n,,

care poate fi rezolvat cu regula lui Cramer, deoarece det A ≠ 0. Putem proceda si matriceal:

A · x = y sau A^-1 · A · x = A^-1 · y .

deci E · x = A^-1 · y sau x = A^-1 · y .

Exemple. 1. Transformarea care duce un vector v din spatiu la proiectia sa v^* pe un plan nu se poate inversa. Intr-adevar, la proiectia v^* corespund o infinitate de vectori in spatiu.

2. Rotatia unui vector din spatiu este o transformare inversabila.

1.5.5. Matricea unei transformari in baze diferite. In spatiul L_n sa consideram doua baze e₁, e₂, , e_n si g₁, g₂, , g_n; sa notam e = (e₁, e₂, , e_n) si g = (g₁, g₂, , g_n). Fie F transformarea care duce de la e la g, deci g = F(e) si C matricea care realizeaza aceasta transformare:

g = Ce,  C = ||c_ij||.

Prin urmare, avem

F(e₁) = g₁ = c₁₁e₁ + c₁₂e₂ + + c_1ne_n,

F(e₂) = g₂ = c₂₁e₁ + c₂₂e₂ + + c_2ne_n,

.

F(e_n) = g_n = c_n1e₁ + c_n2e₂ + + c_nne_n .

Fie x un vector din L_n si y transformatul sau prin H:

H(x) = y.

Daca A este matricea ce duce vectorul x scris in baza e in vectorul y, avem

;

daca B este matricea ce duce vectorul x scris in baza g in vectorul y, avem

Sa presupunem matricea B necunoscuta. Deoarece g_i = F(e_i), obtinem

,

care, daca ii aplicam transformarea inversa F^-1, ne da

,

sau, revenind la matricele de transformare,

C AC = B.

Am demonstrat urmatoarea

Teorema. Matricea B a unei transformari H in baza g₁, g₂, , g_n se obtine din matricea A a transformarii H in baza e₁, e₂, , e_n dupa formula

B = C AC,

unde C este matricea transformarii bazei e in baza g.

1.5.6. transformari invariante. Definitie. Fie F o transformare liniara in L_n. Un subspatiu L_m L_n se numeste invariant fata de transformarea F daca pentru orice x I L_m avem F(x) I L_m.

Exemplu. O rotatie F in spatiul R³ in jurul unei axe fixe pastreaza invariant orice vector situat pe axa. Orice plan perpendicular pe axa este un subspatiu invariant bidimensional.

Definitie. L₁ L_n este subspatiu invariant fata de transformarea F daca pentru orice x I L₁ avem F(x) = λx.

Folosind operatorul matriceal A = ||a_ij|| avem ecuatia

Ax = λx sau (A - λE)x = 0,

care conduce la sistemul

(a₁₁ - λ)x₁ + a₁₂x₂ + + a_1nx_n = 0,

a₂₁x₁ + (a₂₂ - λ)x₂ + a₂₃x₃ + + a_2nx_n = 0,

.

a_n1x₁ + a_n2x₂ + + (a_nn - λ)x_n = 0,

sistem ce nu trebuie sa admita numai solutia banala, ceea ce ne da

, (1)

asa-numita ecuatie caracteristica sau ecuatie seculara; radacinile ei se numesc valori proprii sau valori caracteristice. Ecuatia (1) are n radacini reale sau complexe. Daca λ₀ este o radacina a ecuatiei caracteristice, atunci din sistemul (1) rezulta valorile (x⁰₁, x⁰₂, , x⁰_n) si vectorul

x₀ = e₁x⁰₁ + e₂x⁰₂ + + e_nx⁰_n

este un vector propriu al transformarii F realizate de matricea A. Am demonstrat urmatoarea

Teorema. Intr-un spatiu liniar L_n, construit pe corpul C, orice transformare liniara are un vector propriu.

In cele ce urmeaza dam rezultate privind vectorii proprii.

Teorema. Vectorii proprii corespunzatori la valori proprii diferite doua cate doua sunt liniar independenti.

Demonstratie. Presupunem ca vectorii v₁, v₂, , v_p ai operatorului F corespund valorilor proprii λ₁, λ₂, , λ_p diferite doua cate doua. Dupa inductie, pentru p = 1, teorema este adevarata deoarece αv₁ = 0, deci α = 0. Presupunem teorema adevarata pentru p - 1 vectori si sa aratam ca este adevarata si pentru p vectori. Daca v₁, v₂, , v_p sunt p vectori proprii liniar dependenti, atunci, luand combinatia

α₁v₁ + α₂v₂ + + α_pv_p = 0,  α_k I R,

obtinem

F(α₁v₁ + α₂v₂ + + α_pv_p) = α₁F(v₁) + + α_pF(v_p) = 0,

deci

α₁λ₁v₁ + α₂λ₂v₂ + + α_pλ_pv_p = 0.

Pe de alta parte insa,

λ_p(α₁v₁ + α₂v₂ + + α_pv_p) = 0.

Din aceste doua relatii prin scadere rezulta

α₁(λ₁ - λ_p)v₁ + α₂(λ₂ - λ_p)v₂ + + α_p-1(λ_p-1 - λ_p)v_p-1 =0.

Vectorii v₁, v₂, , v_p-1 insa sunt liniar independenti, deci

α₁ = α₂ = = α_p-1 = 0.

In multe probleme ne intereseaza sa alegem o baza in care matricea unei transformari F sa aiba forma diagonala.

Teorema. Daca intr-un spatiu vectorial L_n o transformare liniara F : L_n L_n are n vectori proprii liniar independenti, atunci, alegand acesti n vectori ca baza, matricea transformarii F va avea in aceasta baza forma diagonala.

Demonstratie. Fie n vectori proprii liniar independenti e₁, e₂, , e_n care formeaza o baza in L_n. Avem

F(e₁) = λ₁e₁, F(e₂) = λ₂e₂, , F(e_n) = λ_ne_n,

deci matricea transformarii F este

.

Multimea formata cu radacinile caracteristice ale transformarii F se numeste spectrul transformarii liniare sau al operatorului liniar.

Nu este totdeauna posibil sa se determine o baza in care matricea transformarii sa aiba forma diagonala.

Numim multiplicitate geometrica a valorii proprii λ a transformarii F : L_n L_n dimensiunea subspatiului generat de vectorii proprii corespunzatori lui λ.

Se poate demonstra ca pentru o transformare F : L_n L_n se poate determina o baza in care matricea sa aiba forma diagonala daca multiplicitatea algebrica a fiecarei valori proprii este egala cu multiplicitatea ei geometrica.

In cazul cand nu putem determina o baza in care matricea transformarii sa aiba forma diagonala, se va putea determina o baza in care matricea transformarii sa aiba forma Jordan:

Fie, de exemplu F : L_n L_n o transformare liniara. Presupunem ca F are trei vectori (3 ≤ n) proprii liniar independenti e₁, e₂, e₃, corespunzatori valorilor proprii λ₁, λ₂, λ₃. Exista in acest caz o baza formata din vectorii

e₁₁, e₁₂, , e_1m,

e₂₁, e₂₂, , e_2k,

e₃₁, e₃₂, , e_3p,

cu m + k + p = n astfel incat

F(e₁₁) = λ₁e₁₁, F(e₂₁) = λ₂e₂₁,

F(e₁₂) = λ₁e₁₂ + e₁₁, F(e₂₂) = λ₂e₂₁ + e₂₁,

. .

F(e_1m) = λ₁e_im + e_{1, m-1}, F(e_2k) = λ₂e_2k + e_{2, k-1},

F(e₃₁) = λ₃e₃₁,

F(e₃₂) = λ₃e₃₂ + e₃₁,

..

F(e_3p) = λ₃e_3p + e_{3, p-1},

Aplicatie. Sa se aduca la forma Jordan matricea A a transformarii F : R⁴ R⁴ :

,

Valorile proprii ale matricei A sunt date de ecuatia

= 0

si sunt λ₁ = λ₂ = λ₃ = λ₄ = 1. Determinam vectorii proprii. Pentru λ = 1 avem

2x₂ + 3x₃ + 4x₄ = 0, 2x₃ + 3x₄ = 0, x₄ = 0;

obtinem vectorul propriu v₁ = (1, 0, 0, 0).

Cautam sa determinam pe v₂ = (y₁, y₂, y₃, y₄), astfel incat Av₂ = v₂ + v₁; obtinem sistemul

2y₂ + 3y₃ + 4y₄ = 1, 2y₃ + 3y₄ = 0, y₄ = 0,

care ne da solutia v₂ = (y₁, 1/2, 0, 0).

Al treilea vector din baza este v₃ = (z₁, z₂, z₃, z₄), cu Av₃ = v₃ + v₂. Componentele z₁, z₂, z₃, z₄ se determina din sistemul

2z₂ + 3z₃ + 4z₄ = y₁, 2z₃ + 3z₄ = 1/2, z₄ = 0,

obtinem solutia

,

si pentru y₁ = 0 avem v₃ = (z₁, -3/8, 1/4, 0).

Vectorul v₄ = (t₁, t₂, t₃, t₄) verifica relatia Av₄ = v₄ + v₃, care conduce la sistemul

2t₂ + 3t₃ + 4t₄ = z₁, 2t₃ + 3t₄ = -3/8, t₄ = 1/4,

cu solutia

.

Intrucat z₁, t₁ sunt arbitrari, luam t₁ = z₁ = 0. Obtinem baza

v₁ = (1, 0, 0, 0), , , .

Matricea transformarii in aceasta baza are forma Jordan si este

.

1.6. TRANSFORMARI LINIARE PARTICULARE

1.6.1. Transformari hermitiene reale. Fie L_n un spatiu euclidian real.

Definitie. O transformare F L_n L_n se numeste transformare hermitiana reala (simetrica) daca pentru orice vectori x, y din L_n avem

x, F(y) = F(x), y.

Matricea asociata unei asemenea transformari este o matrice simetrica. Intr-adevar, daca (e₁, e₂, , e_n) este o baza in L_n astfel incat e_i, e_j = δ_ij, putem scrie

e_i, F(e_j) = F(e_i), e_j,

iar daca

este matricea asociata transformarii F, avem efectiv

F(e_j) = a_1je₁ + a_2je₂ + + a_nje_n,

F(e_i) = a_1ie₁ + a_2ie₂ + + a_nie_n,

din care rezulta

e_i, F(e_j) = F(e_i), e_j = a_ji,

deci a_ij = a_ji, ceea ce arata ca matricea asociata transformarii F este simetrica.

Teorema. Fie v un vector propriu al transformarii hermitiene reale. F L_n L_n. Subspatiul format cu vectorii ortogonali pe vectorul v este un subspatiu invariant pentru F

Demonstratie. Fie w I L_n, cu w, v = 0; din

F(w), v = w, F(v)

si F(v) = λv rezulta

F(w), v = w, λv = 0,

deci F(w) v, adica transformatul lui w prin F este de asemenea ortogonal pe v.

Teorema. Pentru orice transformare hermitiana reala exista o baza formata din vectori proprii, ortogonali doi cate doi.

Demonstratie. In cazul unidimensional orice vector nenul este un vector propriu. Pentru n = 1 proprietatea este adevarata. Presupunem teorema adevarata pentru orice transformare in L_n-1

Fie F o transformare hermitiana reala in L_n. Deoarece toate valorile proprii ale unei astfel de transformari sunt reale, exista cel putin un vector propriu e₁. Construim subspatiul format din toti vectorii din L_n ortogonali pe e₁. Spatiul are dimensiunea n - 1 si este un subspatiu invariant pentru F. Considerand acum transformarea

F : .

Prin inductie rezulta ca exista baza e₁, e₂, , e_n care satisface conditiile

F(e_i) = λ_ie_i, e_i, e_j = δ_ij =

Exemplu. Fie F : R³ R³, data prin

F(x, y, z) = (y + z, x + z, x + y).

Se cere sa se determine o baza ortonormala in care matricea transformarii are forma diagonala.

Matricea transformarii este

.

Determinam valorile proprii si vectorii proprii:

= 0.

Obtinem λ₁ = λ₂ = -1, λ₃ = 2. Pentru λ = -1 coordonatele vectorului propriu corespunzator verifica relatia x + y + z = 0, deci

e₁ = (1, 1, -2), e₂ = (1, -1, 0)

sunt doi vectori proprii independenti. Pentru λ₃ = 2 se obtine

e₃ = (1, 1, 1).

Vectorii e₁, e₂, e₃ sunt ortogonali doi cate doi; matricea transformarii in noua baza este

^-1A.

1.6.2. Transformari ortogonale. Definitie. Fie L_n un spatiu vectorial real. Transformarea liniara F L_n L_n este o transformare ortogonala daca matricea A a acestei transformari intr-o baza ortonormala are proprietatea

A A^t

Sensul geometric al unei asemenea transformari este dat de urmatoarea

Teorema. Intr-un spatiu L_n orice transformare ortogonala pastreaza produsul scalar.

Demonstratie. Fie x I L_n, x = . Avem

in mod asemanator obtinem

F(y) = .

Produsul scalar este dat de

unde am pus

L = ,

A fiind matricea transformarii F. Din definitia transformarii ortogonale avem

relatii care ne conduc la

.

Observatii. 1) In cazul particular cand x = y obtinem

adica ||F(x)|| = ||x||, deci o transformare ortogonala pastreaza lungimea vectorilor.

2) Deoarece

rezulta ca o transformare ortogonala pastreaza unghiurile.

Teorema. Modulul valorilor proprii ale unei transformari ortogonale este egal cu 1.

Demonstratie. Avem F(x) = λx, insa

F(x), F(x) = x, x = λ²x, x,

de unde rezulta λ² = 1, |λ| = 1.

Teorema. Daca e este un vector propriu al unei transformari ortogonale F, atunci subspatiul format din vectorii v ortogonali pe e este invariant pentru F

Demonstratie. Se stie ca v, e = 0, insa

F(v), F(e) = F(v), λe = λF(v), e = 0 = v, e,

deci F(v) e.

Aplicatie. Transformarile ortogonale in R². Fie F R² R² o transformare ortogonala data in baza e₁ = (1, 0), e₂ = (0, 1) prin matricea

A = .

Conditiile

AA^t A^tA E

conduc la relatiile

= 1.

Avem si

(det A)² = 1, deci det A

Cazul I: det A = 1. Obtinem

,

deci

γ = βλ, δ = -αλ, α² + β² = 1, λ²(α² + β²) = 1, λ² = 1, λ = ± 1, α = cos θ, β = sin θ.

Inlocuind aceste valori in conditia det A = 1, obtinem λ = -1; prin urmare, matricea A a transformarii este

si defineste multimea rotatiilor din plan.

Cazul II: detA = -1. In aceasta situatie αδ - βγ = -1 si ecuatia caracteristica a transformarii este

= 0, λ² - (α + δ)λ - 1 = 0,

ecuatie cu radacini reale deoarece Δ = (α + δ)² + 4 > 0. Fie λ¹ si λ² cele doua radacini. Pentru ca λ₁λ₂ = -1, urmeaza ca singurele valori posibile sunt λ₁ = 1, λ₂ = -1. Avem si

F(e₁), F(e₂) = -e₂,

deci matricea transformarii in baza formata de vectorii proprii poate avea doar urmatoarele doua forme:

,

deci simetrii.

1.7. FUNCTII LINIARE. FUNCTII BILINIARE

1.7.1. Functii liniare. Fie L un spatiu liniar pe corpul R

Definitie. O functie F L R este liniara daca

1) f(x + y) = f(x) + f(y),  x, y I L,

2) f(λx) = λf(x),  λ I R

Observatii. 1) Daca e₁, e₂, , e_n este o baza in L_n si

x = x₁e₁ + x₂e₂ + + x_ne_n,

atunci, conform definitiei, avem

f(x) = x₁f(e₁) + x₂f(e₂) + + x_nf(e_n),

si daca punem f(e₁) = a₁, f(e₂) = a₂, , f(e_n) = a_n, obtinem expresia functiei liniare in L_n

f(x) = a₁x₁ + a₂x₂ + + a_nx_n,

2) Sa consideram acum o noua baza g₁, g₂, , g_n in L_n care in functie de e₁, e₂, , e_n, se scrie

g = A·e, A = ||α_ij||,

g₁ = α₁₁e₁ + α₁₂e₂ + + α_1ne_n,

g₂ = α₂₁e₁ + α₂₂e₂ + + α_2ne_n,

..

g_n = α_n1e₁ + α_n2e₂ + + α_nne_n,.

Teorema. In spatiul Rⁿ forma liniara f pentru vectorii x = (x₁, x₂, , x_n) in baza e se scrie

f(x) = a₁x₁ + a₂x₂ + + a_nx_n,

iar pentru vectorii x = (x^*₁, x^*₂, , x^*_n) scrisi in baza g se scrie

f(x) = a₁x^*₁ + a₂x^*₂ + + a_nx^*_n,

cu  b₁ = α₁₁a₁ + α₁₂a₂ + + α_1na_n,

b₂ = α₂₁a₁ + α₂₂a₂ + + α_2na_n,

..

b_n = α_n1a₁ + α_n2a₂ + + α_nna_n,

sau b = A·a, unde b = (b₁, b₂, , b_n), a = (a₁, a₂, , a_n).

Demonstratie. Avem

f(x) = f(g₁x^*₁ + g₂x^*₂ + + g_nx^*_n) = x^*₁f(g₁) + x^*₂f(g₂) + + x^*_nf(g_n),

insa

f(g₁) = f(α₁₁e₁ + α₁₂e₂ + + α_1ne_n) = α₁₁f(e₁) + α₁₂f(e₂) + + α_1nf(e_n) =

= α₁₁a₁ + α₁₂a₂ + + α_1na_n.

1.7.2. Functii biliniare. Fie L un spatiu liniar si x, y I L

Definitie. O functie B L L R se numeste functie biliniara de vectori x si y I L daca

1) B(x, y), pentru x fixat, este functie liniara de y.

2) B(x, y), pentru y fixat, este functie liniara de x.

Observatie. Conform definitiei functia B are urmatoarele proprietati:

1') B(x, y₁ + y₂) = B(x, y₁) + B(x, y₂),

1") B(x, λy) = λB(x, y),

cat si

2') B(x₁ + x₂, y) = B(x₁, y) + B(x₂, y),

2") B(λx, y) = λB(x, y).

Teorema. Pentru x I L_n, y I L_n, raportat la o baza e₁, e₂, , e_n astfel incat

x = x₁e₁ + x₂e₂ + + x_ne_n,

y = y₁e₁ + y₂e₂ + + y_ne_n,

avem  .

Demonstratie. Avem

B(x, y) = B(x₁e₁ + x₂e₂ + + x_ne_n, y₁e₁ + y₂e₂ + + y_ne_n) =

= .

Daca notam B(e_i, e_j) = a_ij, functia biliniara (sau forma biliniara) se scrie

iar ||a_ij|| se numeste matricea formei biliniare B

1.7.3. Schimbarea bazei. In baza e₁, e₂, , e_n forma biliniara B se scrie

si este definita de matricea A = ||a_ij||. Fie g₁, g₂, , g_n o noua baza cu matricea de trecere C

g = C·e, C = ||c_ij||,

sau  g₁ = c₁₁e₁ + c₁₂e₂ + + c_1ne_n,

g₂ = c₂₁e₁ + c₂₂e₂ + + c_2ne_n,

.

g_n = c_n1e₁ + c_n2e₂ + + c_nne_n.

Teorema. Daca A este matricea formei biliniare B in baze e si G este matricea formei biliniare B in baza g, avem relatia

G CAC_t­.

Demonstratie. Avem in baza g

deci

b_ij = B(g_i, g_j) =

sau

b_ij = ,

deci

b_ij =

sau

G CAC_t­.

1.8. FORME PATRATICE

1.8.1. Forme biliniare simetrice. Fie L_n un spatiu vectorial cu n dimensiuni construit pe R si x, y doi vectori din L_n

Definitie. Forma biliniara B se numeste simetrica daca satisface conditia B(x, y) = B(y, x).

Din definitie rezulta ca B(e_i, e_j) = B(e_j, e_i) adica a_ij = a_ji, deci matricea A = ||a_ij|| este simetrica.

1.8.2. Forme patratice. Fie L_n un spatiu vectorial pe R si x, y doi vectori din L_n si fie B(x, y) o forma biliniara simetrica de matrice A = ||a_ij||.

Definitie. 1. Forma B(x, x) se numeste forma patratica, iar B(x, y) se numeste forma polara a formei patratice.

2. Forma patratica se numeste pozitiv definita daca pentru orice x I L_n, x ≠ 0, B(x, x) > 0.

Teorema. Forma polara B(x, y) simetrica este unic determinata de forma patratica B(x, x).

Demonstratie. Avem

B(x + y; x + y) = B(x, x) + B(x, y) + B(y, x) + B(y, y)

si pentru ca B(x, y) = B(y, x) rezulta

B(x, y) = [B(x + y, x + y) - B(x, x) - B(y, y)]/2.

Acest fapt conduce la urmatoarea

Teorema. O forma patratica se scrie intr-o baza data sub forma

A(x, x) = , a_ij = a_ji, unde a_ij = B(e_i, e_j).

Observatii. 1) Definirea formei patratice pozitiv definite cu ajutorul formelor biliniare simetrice conduce la urmatoarele proprietati:

1') B(x, y) = B(y, x),

2') B(x₁ + x₂, y) = B(x₁, y) + B(x₂, y),

3') B(x, y₁ + y₂) = B(x, y₁) + B(x, y₂),

4') B(λx, y) = λB(x, y), B(x, λy) = λB(x, y),

5') B(x, x) ≥ 0, B(x, x) = 0, x = 0,

care coincid cu proprietatile produsului scalar, de unde rezulta urmatoarea

Teorema. Forma biliniara care genereaza in L_n forma patratica pozitiv definita este produsul scalar

B(x, y) = x, y.

Observatie. Spatiul liniar in care s-a definit o forma patratica B(x, y) pozitiv definita se numeste spatiul euclidian.

Forma polara asociata formei patratice pozitiv definite se numeste produsul scalar x, y al vectorilor x, y.

1.8.3. Reducerea la o suma de patrate a unei forme patratice (metoda lui Gauss). Fie o forma patratica in L_n

,

si ne punem problema de a o reduce la forma cea mai simpla pe care o alegem:

,

trecand de la baza initiala la o baza convenabila.

Sa consideram forma patratica B(x, x) in care sa punem in evidenta toti termenii care contin x₁, anume

,

in care formam patratul perfect (a₁₁ ≠ 0) obtinand

si din care trebuie sa scadem pe

.

Deci B(x, x) se scrie

B(x, x) = + B^*(x, x),

unde B^* este oforma patratica care nu contine pe x₁.

Procedeul poate fi continuat si pentru B^*; dupa n operatii obtinem

B(x, x) =

unde b₁ = 1/a₁₁, ξ₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + + a_1nx_n,

ceilalti coeficienti b_i si coordonatele ξ_i determinandu-se din aproape in aproape. Am demonstrat urmatoarea

Teorema. O forma patratica se poate scrie totdeauna sub forma

,

printr-o schimbare convenabila a bazei.

Observatie. Procedeul folosit nu este unic; am inceput cu x₁, dar putem incepe cu oricare din x_i si sa le separam.

Exemplu. Sa se scrie sub forma de suma de patrate forma patratica

.

Avem

,

B(x, x) =

deci

B(x, x) = .

Daca punem x₁ + x₂ + x₃ = ξ₁, x₂ = ξ₂, x₂ + 4x₃ = ξ₃, B(x, x) se transforma in B^* (ξ, ξ), data de

B(ξ, ξ) = .

1.8.4. Metoda bazei triunghiulare. Procedeul expus arata ca baza obtinuta este de forma

ξ₁ = α₁₁x₁ + α₁₂x₂ + + α_1nx_n,

ξ₂ = α₂₂x₂ + + α_2nx_n,

..

ξ₂ = α_nnx_n,

Vom cauta in cele ce urmeaza sa utilizam acest fapt.

Teorema lui Jacobi. Daca in forma patratica, scrisa intr-o baza e₁, e₂, , e_n,

B(x, x) =

determinantii urmatori sunt diferiti de zero

Δ₀ = 1, Δ1 = a₁₁ ≠ 0, Δ₂ = ≠ 0,

, Δ_k = ≠ 0, , Δ_n = ≠ 0

atunci exista o baza g₁, g₂, , g_n, in care B(x, x) se scrie sub forma

B (ξ, ξ) = ,

cu b₁ = Δ₀/Δ₁, b₂ = Δ₁/Δ₂, , b_n = Δ_n-1/Δ_n.

Demonstratie. Cautam noua baza sub forma

g₁ = c₁₁e₁,

g₂ = c₂₁e₁ + c₂₂e₂,

.

g₂ = c₂₁e₁ + c₂₂e₂ + + c_nne_n.

Daca in baza e₁, e₂, , e_n

,

atunci a_ij = B(e₁, g_j); pentru ca in baza g sa obtinem rezultatul propus trebuie ca

B(g_i, g_j) = 0, i ≠ j = 1, 2, , n.

Sa observam ca daca B(g_i, e_j) = 0, si B(g_i, g_j) = 0, i ≠ j; intr-adevar, din (1) rezulta

B(g₁, g_j) = c₁₁B(e₁, g_j), j ≠ 1,

deci daca B(e₁, g_j) = 0, si B(g₁, g_j) = 0, deoarece c₁₁ ≠ 0.

Din a doua relatie din (1) se obtine

B(g₂, g_j) = c₂₁B(e₁, g_j) + c₂₂B(e₂, g_j) = c₂₂B(e₂, g_j);

daca B(e₂,g_j) = 0, si B(g₂, g_j) = 0, c₂₂ ≠ 0 etc.

Folosind cele scrise rezulta imediat pentru coeficientii c_k1, c_k2, , c_kk sistemul, daca B(e_i, g_i) = 1,

c_k1B(e₁, e₁) + c_k2B(e₁, e₂) + + c_kkB(e₁, e_k) = 0,

c_k1B(e₂, e₁) + c_k2B(e₂, e₂) + + c_kkB(e₂, e_k) = 0,

c_k1B(e_k-1, e₁) + c_k2B(e_k-1, e₂) + + c_kkB(e_k-1, e_k) = 0,

c_k1B(e_k, e₁) + c_k2B(e_k, e₂) + + c_kkB(e_k, e_k) = 1,

si pentru ca a_ij = B(e_i, e_j), rezulta ca sistemul (2) are determinantul diferit de zero si este determinantul Δ_k din enunt. Obtinem

c_kk = Δ_k-1/Δ_k.

Coeficientul b_k al formei patratice transformate este

b_kk = B(g_k, g_k) = c_kk,

deoarece toti B(g_k, e_i) = 0, i ≠ k.

Observatie. In noua baza forma patratica se scrie

,

insa aceasta forma nu este unica.

Exemplu. Forma patratica

E(x, y, z, t) = x² + y² - 3z² + t² -xy + 3yz + 5zt

sa se scrie sub forma canonica, folosind metoda lui Jacobi, apoi cea a lui Gauss.

Avem

Δ₀ = 1, Δ₁ = 1, Δ₂ = = , Δ₃ = = ,

Δ₄ = =

deci forma patratica in noua baza se scrie

E(ξ, ξ) = .

Cu metoda lui Gauss avem:

,

,

deci E =

insa ,

E = .

Se observa ca prin ambele metode obtinem acelasi numar de patrate cu coeficienti pozitivi, anume 3.

1.8.5. Consecinte ale teoremei lui Jacobi. Teorema lui Jacobi permite sa se construiasca o baza pentru reducerea formei patratice la forma canonica cat si calculul efectiv al coeficientilor formei canonice. Acesti coeficienti arata si numarul termenilor negativi cat si ai celor pozitivi.

Teorema. 1. Numarul schimbarilor de semn din sirul 1, Δ₁, Δ₂, , Δ_n arata numarul coeficientilor negativi din forma canonica.

2. O forma patratica este pozitiv definita daca si numai daca

Δ₁ > 0, Δ₂ > 0, , Δ_n > 0.

Demonstratie. 1) si prima parte din 2) sunt imediate. Sa aratam ca daca o forma patratica este pozitiv definita, atunci Δ_k > 0, k = 1, 2, , n. Avem

;

se stie ca Δ_k ≠ 0, daca e₁, e₂, , e_k sunt liniar independenti. Sa presupunem ca Δ_k = 0; avem atunci

λ₁B(e₁, e_i) + λ₂B(e₂, e_i) + + λ_kB(e_k, e_i) = 0,

cu μ_i nu toti nuli; obtinem

B(λ₁e₁ + λ₂e₂ + + λ_ke_k, e₁) = 0,

deci si

B(λ₁e₁ + λ₂e₂ + + λ_ke_k, λ₁e₁ + λ₂e₂ + + λ_ke_k) = 0,

ceea ce este in contradictie cu forma patratica pozitiv definita, deci Δ_k > 0.

Observatie. Din definitie rezulta ca determinantii lui Gram sunt pozitivi sau nuli. Intr-adevar, daca luam pentru B(x, y) produsul scalar x, y, forma patratica B(x, x) = x, y este pozitiv definita, iar determinantii

Δ_k = > 0,

daca e₁, e₂, , e_k sunt liniar independenti; iar Δ_k = 0 constituie conditia necesara si suficienta este ca e₁, e₂, , e_k sa fie liniar dependenti.

1.8.6. Metoda matriceala de reducere a formelor patratice la forma canonica. Ilustram metoda printr-un

Exemplu. Sa se reduca prin metoda transformarilor ortogonale forma patratica

la forma canonica.

Scriem forma patratica astfel:

.

Determinam valorile proprii ale matricei

,

care este o matrice simetrica, deci o matrice hermitiana reala; prin urmare, matricea A admite o baza formata din vectori proprii ortogonali doi cate doi cu matricea transformarii de forma diagonala. Valorile proprii sunt date de ecuatia

si sunt λ₁ = 1, λ₂ = -1, λ₃ = -3, λ₄ = 7.

Vectorii proprii corespunzatori sunt

v₁ = , v₃ = ,

v₂ = , v₄ = .

Obtinem matricea

=,

cu care efectuam transformarea

= ;

avem si ||x₁ x₂ x₃ x₄|| = ||y₁ y₂ y₃ y₄||·^t. Forma patratica data devine

·^t·A··.

Matricea este ortogonala deci ^t = ^-1. Avem si

^-1A =

astfel incat forma patratica f x₁, x₂, x₃, x₄) ia forma canonica

.

2. Vectori. Algebra vectoriala

2.1. VECTORI PE O DREAPTA

2.1.1. Vector. Notiunea de vector vine din practica. Forta centrifuga, tensiunea unui corp, viteza, acceleratia, deplasarea rectilinie sunt obiecte sau stari fizice caracterizate prin marime, directie si sens.

Definitie. Se numeste vector obiectul matematic atasat unei marimi fizice caracterizate prin marime, directie si sens.

Vom spune astfel ca fortele sunt vectori, viteza este un vector etc.

In matematica se folosesc segmentele orientate pentru a se reprezenta vectori. Un segment orientat are marimea (lungimea segmentului |AB|), directia, determinata de punctele A si B, sensul de la A la B.

Un vector se noteaza a, b sau AB.

2.1.2. Vectori pe o dreapta. Fie o dreapta D. Un vector AB pe dreapta D este un segment orientat cu AD, BD, unde A se numeste punctul de aplicatie si B extremitatea vectorului. Daca A este fix, vectorul se numeste legat. Daca A este mobil si |AB| = const, vectorul se numeste alunecator, iar dreapta D suport.

Definitie. Se numeste versor vectorul liber de marime unitate.

Daca pe dreapta D versorul este u, orice vector de pe D se scrie a = au unde a = |a| este marimea vectorului a.

Doi vectori care au aceeasi marime, aceeasi directie si acelasi sens se numesc vectori echipolenti.

Doi vectori sunt opusi daca au aceeasi marime, aceeasi directie si sensuri opuse.

Doi vectori sunt egali daca au aceeasi marime, aceeasi directie si acelasi sens, deci vectorii echipolenti sunt egali.

Adunarea a doi vectori. Fie a si b doi vectori si u versorul pe D. Putem scrie

a = au, b = bu.

Adunarea vectorilor a si b este operatia care asociaza la vectorii a, b vectorul c, definit astfel:

c = a + b = (a + b)u,

si are urmatoarele proprietati:

a + b = b + a   (comutativa),

(a + b) + c = a + (b + c) (asociativa),

exista elementul neutru vectorul 0 de marime nula astfel incat

a + 0 = 0 + a = a;

pentru price vector a D exista opusul sau -a definit de

-a = (-a)u, astfel incat a + (-a) = 0.

Am demonstrat urmatoarea

Teorema. Multimea vectorilor de pe o dreapta formeaza un grup comutativ fata de operatia +.

2.1.3. Marimi scalare. Orice obiect sau stare fizica ce poate fi caracterizata numai prin marime se numeste marime scalara sau scalar. Un scalar este definit printr-un numar care indica marimea sa.

Temperatura, volumul unui corp, lungimea unui segment sunt marimi scalare.

2.1.4. Inmultirea unui vector cu un scalar. Definitie. Un vector a se inmulteste cu scalarul λ daca marimea vectorului a se nmulteste cu scalarul λ; rezultatul este un vector:

b = λ · a = a · λ = (a · λ) u.

Din definitie rezulta ca operatia este comutativa. Vectorul b pastreaza sensul lui a daca λ > 0; pentru λ < 0 vectorul b are sens opus lui a.

2.1.5. Vectori liniar dependenti. Fie p vectori v₁, v₂, ., v_p.

Definitie. Spunem ca vectorii v₁, v₂, ., v_p sunt liniar dependenti, daca exista p numere λ­₁, λ₂, ., λ_p, nu toate nule,

deci , astfel incat

λ₁v₁ + λ₂v₂ + . + λ_pv_p = 0.

Teorema. Doi vectori coliniari sunt liniar dependenti si reciproc.

Demonstratie. Fie a = au, b = bu, deci b = (b/a)a, sau b = λa sau b - λa = 0; invers, daca μb + νa = 0, rezulta si este coliniar cu a.

2.2. VECTORI IN PLAN

2.2.1. Vectori in plan. Fie P un plan; la orice vector v din plan asociem un segment orientat v = AB, de aceeasi marime, directie si sens cu v.

Definitii. Vectorul v se numeste vector liber daca punctul sau de aplicatie A este oarecare i plan, directia si sensul ramanand aceleasi. Daca A este fix, vectourl v se numeste legat.

Doi vectori sunt egali daca au aceeasi marime, aceeasi directie si acelasi sens.

Observatie. Din definitie rezulta ca vectorul liber este de fapt o clasa de vectori.

In planul P sa consideram un sistem de axe rectangulare Oxy si un vector v; daca vom considera vectorul echipolent cu el v^*, cu originea in O, vectorul v^* va avea pe cele doua axe proiectiile p si q. In felul acesta la vectorul liber v asociem perechea ordonata de numere reale (p, q) si vom scrie v = (p, q).

Exemplu. Daca i, j sunt versorii axelor Ox si respectiv Oy, atunci i = (1,0) si j = (0,1).

Definitii. Doi vectori v₁ = (p₁, q₁), v₂ = (p₂, q₂) sunt egali daca si numai daca p₁ = p₂ si q₁ = q₂.

Suma a doi vectori v₁, v₂ este un vector v₁ + v₂ de componente p₁ + p₂ si q₁ + q₂:

v₁ + v₂ = (p₁ + p₂, q₁ + q₂);

adunarea este comutativa si asociativa. Elementul neutru este vectorul nul si opusul vectorului v = (p, q) este -v = (-p, -q).

Inmultirea unui vector v cu un scalar λ se face dupa regula:

λv = vλ = (λp, λq);

aceasta este asociativa:

λ(μv) = (λμ)v = (λμp, λμq),

este distributiva fata de adunarea scalarilor:

(λ + μ)v = λv + μv,

este distributiva fata de adunarea vectorilor:

λ(v₁ + v₂) = λv₁ + λv₂.

Observatii. 1) Regula de insumare a doi vectori este regula paralelogramului, in sensul ca, daca consideram doi vectori v₁ si v₂ si luam pentru extremitatea lui v₁ originea lui v₂, vectorul suma este vectorul v₁ + v₂ = w cu originea in originea lui v₁ si extremitatea in extremitatea lui v₂. Proiectia lui w pe Ox este suma proiectiilor lui v₁ si v₂ pe Ox, iar proiectia lui w pe Oy este suma proiectiilor lui v₁ si v₂ pe Oy.

2) Multimea vectorilor coplanari formeaza un spatiu vectorial.

2.2.2. Descompunerea unui vector v dupa doua directii distincte D₁, D₂ definite de vectorii a si b coplanari cu v. Sa consideram in planul lui v, a, b un punct O si doua drepte D₁ si D₂ ce trec prin O, paralele cu a, respectiv cu b. Daca descompunem pe v dupa regula paralelogramului, obtinem vectorii v₁ si v₂ dirijati dupa D₁ si D₂:

v₁ = λa, v₂ = μb,

deci

v = v₁ + v₂ = λa + μb.

Vectorii v₁ si v₂ se numesc componentele vectorului v dupa directiile a si b.

Teorema. Numerele λ si μ sunt unice.

Demonstratie. Sa presupunem ca mai exista doua numere λ', μ' si v=λ'a+μ'b. Prin scadere obtinem

= (λ' - λ)a + (μ' - μ)b.

Vectorii a si b nefiind coliniari, rezulta λ = λ', μ = μ', q.e.d.

Teorema. Trei vectori v₁, v₂, v₃ coplanari sunt liniar dependenti si reciproc.

Demonstratie. Vectorii fiind coplanari, putem scrie

v₁ = λv₂ + v₃, v₁ - (λv₂ + μv₃) = 0,

deci vectorii sunt liniar dependenti. Reciproc, daca λ₁v₁ + λ₂v₂ + λ₃v₃ = 0 si λ₁≠0, putem scrie

,

deci v₁ se gaseste in planul vectorilor v₂ si v₃.

2.2.3. Protectia unui vector pe o directie. Sa consideram un vector si o directie pe care o luam axa Ox, de versor i. Proiectia vectorului v este scalarul p definit de relatia

pr v = p = |v|·cosφ,

unde φ este unghiul facut de v cu axa Ox, φ[0,π).

Teorema. Proiectia unui contur inchis de vectori este nula.

Demonstratie. Avem v₁ + v₂ + + v_p = 0, deci

v₁ = - (v₂ + v₃ + + v_p) sau v₂ + v₃ + + v_p = - v₁,

pr v = |v₁| cosφ, pr(-v₁) = |v₁|cos(π - φ), |v₁| [cosφ + cos(π - φ)] = 0,

q.e.d. deoarece suma proiectiilor a doi vectori egali si de semn contrar este nula.
2.3. VECTORI IN SPATIUL R³

2.3.1. Vectori in R³. In spatiul cu trei dimensiuni sa consideram un triedru tridreptunghic Oxyz, o dreapta D si un vector liber paralel cu D, pe care il identificam cu un segment orientat AB, de marime |AB|, directia paralela cu D si sens de la A la B. Fie v^* un vector legat echipolent cu v de origine O; deci v^* are aceeasi marime, directie si sens cu v si punctul de aplicatie in O. Proiectiile lui v^* pe Ox, Oy si respectiv Oz sunt v₁, v₂, v₃ respectiv. Asociem vectorului liber v grupul ordonat de trei numere reale (v₁, v₂, v₃) si scriem v = (v₁, v₂, v₃).

Exemplu. Daca vectorii i, j, k sunt versorii axelor Ox, Oy, Oz, atunci i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1).

Definitii. 1. Suma a doi vectori v = (v₁, v₂, v₃), w = (w₁, w₂, w₃) este un vector definit de

v + w = (v₁ + w₁, v₂ + w₂, v₃ + w₃).

a) Operatia + este comutativa si asociativa:

v + w = w + v, v + (w + s) = (v + w) + s.

b) Exista elementul neutru, vectorul 0 = (0, 0, 0), de marime nula si directie si sens nedefinite astfel incat

v + 0 = 0 + v = v.

c) La orice vector v exista opusul sau -v = (-v₁, -v₂, -v₃), astfel incat

v + (-v) = 0.

2. Daca λ este un scalar (numar), este definita operatia de inmultire cu scalari

λv = vλ = (λv₁, λv₂, λv₃)

cu proprietatile:

a') λ(μv) = (λμ)v, c') λ(v + w) = λv + λw,

b') (λ + μ)v = λv + μv, d') λv = vλ.

Observatii. 1) Spunem ca multimea V a vectorilor din spatiu formeaza un spatiu vectorial.

2) Insumarea a doi vectori se face dupa regula paralelogramului, iar a trei vectori dupa regula paralelipipedului.

3) Un vector v se descompune in mod unic dupa trei directii necoplanare.

4) Daca consideram trei trei axe trirectangulare Ox, Oy, Oz si i, j, k versori pe aceste axe, atunci

v = v₁i + v₂j + v₃k,

v₁, v₂, v₃ fiind proiectiile vectorului v pe cele trei axe.

Teorema. Patru vectori in spatiul tridimensional sunt liniar dependenti.

Demonstratia este la fel ca in cazul plan. Sa notam multimea vectorilor din spatiu cu L₃.

2.3.2. Vector de pozitie. Sa consideram trei axe trirectangulare Ox, Oy, Oz de versori i, j, k si M un punct din spatiu de coordonate (x, y, z).

Definitie. Vectorul legat r = ix + jy + kz de origine O si extremitate M se numeste vectorul de pozitie al punctului M. Fata de un sistem de axe dat la orice punct M ≠ 0 corespunde un vector de pozitie si reciproc.

Exemplu. Vectorul de pozitie al punctului (1, 2, 3) este r = i + 2j + 3k.

2.4. OPERATII CU VECTORI

2.4.1. Produs scalar. Se considera doi vectori v = (v₁, v₂, v₃) si w = (w₁, w₂, w₃) raportati la un sistem trirectangular de axe Ox, Oy, Oz, care fac intre ele unghiul 0 ≤ φ < π.

Definitie. Produsul scalar a doi vectori v, w este aplicatia (L₃×L₃)→R definita de

= |v| · |w| cos φ.

Teorema. Produsul scalar are proprietatile:

1′) este comutativ,

2′) este distributiv fata de adunare,

3′) avem egalitatea

= v₁w₁ + v₂w₂ + v₃w₃.

Demonstratie. Din (1) rezulta imediat ca < v, w > = < w, v >. Pentru (2′) trebuie sa aratam ca

u, v + w = u, w + u, w.

Din definitie rezulta ca produsul scalar este proiectia segmentului orientat, atasat lui u pe directia lui v. Avem pr w_u = OA, pr v_u = OB, pr_u(v + w) = OC, dar OA=BC, deci OA + OB = OC.

3′) Fata de un sistem trirectangular de versori i, j, k, avem

v = iv₁ + jv₂ + kv₃,

w = jw₁ + jw₂ + kw₃.

Vectorii i, j, k fiind ortonormali, au proprietatile:

i , j = 0, j , k = 0,

k , j = 0, i , i = 1,

j , j = 1, k , k = 1;

daca tinem seama acum de aceste relatii si de faptul ca produsul scalar este distributiv fata de adunare, rezulta

= iv₁ + jv₂ + kv₃ , iw₁ + jw₂ + kw₃ = v₁w₁ + v₂w₂ + v₃w₃.

Consecinte. 1) Din relatia

|v| · |w| cos φ = v₁w₁ + v₂w₂ +v₃w₃

obtinem pentru v ≠ 0, w ≠ 0 pe

,

care da cosinusul unghiului a doua directii in spatiu.

2) Deoarece sin²φ = 1 - cos²φ, obtinem

sau folosind relatia Schwarz - Buneakovski,

3) Daca produsul scalar este nul, atunci sau unul din vectorii v, w este nul sau cosφ = 0, deci φ = π/2.

Teorema. Doi vectori v, w nenuli sunt perpendiculari daca si numai daca

v₁w₁ + v₂w₂ + v₃w₃ = 0.

Demonstratia rezulta din consecinta 3.

Exercitii. 1. Sa se calculeze unghiul format de vectorii v = (1, 1, -1), w = (-1, 1, 1).

Avem , .

Sa se determine α astfel incat vectorii v = (2, 3, 1), w = (α, 1, 2) sa fie ortogonali. Trebuie sa avem = 2α + 1·3 + 1·2 = 0, α = -5/2.

2.4.2. Produsul vectorial a doi vectori. Sa consideram doi vectori v, w nenuli si necoliniari. Cu v si w ca laturi se poate construi un paralelogram de arie |v| · |w| · sin φ, unde φ este unghiul celor doi vectori.

Definitie. Se numeste produs vectorial al vectorilor v, w, in aceasta ordine, aplicatia lui (L₃×L₃) in L₃, definita de

d = v × w,

unde d este un vector de marime |d| = |v| · |w| · sin φ, dirijat dupa normala la planul determinat de v si w, cu sensul astfel incat triedrul (v, w, d) este direct.

Produsul vectorial a doi vectori are proprietati pe care le dam in urmatoarea

Teorema. 1. Produsul vectorial este anticomutativ, adica

v × w = -w × v.

2. Produsul vectorial este distributiv fata de operatia de adunare a vectorilor.

3. Produsul vectorial este asociativ fata de inmultire cu un scalar.

4. Avem egalitatea

.

Demonstratie. 1. Prima proprietate rezulta din definitie, w × v are aceeasi marime, aceeasi directie si sens opus cu v × w.

2. Sa aratam ca

u × (v + w) = u × v + u × w.

Avem

u × v = u × v′, u × w = u × w′, u × (v + w) = u × (v′ + w′).

Daca consideram produsele u × v′, u × w′ si u × (v′ + w′), deoarece uv′, uw′, u(v′ + w′), urmeaza ca avem o insumare in planul (v, w) a doi vectori v, w inmultiti cu scalarul |u|, deci

u × (v′ + w′) = u × v′ + u × w′,

care da imediat u × (v + w) = u × v + u × w.

3. Rezulta din definitie.

4. Avem i × i = 0, i × j = k, j × j = 0, j × k = i, k × k = 0, k × i = j,

si daca tinem seama de faptul ca produsul vectorial este distributiv, obtinem

(iv₁ + jv₂ + kv₃) × (iw₁ + jw₂ + kw₃) =

= i(v₂w₃ - v₃w₂) + j(v₃w₁ - v₁w₃) + k(v₁w₂ - v₂w₁), sau

. (1′)

Observatii. 1) Daca vectorii v, w sunt paraleli, atunci sin φ = 0 si produsul vectorial este nul si reciproc, daca v ≠ 0, w ≠ 0.

2) Din expresia (1′) se pot obtine toate proprietatile amintite.

3) Avem .

4) Din (1′) rezulta ca | v × w | este aria paralelogramului construit cu v si w ca laturi.

Exercitiu. Sa se calculeze aria paralelogramului construit cu vectorii a = i + j + 3k, b = i + 2j - k. Avem

Aria paralelogramului dat este | a × b | = .

2.4.3. Produse de trei vectori. Fie vectorii v, w si produsul lor scalar si vctorial v, w, v × w. Daca mai consideram un vector u oarecare, sunt permise urmatoarele operatii:

u · v, w; u · (v × w); u × (v × w).

a) Vectorul u ·v, w are marimea |u| · |v, w| si este dirijat dupa vectorul u.

Privitor al celelalte doua produse enuntam urmatoarea

Teorema. 1) Produsul mixt u ·v, w reprezinta volumul prismei de laturi |u|, |v|, |w|, dirijate dupa u, v, w.

2) Expresia carteziana a produsului mixt este

. (2′)

Demonstratie. 1. u · (v × w) = |u| |v × w| ·cos φ, insa |u| cos φ este proiectia vectorului u pe normala la planul (v, w), iar |v × w| este aria paralelogramului definit de v si w.

2. Daca efectuam produsul scalar

,

obtinem expresia din enunt.

Observatii. 1) Expresia (2′) arata ca

u · (v × w) = w · (u × v) = v · (w × u) = (u, v, w),

adica o permutare ciclica nu schimba valoarea produsului mixt.

2) Produsul mixt este nul daca si numai daca cei trei vectori nenuli sunt coplanari, adica sunt liniar dependenti.

Exercitiu. Sa se determine α astfel incat vectorii

u = i + αj + 2k, v = 2i + j + k, w = 3i - j + 4k

sa fie coplanari.

Trebuie sa avem

, α = -1.

Teorema. Dublul produs vectorial u × (v × w) reprezinta un vector in planul (v, w) si avem egalitatea

u × (v × w) = u, w· v -u, v· w.   (3′)

Demonstratie

,

care dezvoltat da expresia (3′), q.e.d.

Aplicatii. Fie u, v, w trei vectori nenuli si necoplanari. Vectorii u^*, v^*, w^* care verifica relatiile

u^* , u = 1, u^* , v = 0, u^* , w = 0,

v^* , v = 1, v^* , w = 0, v^* , w = 0,

w^* , w = 1, w^* , u = 0, w^* , v = 0,

se numesc vectorii reciproci vectorilor u, v, w.

a)      Vectorii reciproci au urmatoarele expresii:

, ,

si se verifica imediat ca satisfac conditiile de definitie.

b) Avem (u^*)^* = u, (v^*)^* = v, (w^*)^* = w, adica reciprocii reciprocilor sunt vectorii initiali.

c) Vectorii reciproci permit extrem de comod sa obtinem componentele unui vector. Fie vectorul

u = λa + μb + νc.

Daca a^*, b^*, c^* sunt vectorii reciproci, obtinem imediat

= u, a^*, μ = u, b^*, ν = u, c^*,

sau

, ,

Exercitiu. Sa se arate ca avem relatiile

a)      a + b + c, a^* + b^* + c^* = 3,

b)      a × a* + b × b* + c × c* = 0.

c)      Oricare ar fi vectorii a, b, c, avem relatia

.

3. Dreapta si planul

3.1. DIRECTIE. DISTANTA IN R²

3.1.1. Directie; vector director. In planul P, o dreapta D data defineste o directie. Orice dreapta D′ paralela cu D are aceeasi directie. Un vector liber v paralel cu D este un vector director al directiei D. O directie este definita daca sunt date proiectiile unui vector director v pe un sistem de axe din P.

Definitie. Un grup ordonat de doua numere (p, q) defineste o directie in plan.

Daca vectorul v director este un versor, se numeste versor director iar proiectiile sale (α, β) sunt cosinusuri directoare ai directiei; avem relatia

Observatie. O directie are o infinitate de parametri directori (λp, λq) si doua perechi de cosinusuri directoare:

si .

Daca pe o directie alegem si un sens, atunci ii corespunde la directia orientata o singura pereche de cosinusuri directoare:

;

sensul opus pe directie este definit de

.

Axele de coordonat Ox si Oy au cosinusurile directoare (1, 0) si (0, 1) respectiv.

3.1.2. Coeficient unghiular. Fie o directie D definita de (p, q).

Definitie. Se numeste coeficientul unghiular sau panta directiei D numarul

, α = cos θ, β = sin θ;

θ este unghiul pe are il face directia orientata D cu axa Ox.

3.1.3. Unghiul a doua directii. Fie doua directii D₁ si D₂ definite de vectorii v(v₁, v₂) si w(w₁, w₂); conform unui rezultat obtinut la 2.4, avem in cazul plan

.

Consecinte. 1) Directiile sunt paralele daca

,

adica vectorii v, w sunt paraleli.

2) Directiile sunt perpendiculare daca

v₁w₁ + v₂w₂ = 0;

daca introducem pantele, obtinem

sau , sau m₁m₂ + 1 = 0,

unde m₁ este panta lui D₁ si m₂ este panta lui D₂.

Reciproca este de asemenea adevarata.

Tangenta unghiului a doua directii de pante m₁, m₂ este data de

tg θ = . (1)

Intr-adevar, daca θ₁ este unghiul facut de directia orientata D₁ si θ₂ unghiul facut de directia orientata D₂ cu axa Ox, avem

de unde rezulta imediat formula (1).

3.1.4. Distanta a doua puncte in plan. Fie M₁(x₁, y₁), M₂(x₂, y₂) doua puncte in plan. Proiectia segmentului pe axa Ox este x₂ - x₁ si pe Oy, y₂ - y₁. Aplicand teorema lui Pitagora, obtinem

.

Exercitiu. Sa se gaseasca unghiul format de directiile determinate de vectorii v1(1, -1), v2(-1, 1). Avem

, θ = 180

3.1.5. Biraport armonic. Fie M₁, M₂ doua puncte, care determina o dreapta D. Fie M si M^* alte doua puncte pe dreapta D si fie λ=, μ=.

Teorema. Punctele (M₁, M₂; M, M^*) determina o diviziune armonica pe dreapta D, daca λ + μ = 0.

Demonstratie. Relatia λ + μ = 0 da λ / μ = -1 sau

,

care este definitia diviziunii armonice, q.e.d.

Exercitiu. Sa se gaseasca unghiul format din directiile determinate de vectorii v₁(1, -1), v₂(-1, 1). Avem

, θ = 180˚

3.2. DREAPTA IN PLAN

3.2.1. Ecuatia vectoriala a dreptei in plan. Fie M₁, M₂ doua puncte in plan si M un punct curent pe dreapta determinata de M₁ si M₂. Fie

r₁ = x₁i + y₁j, r₂ = x₂i + y₂j, r = xi + yj,

vectorii de pozitie ai punctelor M₁, M₂, M.

Teorema. Ecuatia vectoriala a dreptei determinate de M₁ si M₂ este

r = r₁ + λ(r₂ - r₁).  (1)

Demonstratie. Relatia se mai scrie MM₁ + λM₁M₂ = 0 care exprima ca vectorii MM₁ si M₁M₂ sunt coliniari.

Exercitiu. Sa se scrie ecuatia vectorial dreptei determinate de punctele M₁(1, 2), M₂(6, 7).

Vectorii de pozitie ai punctelor M₁ si M₂ sunt

r₁ = i + 2j,   r₂ = 6i + 7j.

deci ecuatia vectoriala a dreptei M₁M₂ este

r = i + 2j + λ(5i + 5j).

Teorema. Ecuatiile parametric ale dreptei ce trece prin punctele M₁, M₂ sunt

x = x₁ + λ(x₂ - x₁),   y = y₁ + λ(y₂ - y₁). (2)

Demonstratie. Se obtine din (1) prin proiectie pe cele doua axe de coordonate.

Exercitiu. Sa se scrie ecuatiile parametrice ale dreptei ce trece prin punctul M₁(2, 3), M₂(4, 6). Dreapta are ecuatiile parametrice

(D) x = 2 + λ(4 - 2) = 2 + 2λ,  y = 3 + λ(6 - 3)=3 + 3λ.

Teorema. Ecuatia carteziana a dreptei ce trece prin punctele M₁, M₂ este

sau (3)

Demonstratie. Din (2) obtinem

, ;

eliminand pe λ, obtinem (3).

Exercitiu. Sa se scrie ecuatia dreptei ce trece prin punctele M₁(1, 2), M₂(7, 8). Sub forma de determinant ecuatia dreptei M₁M₂ este

sau -6x + 6y - 6 = 0.

Completari. a) Daca luam pentru M₁ punctul (a, 0) si pentru M₂ punctul (0, b), ecuatia (3) se scrie

si se numeste ecuatia dreptei prin taieturi.

b) Daca vectorul M₁M₂ il inlocuim cu un vector oarecare v = (a, b), ecuatia (1) se scrie

r = r₀ + λv,  (1′)

unde r₀ este vectorul unui punct de pe dreapta; ecuatiile (2) se scriu in acest caz

x = x₀ + λa, y = y₀ + λb. (2′)

c) Daca v este un versor, deci de componente (cos α, sin α), unde α este unghiul facut de v cu axa Ox, sistemul (2′) se scrie

sau , (2′′)

sau y - y₀ = m(x - x₀). (2′′′)

Teorema. Ecuatia carteziana a dreptei ce trece prin punctul (x₀, y₀) si are panta m este

y = y₀ + m(x - x₀).

Demonstratia rezulta din (2′′′).

3.2.2. Ecuatia normala a dreptei. Ecuatiile unei drepte determinate de doua puncte sau de un punct si o directie sunt obtinute. Sa consideram acum o dreapta D; perpendiculara din originea O pe D intalneste dreapta in P. Unghiul pe care il face aceasta perpendiculara cu axa Ox este α. Daca M este un punct curent pe dreapta, de coordonate (x, y), si p segmentul OP, atunci

(x - p cos α) cos α + (y - p sin α) sin α = 0 (1)

deoarece vectorul PM = (x - p cos α, y - p sin α) si versorul lui OP, anume  u = (cos α, sin α) sunt perpendiculari, deci produsul lor scalar este nul. Ecuatia (1) se mai scrie

x cos α + y sin α - p = 0

si se numeste ecuatia normala a dreptei D.

Exercitiu. Sa se scrie ecuatia normala a dreptei x - y + 8 = 0.

Avem , deci ecuatia normala a dreptei este

,

cos θ = , sin θ = - , p = , deci θ = 7π/4.

3.2.3. Ecuatia generala a dreptei. Teorema. Orice ecuatie de forma

Ax + By + C = 0

intr-un sistem de coordonate dat reprezinta o dreapta.

Demonstratie. Se observa ca toate ecuatiile obtinute sunt de aceasta forma. Reciproc putem scrie

,

adica ecuatia prin taieturi a dreptei ce trece prin punctele (-C/A, 0) si (0, -B/A). Daca o scriem sub forma

,

rezulta ca (-A/B) este coeficientul unghiular si (-C/B) ordonata la origine. Rezulta ca ecuatia unei drepte oarecare se scrie astfel:

y = mx + n.

3.2.4. Coordonatele unui punct care imparte un segment intr-un raport dat. Fie o dreapta D, doua puncte M₁(x₁, y₁), M₂(x₂, y₂) pe dreapta si un punct M(x, y) pe dreapta care imparte segmentul intr-un raport dat λ, deci

.

Daca r, r₁, r₂ sunt vectorii de pozitie ai lui M, M₁ si M₂, avem relatia

r - r₁ = λ(r₂ - r) sau .

Teorema. Coordonatele punctului M(x, y), care imparte segmentul cu M₁(x₁, y₁), M₂(x₂, y₂) in raportul , sunt

, ,

3.2.5. Ecuatia unei drepte in coordonate omogene. Teorema. Ecuatia generala a dreptei

Ax + By + C = 0 (1′)

in coordonate omogene are expresia

AX + BY + CZ = 0. (2′)

Demonstratia se obtine din (1′) punand x = X/Z, y = Y/Z.

Observatie. Punctul de la infinit al dreptei are Z = 0, deci coordonatele omogene ale punctului de la infinit sunt (1, -A/B, 0).

3.3. DREAPTA IN SPATIU

3.3.1. Ecuatia dreptei D ce trece printr-un punct M₀(x₀, y₀, z₀) si este paralela cu o directie D^*. Fie r₀ = ix₀ + jy₀ + kz₀ vectorul de pozitie al punctului M₀ fata de un sistem de axe Oxyz si v = (l, m, n) vectorul director al directiei D^*.

Teorema. 1. Ecuatia vectoriala a dreptei D ce trece prin M₀ si este paralela cu D^* este

r = r₀ + λv.  (1′)

2. Ecuatiile parametrice ale dreptei D sunt

x = x₀ + λl, y = y₀ + λm, z = z₀ + λn. (2′)

3. Ecuatiile carteziene ale dreptei D sunt

(3′)

Demonstratie. 1. Obtinem r = r₀ + λv.

2. Daca r = ix + jy + kz, v = il + jm + kn, obtinem, egaland componentele lui i, j, k.

3. Se obtine eliminand parametrul λ in (2).

Completari. 1. Daca v este definit de segmentul orientat M₁M₂ = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁), ecuatiile (1′), (2′) si (3′) se scriu respectiv

r = r₀ + λ(r₂ - r₁), (1′′)

(2′′)

. (3′′)

Se poate lua M₀ = M₁ sau M₀ = M₂.

2. Numerele l, m, n se numesc parametri directori ai dreptei D.

Exercitiu. Sa se scrie ecuatia dreptei D ce trece prin punctul (1, 2, 3) si este paralela cu vectorul v(2, 3, 5).

a) Ecuatia vectoriala este

r = i + 2j + 3k + λ(2i + 3j + 5k), λR,

sau

r = i(1 + 2λ) + j(2 + 3λ) + k(3 +5λ), λR.

b) Ecuatiile parametrice ale dreptei D sunt

x = 1 + 2λ, y = 2 + 3λ, z = 3 + 5λ, λR.

c) Ecuatiile carteziene sunt

3.3.2. Unghiul a doua drepte in spatiu este unghiul directiilor lor, deci, daca D₁ are parametrii directori (l₁, m₁, n₁), iar D₂ are parametrii directori (l₂, m₂, n₂), atunci

dreptele sunt perpendiculare daca

l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = 0,

si paralele daca

si reciproc.

3.3.3. Volumul tetraedrului. Fie segmentele orientate M₀M₁, M₀M₂, M₀M₃, pe care le consideram muchiile unui paralelipiped. Volumul paralelipipedului este dat de produsul mixt

(1)

Teorema. Volumul tetraedrului de varfuri M₀, M₁, M₂, M₃ este dat de

Demonstratie. Observam ca (1) se scrie astfel:

si ca volumul tetraedrului este o sesime din acest volum.

3.3.4. Distanta a doua drepte in spatiu. Fie dreptele

(D₁) , (D₂) .

Sa notam v₁ = (l₁, m₁, n₁), v₂ = (l₂, m₂, n₂), M₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂).

Volumul prismei de laturi v₁, v₂ si M₁M₂ este data de produsul mixt si este egal cu aria paralelogramului definit de v₁ si v₂, inmultita cu distanta d(D₁, D₂) dintre cele doua puncte; din egalitate

d · |v₁ × v₂| = (r₂ - r₁, v₁, v₂)

rezulta .

4. Planul

4.1. ECUATII ALE PLANULUI

4.1.1. Ecuatia vectoriala a planului. Sa consideram in spatiu un sistem cartezian trirectangular de axe Ox, Oy, Oz, avand versorii i j k, respectiv. Fie M₀(x₀, y₀, z₀) un punct si v = (A, B, C) un vector liber.

Teorema. 1. Ecuatia vectoriala a planului ce trece prin punctul M₀ de vector de pozitie r₀ perpendicular pe vectorul v este

. (1′)

2. Ecuatia carteziana a planului cec trece prin punctul M₀ perpendicular pe directia definita de vector (A, B, C), este

(P₀)  A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0. (2′)

Demonstratie. 1. Daca M(x, y, z) de vector de pozitie r este un punct oarecare din plan, avem relatia

sau .

2. Daca scriem

r ix jy kz r₀ ix₀ jy₀ kz₀ v = Ai + Bj + Ck

obtinem ecuatia (2′).

Completari. 1) Ecuatia tuturor planelor care trec prin origine este  Ax + By + Cz = 0.

2) Orice dreapta paralela cu v este normala la planul P₀; in particular, dreapta

se numeste normala la planul P₀ in punctul M₀.

3) Numerele (A, B, C) se numesc parametri directori ai planului P₀. Doua plane sunt paralele daca si numai daca au parametrii directori proportionali.

Exemplu. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin punctul (1, 2, 3) si este perpendicular pe vectorul v(2, 3, 5). Ecuatia planului cerut este

2(x - 1) +3(y - 2) + 5(z - 3) = 0 sau 2x + 3y + 5z = 23.

Ecuatiile normalei la plan in punctul (2, 3, 5) sunt

.

4.1.2. Unghiul a doua plane. Acesta este unghiul normalelor, deci daca (A, B, C) si (A′, B′, C′) sunt parametri directori a doua plane P, P′, avem

. (3′)

Doua plane sunt perpendiculare daca si numai daca

AA′ + BB′ + CC′ = 0.

4.1.3. Ecuatia generala a planului. Teorema. O ecuatie de forma

Ax + By + Cz + D = 0, A² + B² + C² ≠ 0, (4′)

reprezinta fata de un sistem de axe Ox, Oy, Oz trirectangulare un plan.

Demonstratie. Ecuatia unui plan ce trece printr-un punct si este paralel cu directia (A, B, C) conform lui (2′) este

Ax + By + Cz = Ax₀ + By₀ + Cz₀.

deci  -D = Ax₀ + By₀ + Cz₀.

Reciproc, fie x₁, y₁, doua valori care, inlocuite in ecuatia din enunt, determina pe z₁ care verifica ecuatia (4′):

Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D = 0.

In mod asemanator determinam trei numere (x₂, y₂, z₂) care verifica ecuatia (4′): Ax₂ + By₂ + Cz₂ + D = 0.

Am obtinut astfel doua puncte M₁(x₁, y₁, z₁) si M₂(x₂, y₂, z₂) care verifica ecuatia (4′). Pentru ca ecuatia sa reprezinte un plan trebuie ca orice punct de pe dreapta M₁M₂, anume

, , , λ ≠ -1

sa verifice ecuatia (4). Inlocuind, avem cu λ ≠ -1, (Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D) +

+ λ(Ax₂ + By₂ + Cz₂ + D) = 0, care este verificata pentru orice λ ≠ -1.

Completari. 1) Ecuatiile planelor de coordonate sunt

Oyz x = 0; Oxz: y = 0; Oxy: z = 0.

2) Doua plane

Ax + By + Cz + D = 0, A′x + B′y + C′z + D′ = 0

sunt identice daca si numai daca

.

3) Doua plane sunt paralele daca si numai daca

.

4) Ecuatiile planelor paralele cu planele de coordonate sunt:

cu planul xOy: Cz + D = 0,

cu planul yOz: Ax + D = 0,

cu planul zOx: By + D = 0.

4.1.4. Ecuatia planului ce trece printr-un punct M si este paralel cu doua directii determinate de vectorii v₁ si v₂. Sa consideram punctul M₀ de vector de pozitie r₀ si vectorii echipolenti de origine M₀, anume vectorul M₀M₁, echipolent cu v₁ si de extremitate M₁(x₁, y₁, z₁) si vectorul M₀M₂ echipolent cu v₂ de extremitate M₂(x₂, y₂, z₂). Avem

v₁ = M₀M₁ = r₁ - r₀, v₂ = M₀M₂ = r₂ - r₀.

Teorema. 1. Ecuatia vectoriala a planului P ce trece prin M₀ si este paralel cu directiile v₁ si v₂ este

(r - r₀, r₂ - r₀, r₁ - r₀) = 0,

unde r este vectorul de pozitie ala unui punct M(x, y, z) oarecare din plan.

2. Ecuatia carteziana a planului P ce trece prin trei puncte M₀, M₁, M₂ este

Demonstratie. 1. Daca M este un punct din plan de vector de pozitie r = ix + jy + kz, atunci M₀M = r - r₀, M₀M₁ = r₁ - r₀, M₀M₂ = r₂ - r₀ si faptul ca sunt coplanari se scrie ca produsul lor mixt este nul:

(r - r₀, r₁ - r₀, r₂ - r₀) = 0.

2. Produsul mixt se scrie

.

Completari. 1) Planul astfel determinat este perpendicular pe vectorul v₁ × v₂, deci daca v₁ = (l₁, m₁, n₁), v₂ = (l₂, m₂, n₂), normala la planul P este

.

2) Prin urmare, ecuatia planului P mai are si forma

A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0,

unde   .

3) In fine, sa mai observam ca ecuatia planului P este data de produsul mixt

(r - r₀, v₁, v₂) = 0.

Daca v₁ = (p₁, q₁, r₁), v₂ = (p₂, q₂, r₂), atunci forma carteziana este

.

Exemplu. Ecuatia planului ce trece prin punctul (1, 1, 1) paralel cu dreptele

(D₁) , (D₂) ,

este .

4.1.5. Ecuatia normala a planului. Sa consideram un vector v cu originea in O si cosinusuri directoare (cos α, cos β, cos γ)

v = (p cos α, p cos β, p cos γ), | v | = p,

si P extremitatea sa. Daca M(x, y, z) este un punct curent pe planul π, perpendicular pe v in P, avem urmatoarea

Teorema. Ecuatia planului perpendicular pe v in P este

x cos α + y cos β + z cos γ - p = 0. (1)

Demonstratie. Avem , insa

MP = r - v = (x - p cos α)i + (y - p cos β)j + (z - p cos γ)k,

deci 

sau x cos α + y cos β + z cos γ - p = 0

Completari. Ecuatia unui plan

Ax + By + Cz + D = 0

se scrie sub forma normala impartind-o cu , deci

cos α = , cos β =

cos γ = , -p =

4.1.6. Distanta de la un punct la un plan. Teorema. Distanta de la un punct M₀(x₀, y₀, z₀) la un plan este data de

d = | x₀ cos α + y₀ cos β + z₀ cos γ - p |,  (1′)

daca planul este dat prin ecuatia normala, si de

, (2′)

daca planul este dat prin ecuatia generala.

Demonstratie. Daca scriem ecuatia normala a planului in functie de distanta d + p la origine, avem

d + p - x cos α - y cos β - z cos γ = 0,

verificata de punctul (x₀, y₀, z₀), deci

d + p = x₀ cos α + y₀ cos β + z₀ cos γ

sau d = | x₀ cos α + y₀ cos β + z₀ cos γ - p |.

Forma (2′) se obtine prin normalizare.

Aplicatie. Sa se scrie ecuatiile planelor bisectoare ale diedrului format de doua plane:

(P₁) A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0, (P₂) A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0,

Planele bisectoare sunt locul geometric al punctelor egal departate de cele doua plane, deci ecuatiile celor doua plane bisectoare la planele date sunt

.

4.2. DREAPTA SI PLANUL IN SPATIU

4.2.1. Fascicole de plane. Sa consideram doua plane

(P₁) A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0, (P₂) A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0,

acestea pot fi identice, paralele sau oarecare cand intersectia lor este o dreapta D.

Teorema. 1. Daca matricea M = este de rang doi, cele doua plane se intersecteaza dupa o dreapta D, definita de sistemul P₁ = 0, P₂ = 0.

2. Daca matricea M este de rang 1, iar matricea

M′

este de rang doi, cele doua plane sunt paralele.

3. Daca matricea M′ este de rang 1, cele doua plane sunt confundate.

Demonstratia rezulta din teorema lui Rouché.

Multimea planelor definite de relatia

P₁ + λP₂ = 0, λR,

se numeste fascicol liniar de plane; daca P₁ si P₂ nu sunt paralele sau confundate, atunci au in comun dreapta P₁ = 0, P₂ = 0.

Sa consideram trei plane P₁, P₂, P₃ de ecuatie

A_ix + B_iy + C_iz + D_i = 0, i = 1, 2, 3. (1′)

Teorema. 1. Daca matricele

M = , M' =

au acelasi rang trei, planele au un punct comun.

2. Daca matricea M este de rang doi si toti determinantii caracteristici sunt nuli, deci M si M′ au acelasi rang 2, cele trei plane au o dreapta comuna.

Demonstratia rezulta din teorema lui Rouché. Coordonatele punctului de intersectie in cazul 1 se obtin rezolvand sistemul (1′).

Definitie. Multimea planelor definite de ecuatia

P₁ + λP₂ + μP₃ = 0, λR, μR,

se numeste fascicol punctual de trei plane. In cazul 1 din teorema ele au un punct comun.

In general, patru plane P₁, P₂, P₃, P₄ nu au in comun nici un punct.

Teorema Patru plane de ecuatii

(P_i)  A_ix + B_iy + C_iz + D_i = 0, i = 1, 2, 3, 4,

sunt concurente daca si numai daca

.

Demonstratia rezulta din teorema lui Rouché. Intr-adevar, sistemul

A_ix + B_iy + C_iz + D_i = 0, i = 1, 2, 3, 4,

trebuie sa fie compatibil cu x, y, z, fapt care conduce la conditia din enunt.

Observatii. In general q plane P₁, P₂, , P_q sunt concurente daca matricea 4×q formata cu A_i, B_i, C_i, D_i, este de rang 3.

4.2.2. Intersectia unei drepte cu un plan. Fie planul

(P) A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0

si dreapta D data prin intersectia a doua plane neparalele:

(D)

Teorema. 1. Dreapta D intalneste planul P intr-un punct, daca matricele

M = , M =

au acelasi rang 3.

2. Dreapta D este paralela cu planul P, daca matricea M are rangul doi.

3. Dreapta D se afla in planul P, daca M si M′ au rangul doi, deci

P = P₁ + λP₂, λR.

4.2.3. Unghiul dintre o dreapta si un plan. Se dau planul

(P)  Ax + By + Cz + D = 0

si dreapta

(D) .

Definitie. Unghiul dintre o dreapta si un plan este complementul unghiului facut de dreapta cu normala la plan:

.

Teorema. Unghiul dintre planul P si dreapta D este dat de

sin φ = .

Demonstratia rezulta din definitie: avem cos θ = sin φ.

Exercitii. 1. Sa se calculeze unghiul dintre dreapta x = y = -z si planul z = 0. Avem

l = 1, m = 1, n = -1 si A = 0, B = 0, C = 1,

deci sin φ = , φ = arcsin .

2. Sa se arate ca intr-un tetraedru de varfuri A₁, A₂, A₃, A₄ dreptele care unesc varfurile cu centrele de greutate ale fetelor opuse (deci cu punctul de intalnire al medianelor) sunt concurente.

Sa aratam mai intai ca intr-un triunghi A₁A₂A₃ cu varfurile A_i de vectori de pozitie r_i, i = 1, 2, 3, medianele sunt concurente intr-un punct de vector de pozitie

= (r₁ + r₂ + r₃)/3.

Un punct M situat pe mediana care uneste varful A₁ cu mijlocul A₂A₃ si care imparte mediana in raportul λ are vector de pozitie

ρ₁ = .

Pentru celelalte mediane obtinem succesiv

ρ₂ = , ρ₃ = ;

avem ρ₁ = ρ₂ = ρ₃ pentru λ = μ = ν = 2 si punctul comun are vector de pozitie

= (r₁ + r₂ + r₃)/3.

Punctul de intersectie este centrul de greutate al triunghiului.

Sa consideram acum tetraedrul A₁, A₂, A₃, A₄ cu varfurile A_i de vectori de pozitie r_i, i = 1, 2, 3, 4. Vom presupune punctele A_i necoplanare, deci tetraedrul este nedegenerat. Un punct M de pe segmentul care uneste punctul A₁, de vector de pozitie r₁, cu centrul de greutate al triunghiului A₂A₃A₄ si o imparte in raportul λ are vector de pozitie

ρ₁ = ;

procedand in mod asemanator cu dreptele care unesc varfurile A₂, A₃, A₄ cu centrele de greutate ale fetelor opuse lor, obtinem vectorii de pozitie

,

,

,

ale punctelor care impart segmentele respective in raportul μ, ν, η respectiv. Avem

pentru λ = μ = ν = η = 3;

punctul comun G are vectorul de pozitie

ρ = (r₁ + r₂ + r₃ + r₄) / 4.

Generalizare. Daca consideram n + 1 puncte A₁, A₂, , A_n+1 in Rⁿ, de vectori de pozitie r₁, r₂, , r_n+1, dreptele care unesc punctele A_i respectiv, cu punctele de vector de pozitie

(r₁ + r₂ + + r_i-1 + r_i+1 + + r_n+1) / n, i = 1, 2, , n+1,

sunt concurente in punctul

ρ = (r₁ + r₂ + + r_n+1) / (n+1)

si se arata in acelasi mod.

3. Sa se gaseasca perpendiculara comuna dreptelor

si suprafata generata de aceasta perpendiculara, cand λ variaza.

Deoarece dreapta D₁ este paralela cu Oz, ecuatiile perpendicularei pe dreapta D₁ sunt de forma

(D₃) y - b = μ(x - a), z = k.

Aceasta dreapta trebuie sa fie perpendiculara pe dreapta D₂ si sa o intalneasca.

Parametrii directori ai dreptei D₂ sunt dati de matricea , deci A₂ = 1 - λ, B₂ = 1 + λ, C₂ = -1 - λ². Parametrii directori ai dreptei D₃ sunt dati de matricea, deci A₃ = -1, B₃ = -μ, C₃ = 0, iar conditia de perpendicularitate da

A₂A₃ + B₂B₃ + C₂C₃ = 0, μ = (λ - 1) / ( λ + 1).

Conditia de incidenta intre D₂ si D₃ cere ca sistemul x + λy + z = 0, λx - y - z = 0, y - b = μ(x - a), z = k, sau ca sistemul

μx - y + b - μa = 0, x + λy + k = 0, λx - y - k = 0

sa fie compatibil, deci

.

care da

,

sau, tinand seama de valoarea lui μ,

k = [(a - b)λ - a - b] / 2.

Ecuatiile perpendicularei comune sunt

.

Daca eliminam parametrul λ intre ele, obtinem ecuatia locului cautat

sau (x - y)z + bx + by + z(a - b) = b(a + b), care se mai scrie

[(x - y + z)² - (x - y - z)²] + 4b(x + y) + 4z(a - b) = 4b(a + b),

deci reprezinta un paraboloid hiperbolic.

BIBLIOGRAFIE

1. CRAIU, MARIANA; TOMA, GALINA, Curs de algebra liniara si geometrie, Bucuresti, I. P. B., 1979

2. CRAIU, MARIANA s. a. , Probleme de algebra si geometrie, Bucuresti, I. P. B., 1979

3. CIORANESCU, N., ROSCULET, M., Culegere de probleme de algebra si analiza matematica, Bucuresti, Editura Tehnica, 1959

4. ROSCULET, M., Algebra liniara, geometrie analitica si diferentiala, Bucuresti, Editura Tehnica, 1987

5. UDRISTE, C., Geometrie analitica si diferentiala (probleme), Bucuresti, I. P. B., 1973