Similitudinea - invarianti si criterii de similitudine

SIMILITUDINEA

            Fenomenele naturale sunt dirijate de legi obiective fixe si generale, cunoscute sau inca necunoscute. Daca legea care descrie un fenomen este exprimata printr-o ecuatie matematica, ecuatia aceasta reprezinta MODELUL MATEMATIC al fenomenului.

            Ecuatiile modelului matematic in care se introduc conditiile de univocitate => dau ecuatiile fenomenului particular.

            Nu intotdeauna aceasta cale este utilizabila. Se intampla ca:

ecuatia nu este integrabila;

forma integrala este prea complicata pentru utilizarea practica;

sau nu se cunosc suficient de bine legitatile care guverneaza fenomenul.

            In toate cazurile enuntate trebuie sa se recurga la experimentari. Experimentarile pot fi induse in trei moduri diferite in functie de scop:

1.- studierea unui caz particular si rezultatul este valabil numai in acest caz;

2.- gasirea unei formule empirice, valabila pentru un domeniu restrans de variatie a parametrilor;

3.- se urmareste descoperire legii generale care guverneaza fenomenul si se stabilesc relatii valabile pentru un domeniu mai extins decat cel cercetat pe cale experimentala.

            Al 3-lea caz este un mod stiintific de conducere a experimentarilor si poate duce la relatii care pot fi extrapolate, deoarece ele sunt de fapt expresia legii fundamentale care defineste clasa de fenomene. O astfel de cercetare se poate realiza numai prin respectarea a ceea ce se intelege prin similitudine.

            Similitudinea ca  si analiza dimensionala studiaza metodele prin care se pot deduce si folosi criteriile de similitudine, necesare gasirii mijloacelor de transpunere a rezultatelor obtinute cu ajutorul unui model experimental, la o alta scara.

            Generalizarea rezultatelor este posibila numai pentru fenomene asemenea sau similare.

FENOMENE ASEMENEA = sau similare = acelea in care raportul marimilor caracteristice si similare este constant.

Acest raport este denumit CONSTANTA DE SIMILITUDINE

Fenomenele similare sunt guvernate de aceleasi legi, iar conditiile de univocitate sunt similare.

Ele trebuie sa indeplineasca: - conditiile de similitudine geometrica;

                                              - conditiile de similitudine fizica;

                                              - conditii de similitudine ale conditiilor limita (marginale).

Similitudinea geometrica

 =  = . = C_L = constanta de similitudine a lungimilor

 = ·  = C_L² =  constanta de similitudine geometrica a suprafetelor

 =  ·  ·  = C_L³ = constanta de similitudine geometrica a volumelor

 =  =  =  (Raport constant intre suprafata si volum in procesele de uscare)
Similitudine aproximativa => apare pentru o serie de factori care nu pot fi masurati si reglati ca marime (ex.: asperitatile suprafetelor)

Similitudine fizica = aplicabila fenomenelor sau marimilor fizice de aceeasi natura

Raportul a 2 marimi fizice corespunzatoare a 2 puncte diferite, este constant:

 =  = .=   = C_n

Ex.: Similitudinea de timp (la un fluid in miscare) => punctele asemenea se deplaseaza pe traiectorii geometrice asemenea si parcurg drumuri geometrice asemenea, in intervale de timp al caror raport este constant, adica:

 =  = . = = C_Τ  => denumita si constanta de similitudine dinamica

Similitudinea conditiilor marginale sau la limita inseamna indeplinirea conditiilor amintite in starea initiala si finala a celor doua sisteme, respectiv impune in cele doua stari existenta similitudinii geometrice si fizice.

INVARIANTI SI CRITERII DE SIMILITUDINE

         Daca invariantii de similitudine, care sunt rapoarte nedimensionale sunt rapoarte de marimi de aceeasi natura = SIMPLECSI; iar daca invariantii sunt rapoarte de mai multe marimi, de natura diferita, dar respectand conditia de nedimensionabilitate, se numesc MULTIPLECSI sau CRITERII DE SIMILITUDINE, care sunt de fapt parametrii nedimensionali determinati prin analiza dimensionala, cu ajutorul teoremei π.

         Invariantii de similitudine, indiferent ca sunt simplecsi sau criterii de similitudine, pentru sistemele asemenea trebuie sa aiba aceeasi valoare.

         Deducerea criteriilor de similitudine se realizeaza pe trei cai principale:

pornind de la functiile de forma generala, care caracterizeaza un fenomen si folosind analiza dimensionala cu teorema π;

cu ajutorul ecuatiilor diferentiale, ce descriu fenomenul, aplicand de asemenea, teoremele similitudinii.

         Criteriile de similitudine se noteaza, de obicei, cu numele savantului care a lucrat in domeniul in care se utilizeaza criteriul respectiv.

Exemple:

         Ne =                                                Fr =

(Newton)                                                              (Froud)

 Nu =                                                                 Le =   ;  =       

(Nusselt)                                                                 (Lewis)

Pr =  =                                                       Re =  ; =

(Prandtl)                                                              (Reynolds)

Eu =   ( Euler).

 λ = coeficient de conductibilitate termica in W/m K;

ρ = densitate in Kg/m³ ;

a = difuzivitatea termica in m²/s;

D = constanta de difuziune in m²/s;

υ = vascozitate cinematica in m²/s;

η = vascozitate dinamica in Pa s;

w = viteza de deplasare a fluidului in m/s;

l = lungimea conductei in m;

= diferenta de presiune, in Pa;

c_p = caldura specifica la presiune constanta in J/Kg grd.

TEOREMELE SIMILITUDINII

Similitudinea si aplicarea ei practica se bazeaza pe trei teoreme:

TEOREMA 1 (formulata de Newton) = fenomenele asemenea au aceleasi criterii de similitudine si criteriile de similitudine au aceeasi valoare.

TEOREMA 2 (formulata de Buckingham) = permite transformarea ecuatiilor diferentiale in ecuatii criteriale, ceea ce de fapt da posibilitatea reprezentarii solutiei integrale a ecuatiilor diferentiale printr-o relatie de criterii de similitudine.

Enuntul: orice functie care caracterizeaza un fenomen oarecare poate fi reprezentata ca functie de criterii de similitudine.

TEOREMA 3 (formulta de Kirpicev - Guhman): pentru ca doua fenomene sa fie asemenea este necesar si suficient ca ele sa fie calitativ identice, iar criteriile de similitudine determinante, corespunzatoare, sa aiba aceeasi valoare numerica.

            Pentru ca fenomenele sa fie calitativ identice, trebuie sa fie descrise de relatii matematice care coincid, exceptand constantele din relatii.

Criteriile de similitudine - determinante (sunt cele care includ conditiile de univocitate)

                                        - nedeterminante

MODELARE SI MODELE

            Fenomenele pot fi studiate atat teoretic cat si experimental. Experimentarile pot fi efectuate pe utilaje in marime naturala, dar conducerea aceasta este costisitoare si uneori imposibila.

            In laborator, este mult mai comod ca studiul experimental sa fie realizat pe instalatii mici, realizate special pentru experimentare. Deoarece experimentarile pe aceste aparate trebuie sa conduca la aceleasi rezultate si in aparatele industriale, ele sunt numite MODELE.

            Drumul de urmat in modelare si studiul pe modele este urmatorul:

1. Analiza teoretica a fenomenului sau procesului studiat, stabilindu-se ecuatiile matematice care descriu fenomenul respectiv, fie ca ecuatie diferentiala integrabila, fie ca o functie de forma cea mai generala, de parametrii si transformarea lui in ecuatie criteriala. Aceasta se face prin aplicarea teoremei a 2-a a similitudinii sau prin analiza dimensionala (teorema π). Urmeaza analiza criteriilor de similitudine de care depinde fenomenul sau procesul studiat si stabilirea criteriilor determinante.
2. Stabilirea conditiilor de similitudine care trebuie respectate intre utilajul industrial si modelul de laborator si a conditiilor de constructie si conducere a experientelor cu modelul.

Trebuie observat ca este necesara respectarea teoremei 1 a similitudinii care cere ca fenomenele realizate cu cele 2 utilaje (industrial si model) sa aiba aceleasi criterii de similitudine si criteriile de similitudine sa aiba aceeasi valoare. Pentru aceasta, trebuie sa se indeplineasca urmatoarele conditii:

Fenomenele care au loc in cele doua instalatii trebuie sa fie de aceeasi natura.

Ex.: convectie fortata la realizarea transferului de caldura si pe model si pe utilajul industrial; de asemenea este important de utilizat aceeasi faza.

• Conditiile la limita intre cele 2 instalatii trebuie sa fie identice, in afara valorilor numerice ale constantelor, care pot fi diferite.
• Ideal este sa se realizeze intre model si utilajul industrial atat constructie cat si la realizarea fenomenului; o similitudine completa, care se caracterizeaza prin pastrarea valorilor numeric constante pentru toate criteriile care intervin. In practica, este forate greu de obtinut similitudinea  completa. Se utilizeaza asa zisa similitudine aproximativa, prin care se pun o serie de conditii simplificatoare.

Ex.: transferul de caldura pe utilajul industrial, se realizeaza printr-o miscare neizoterma a fluidului, dar pe model se considera ca este izoterma. In unele cazuri, este necesar sa se tina seama si de eroarea care se produce prin aproximare.

In cazul fenomenelor determinate de mai multe criterii de similitudine este necesar sa se analizeze care sunt criteriile determinante, pentru care, conform teoremei a 3-a a similitudinii, exista obligativitatea sa se respecte egalitatea valorilor criteriilor intre model si utilajul industrial.

Scara modelului pentru studiul unor fenomene prezinta suficient de mare importanta. Uneori este nevoie de o modelare in trepte, ceruta de respectarea valorii criteriilor de similitudine.

            Libertatea alegerii constantelor si a parametrilor fizici pentru model, in comparatie cu cei impusi pentru utilajul industrial, este limitata de egalitatea criteriilor determinante.

Ex.: daca este obligatorie respectarea criteriului Re, daca in model si utilaj se lucreaza cu acelasi fluid, respectiv cu viscozitate constanta se ajunge la obligatia:

w_M · l_M = w_n · l_n     sau    =     respectiv  C_L  = 

            Deoarece scopul experientelor pe model consta in examinarea detaliata a fenomenului de studiat si obtinerea datelor necesare pentru interpretarea fenomenului pe utilajul industrial, pentru efectuarea masuratorilor este necesar sa se stabileasca, in prealabil, numarul minim de experiente ce trebuie efectuate, marimile ce trebuie masurate, marimile ce trebuie sa-si mentina valoarea constanta (la ce valoare), marimile ce trebuie sa varieze in experiment (intre ce limite) si modul de interpretare a rezultatelor obtinute.

            Toate aceste conditii fac parte dintr-un plan de experimentari corect.

            In timpul masuratorilor trebuie sa se respecte intocmai tabloul de experimentare stabilit. Rezultatele experientelor trebuie interpretate prin stabilirea legaturilor dintre criterii.