Procese stochastice

Procese de nastere si de moarte. Aplicatii

Se numeste proces de nastere si de moarte un proces Markov omogen , cu spatiul starilor , care verifica urmatoarele axiome:

Daca, la momentul , procesul se gaseste in starea , probabilitatea ca la momentul sa se afle in starea este , unde , sunt constante strict pozitive date; deci .

Daca, la momentul , procesul se gaseste in starea , probabilitatea ca la momentul sa se afle in starea este , unde , sunt constante strict pozitive date; deci .

Daca, la momentul , procesul se gaseste in starea , probabilitatea ca la momentul sa se afle tot in starea este ; deci .

Probabilitatea ca in intervalul sa aiba loc mai multe treceri dintr-o stare in alta sau sa aiba loc o trecere diferita de cele descrise la (1),(2) si (3) este ; deci .

Se deduce ca matricea intensitatilor de trecere este:

De aici rezulta ecuatiile Kolmogorov inverse:

,

,

si ecuatiile Kolmogorov directe:

,

,

Solutiile se pot obtine utilizand transformate Laplace.

Evident probabilitatile absolute verifica:

,

Daca la momentul , procesul se gaseste in starea , atunci aceste ecuatii se rezolva cu conditia initiala .

Daca se noteaza:

,

atunci este o repartitie stationara. Mai mult, daca avem:

.

Un caz particular important al procesului de nastere si moarte este procesul liniar de nastere si moarte (procesul Feeler-Arley) pentru care , , , .

Sa consideram functia generatoare:

Atunci se deduce:

Solutia generala a acestei ecuatii este

unde este o functie arbitrara de clasa . Daca , atunci , adica si, prin urmare . Deci:

Dupa dezvoltarea in serie de puteri a functiei dupa puterile lui s, se obtine, pentru :

,

unde:

Tot cu ajutorul functiei generatoare se obtin media si dispersia procesului:

,

Un proces de nastere si de moarte este numit subcritic, critic sau supercritic dupa cum , sau . Am vazut ca pentru procese subcritice sau supercritice dispersia este data de reltia de mai sus. Pentru procese critice: .

Cand :

Probabilitatea ca, pentru procesul sa intre in starea (populatia sa dispara) se obtine din:

, rezulta:

Deci pentru procesul se indreapta sigur catre moarte, in timp ce pentru procesul va supravietui cu o probabilitate cu atat mai mare cu cat este mai mare decat .

Utilizari

Functionarea unui sistem format din n elemente identice care functioneaza independent in paralel poate fi descrisa de un proces de nastere si moarte. Starea semnifica faptul ca sunt defecte din cele n elemente. În acest caz , pentru si , pentru.

Se considera functia matriciala: .

a).- Sa se arate ca P(t) este o functie matriciala de trecere!

O matrice de trecere este o matrice de functii cu proprietatile:

care se verifica si in cazul nostru;

care se verifica si in cazul nostru:

unde este simbolul lui Kronecker.

În cazul nostru avem:

Deoarece toate aceste conditii sunt indeplinite P(t) este o matrice de trecere.

b).- Fie procesul Markov corespunzator cu spatiul starilor . Pentru ; ; , sa se calculeze

Am privit aceasta probabilitate ca probabilitatea ca si si daca . Deci evident, cu notatiile:

vom avea: si:

rezulta: P

Se considera un lant Markov , cu spatiul starilor si matricea de trecere

a).- Sa se traseze graful asociat si sa se precizeze starile recurente si cele tranziente.

Toate starile sunt tranziente!

b).- Sa se calculeze probabilitatile - probabilitatea ca lantul sa ajunga vreodata in daca, la momentul a fost in starea .

sau

sau

Similar, luand toate drumurile prin care se poate ajunge dintr-un punct in altul, cu probabilitatile pentru fiecare pas, rezulta:

Se considera procesul stationar in sens larg in sens larg si fie , , functia de covarianta. Sa se calculeze .

Stiind ca

Rezulta

Si stiind ca

Iar procesul este stationar in sens larg, deci nu depinde de t, rezulta

Daca procesul este stationar in sens larg, atunci functia sa de covarianta, , verifica relatia: pentru orice .

Deoarece procesul este stationar in sens larg :

deci prin adaugare si substragere :

Din inegalitatea lui Cebasev:

Dar din definitia variantei:

Dar bazandu-ne pe proprietatea de aditivitate a mediei si pe faptul ca procesul este stationar in sens larg:

Deci:

care (vezi problema anterioara) este:

Cumuland toate aceste rezultate: