MATRICE

MATRICE

Notiunea de MATRICE

- Vom nota cu C asa cum am obisnuit , multimea numerelor complexe ;

- Fie M = , N = multimea primelor m , respectiv n , numere naturale nenule ;

- Vom numi matrice de tipul ( m , n ) cu elemente din multimea C , orice functie :

si matricea A sub forma :

adica printr-un tablou cu m linii si n coloane ce cuprinde valorile functiei A

- in loc de matrice de tipul (m,n) se mai spune matrice cu m linii si n coloane .

- Numerele se numesc elementele matricei A .

- De multe ori pentru matricea A se mai foloseste notatia prescurtata :

sau

- Se observa ca o matrice de tipul (m,n) are elemente .

- Vom nota cu multimea tuturor matricilor de tipul (m,n) avand elementele numere complexe ( ne referim la ) .

- Alte multimi de matrice : ; ; .

Cazuri particulare ale MATRICILOR

I. Daca n = 1 , o matrice de tipul (m , 1) se numeste matrice coloana si este de forma :

.

II. Daca m = 1 , o matrice de tipul (1 , n) se numeste matrice linie si este de forma :

.

III. Daca m = n , o matrice de tipul (n , n) se numeste matrice patratica de ordinul n si este de forma :

- Sistemul ordonat de elemente se numeste diagonala principala a matricei A ;

- Sistemul ordonat de elemente se numeste diagonala secundara a matricei A ;

- Vom nota cu multimea tuturor matricilor patratice de ordinul n cu elemente complexe .

Exemple de matrici patratice :

- matricea :

unde - diagonala principala iar - diagonala secundara

- matricea :

unde - este diagonala principala iar - este diagonala secundara .

s.a.m.d.

Egalitatea a doua MATRICE

- Fie A si B doua matrice de tipul (m , n) : , adica

si

- Matricile A si B sunt egale daca si numai daca sunt egale ca si functii ;

- Deci A = B daca si numai daca oricare ar fi si , ;

- Presupunand ca :

si

atunci A = B daca si numai daca : oricare ar fi si .

- Ca si concluzie generala doua matrice A si B de tipul (m , n) sunt egale daca fiecare element corespunzator liniei si coloane din matricea A este egal cu fiecare element corespunzator aceleiasi linii si coloane din matricea B .

      Exemplu :

- Fie matricile : si

cele doua matrici vor fi egale ( A = B ) daca si numai daca :

Operatii cu MATRICE

Adunarea MATRICILOR

- Fie A si B doua matrice de tipul (m , n) : , adica

si

- Se numeste suma matricilor A si B , matricea unde :

oricare ar fi si .

- Matricea C se numeste suma dintre matricile A si B si se noteaza :

C = A + B

- Doua matrice se pot aduna , daca si numai daca sunt de acelasi tip .

          Proprietatile adunarii matricilor :

Pentru orice matrice adunarea matricilor are proprietatile:

Este operatie interna : ;

Asociativa : , ;

Comutativa : , ;

Are ca element neutru matricea nula : (care are toate elementele egale cu zero)

,

Are element simetric . Orice matrice are o opusa si :

Inmultirea MATRICILOR cu scalari .

Fie matricea si .

Numim produsul dintre scalarul si matricea A , matricea :

      Exemplu

Fie si . Vom avea

      Proprietatile inmultirii matricilor cu scalari:

Daca , atunci : ;

Daca si atunci ;

Daca si atunci ;

Daca si atunci ;

Daca , si atunci ;

Daca , atunci .

Inmultirea MATRICILOR .

Fie o matrice de tipul (m , n) si o matrice de tipul (n , p) ;

Se numeste produsul matricilor A si B ( in aceasta ordine ) matricea :

de tipul (m , p)

unde : oricare ar fi ,

Matricea produs : se noteaza prin : in aceasta ordine .

Operatia prin care oricarui element si oricarui se asociaza produsul lor se numeste inmultire .

Sa explicitam mai pe larg cum se inmultesc doua matrice .

Fie si

Daca :

este produsul lor atunci :

Elementele din prima linie a matricei C vor fi :

; (numit produsul dintre linia din A si coloana din B)

; (numit produsul dintre linia din A si coloana din B)

.. ;

; (numit produsul dintre linia din A si coloana p din B)

Elementele liniei a doua din matricea C se obtin inmultind linia a matricei A , pe rand , cu coloanele matricei B , adica :

; (numit produsul dintre linia din A si coloana din B)

; (numit produsul dintre linia din A si coloana p din B)

In general , elementele din linia i a matricei C se obtin inmultind pe rand linia i a matricei A , cu coloanele matricei B .

Observatii necesare intelegerii inmultirii matricilor :

Trebuie sa retinem ca are sens sa vorbim de produsul matricei A cu matricea B (in aceasta ordine) numai daca numarul coloanelor matricei A este egal cu numarul liniilor matricei B .

Trebuie sa subliniem ca inmultirea matricilor nu este in general o operatie definite pe multimea tuturor matricilor , asa cum rezulta si din observatia 1). Ea este asemantoare compunerii functiilor .

Daca si , atunci are sens sa facem produsul si in acest caz inmultirea matricilor este o operatie definita pe multimea a matricilor . Trebuie sa observam ca in cazul matricilor patratice (de ordinul n) are sens sa facem atat produsul AB cat si produsul BA .

      Exemplu : Fie , .

- Cum numarul coloanelor matricei A este egal cu numarul liniilor matricei B , adica cum A este de tipul si B este de tipul , are sens sa facem produsul lor care va fi o matrice de tipul .

Sa presupunem ca , deci C este de forma : , unde :

(am inmultit prima linie a matricei A cu prima coloana a matricei B ) ;

( am inmultit prima linie a matricei A cu a doua coloana a matricei B ) ;

( am inmultit prima linie a matricei A cu a treia coloana a matricei B ) ;

( am inmultit prima linie a matricei A cu coloana a patra a matricei B ) ;

( am inmultit a doa limie a matricei A cu prima coloana a matricei B ) ;

( am inmultit a doua linie a matricei A cu a doua coloana a matricei B ) ;

(am inmultit a doua linie a maricei A cu a treia coloana a matricei B ) ;

( am inmultit a doua linie a matricei A cu a patra coloana a matricei B ) ;

Deci  .

      Exemplu : Fie si .

Cum numarul coloanelor matricii A nu este egal cu numarul liniilor matricei B , adica A este de

tipul si B este de tipul , nu are sens sa facem produsul .

      Proprietatile inmultirii matricilor :

Inmultirea este " asociativa ". Daca , si , Atunci are loc egalitatea : .

Inmultirea este distributiva la stanga si fata de adunare in sensul urmator :

daca , si atunci :

Inmultirea este distributiva la dreapta fata de adunare in sensul urmator :

daca , si atunci :

In multimea (multimea matricilor patratice de ordinul n ) exista un element neutru

fata de inmultire si anume : matricea patratica de ordinul n : care are pe diagonala principala numerele iar restul elementelor sunt .

          Are proprietatea ca oricare ar fi : .

      Exemplu :

etc.

In general , adica , inmultirea matricilor nu este comutativa ! !

Ridicarea la putere a MATRICILOR patratice

Definitie :

Daca , definim :

- relatia : ;

si

          relatia : , oricare ar fi

Observam ca :

Adica :

.

      Proprietati :

Fie doua matrici care comuta intre ele : .

Relatiile urmatoare se demonstreaza ca si relatiile asemanatoare cu numere :

a)      , .

b)      , .

c)       , .

d)      , (binomul lui Newton

Transpusa unei MATRICE

Fie o matrice de tipul (m , n) ;

- Transpusa matricei A este matricea ; si de tip (n , m)

unde .

- Se observa ca este o matrice de tipul (n , m) si se obtine din matricea A luand liniile , respectiv coloanele lui A drept coloane , respectiv linii , pentru , mai precis prima linie a matricei

este prima coloana a matricei A , a doua linie a matricei este a doua coloana a lui A s.a.m.d. .

      Exemple

- Fie .

- Fie .

      Proprietatile transpusei :

Daca , atunci : .

Daca si , atunci : .

Daca si , atunci : .

Exercitiul nr 1 :

Fie ; . Sa se calculeze :

Exercitiul nr 2 :

Fie ; . Sa se calculeze .

Definitia determinantului :

- Consideram matricea patratica , .

- Numarul , unde este multimea tuturor permutarilor de grad si este signatura permutarii se numeste determinantul matricei A sau , mai simplu , determinant de ordinul si se noteaza de obicei astfel :

.

- Produsul se numeste termen al determinantului de ordinul . .

- Se obisnuieste sa se spuna despre elementele , liniile si coloanele matricei A ca sunt elementele , liniile , respectiv coloanele determinantului .

- Uneori numarul se mai noteaza prescurtat si sau .

Observatii :

Notiunea de determinant al unei matrice are sens numai pentru matricile patratice .

Este deosebire intre matrice si determinantul sau : matricea este o functie , iar determinantul matricei este un numar .

In formula determinantului unei matrice exista termeni dintre care : au semnul (+) , iar au semnul (-) .

Daca ( respectiv , respectiv ) atunci det A este un numar real ( respectiv rational , respectiv intreg ) .

Definitia determinantului se aplica si matricilor de ordinul cand . In acest caz

Asa cum a fost definit determinantul de ordinul , pentru si obtinem determinantul de ordinul respectiv 3 .

Fie matricea patratica de ordinul doi : ;

determinantul matricii A notat :

se calculeaza astfel

adica produsul elementelor de pe diagonala pricipala a matricei A din care se scade produsul elementelor de pe diagonala secundara a matricei A .

Produsele si se numesc termenii determinantului de ordinul.doi

      Exemple :

.

.

Fie matricea patratica de ordinul trei : ;

Notam determinantul matricii A : ;

Pentru calculul determinantului de ordinul al treilea exista urmatoarea regula simpla , numita

Regula lui Sarrus sau regula triunghiurilor

Vom expune in cele ce urmeaza regula lui Sarrus :

- se formeaza urmatorul tablou : se scriu mai intai liniile matricei A si apoi dedesubt se scrie mai

intai prima linie si apoi a doua linie a matricei A ;

- In felul acesta se formeaza un tablou cu cinci linii ;

- determinantul de ordinul trei folosind regula lui Sarrus va fi egal cu produsul elementelor de pe cele 3 diagonale principale din care vom scadea produsul elementelor situate pe cele 3 diagonale secundare , adica :

T

T

      Exemplu

Calculati determinantul matricii : A= .

.

In cazul calculului determinantilor de ordinul , formula prin care este definit determinantul de ordinul , in general este aproape imposibil de aplicat , datorita calculelor laborioase ce apar .

- de exemplu pentru un determinant de ordinul 4 avem 4! = 24 termeni in formula sa , pentru

n = 5 avem 5! = 120 termeni de calculat , iar pentru n = 10 avem 10! = 3.628.800 termeni de calculat .

Pentru a evita acele calcule laborioase se scot in evidenta o serie de proprietati ale determinantilor de ordinul n , care simplifica de multe ori calculul determinantilor .

      Proprietatile determinantilor :

P₁ Determinantul unei matrice coincide cu determinantul matricei transpuse : .

Obs. : Aceasta proprietate ne arata ca ori de cate ori avem o proprietate adevarata referitoare la liniile unui determinant , aceeasi proprietate este adevarata si pentru coloanele determinantului

P₂ Daca toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule , atunci determinantul matricei este nul .

Exemplu : Fie matricea : . Deoarece linia a 2-a a matricei A are toate elementele nule T .

P₃ Daca intr-o matrice schimbam doua linii (sau coloane) intre ele obtinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei initiale .

Exemplu : Fie matricea : . Daca schimbam liniile 1 si 3 intre ele obtinem matricea : T conform proprietatii mai sus mentionate ca : .

P₄ Daca o matrice are doua linii (sau coloane) identice , atunci determinantul sau este nul .

Exemplu : Fie matricea : care are doua coloane identice (coloana 1 = coloana 3)

T conform proprietatii mai sus mentionate : .

P₅ Daca inmultim elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrice A , cu un numar a obtinem o matrice A^' al carei determinant este : .

Exemplu : Fie matricea . Daca inmultim linia a treia cu numarul obtinem matricea : al carui determinant este folosind proprietatea de mai sus :

Obs. : Aceasta proprietate ne indica faptul ca spre deosebire de matrici unde nu am putut inmulti sau da factor comun numai dintr-o linie sau coloana a matricei la determinant este posibil sa inmultim sau sa dam factor comun numai dintr-o linie sau coloana . Aceasta proprietate ne simplifica calculul determinantilor .

P₆ Daca o linie (sau coloana) a unei matrici patratice este o combinatie liniara de celelalte linii (sau coloane atunci determinantul matricei este zero .

Exemplu : Fie matricea : . Cum linia trei este o combinatie liniara a liniei 1 cu linia adica linia 1 minus linia 2 ne da linia 3 () T conform proprietatii de mai sus ca .

P₇ Daca elementele a doua linii (sau coloane) ale unei matrice sunt proportionale , atunci determinantul matricei este nul .

Exemplu : Fie matricea : . Cum linia 2 si linia a 3-a sunt proportionale , adica T .

P₈ Daca la o linie (sau coloana) a matricei A adunam elementele altei linii (sau coloane) inmultite cu acelasi numar , atunci aceasta matrice are acelasi determinant ca si matricea A .

Exemplu : Fie matricea : . Inmultim prima linie cu 2 si o adunam la linia a treia : si rezulta matricea : al carui determinant va fi egal cu cel al matricei A :

.

P₉ Daca determinantii a doua matrice difera printr-o singura linie (sau coloana atunci suma lor este egala cu valoarea determinantului care are pe linia respectiva (coloana respectiva) suma elementelor liniei (sau coloana) celor doi determinanti si restul elementelor egale .

Exemplu : Fie matricea si .

.

P₁₀ Determinantul produsului a doua matrice patratice de acelasi ordin este egal cu produsul determinantilor acestor matrice .

Exemplu : Fie si .

.

Notiuni importante si folosite in calculul determinantilor

- Fie :

un determinant de ordinul n

         Minorul elementului a_ij :

- Determinantul de ordinul care se obtine suprimand linia i si coloana j din determinantul d se numeste minorul elementului si se noteaza cu .

         Complementul algebric al elementului a_ij :

- Numarul notat sau :

se numeste complementul algebric al elementului in determinantul d

      Exemplu :

Unui determinant de ordinul n ise pot asocia n² minori de ordinul n-1 si respectiv n²

complementi algebrici .

Fie determinantul de ordinul 3 :

Minorii elementelor din d sunt in numar de Acestia sunt urmatorii :

Complementii algebrici ai elementelor din d sunt :

         Dezvoltarea unui determinant dupa o linie :

Dezvoltarea determinantului dupa linia i este urmatoarea :

      Exemplu :

Fie determinantul de ordinul 3 :

Dezvoltarea determinantului dupa prima linie are urmatoarea forma :

T

.

         Dezvoltarea unui determinant dupa o coloana :

Dezvoltarea determinantului dupa coloana j este urmatoarea :

      Exemplu :

Fie determinantul de ordinul 3 :

Dezvoltarea determinantului dupa prima coloana are urmatoarea forma :

T

T .

E    Observatii :

Dezvoltarea unui determinant dupa o linie (sau coloana) este cu atat mai avantajoasa cu cat linia (sau coloana) respectiva contine cat mai multe zerouri .

2). Pentru a realiza zerouri pe o linie aplicam operatii cu coloane (folosind P₈) si invers .

3). Intr-un determinant de ordinul n se poate aplica P₈ de cel mult n-1 ori (daca aplicam P₈ de mai multe ori se intra sub incidenta P₆ si determinantul se anuleaza in mod defectuos) .

         Concluzie finala privind calculul determinantilor :

Pentru a calcula determinanti de ordin superior vom folosi dezvoltarea acestuia dupa o linie sau o

coloana , alegand intotdeauna acea linie (sau coloana) ale carui elemente au valoarea zero , sau vom alege un pivot cu ajutorul caruia si a liniei din care face parte (sau coloana) sa facem zero pe coloana respectiva (sau linia respectiva) obtinand astfel un determinant de un ordin mai mic cu o unitate fata de cel initial si vom repeta aceasta operatie pana vom ajunge la un determinant de ordin trei pe care il vom calcula folosind regula lui Saruss binecunoscuta de toata lumea .

         Exercitiul nr. 1

Calculati valoarea urmatorilor determinanti :

; ; ; ; ; ; ;

; ; ; ; .

         Exercitiul nr. 2

Sa se calculeze determinantii de ordinul 3 folosind regula lui Sarrus :

; ; ; ; ;

; ; ; ; .

         Exercitiul nr. 3

Sa se calculeze determinantii :

; ; ; ;

Consideram matricea A cu m linii si n coloane , nenula , cu elemente numere complexe :

iar un numar natural , astfel incat ( prin min(m,n) intelegem cel mai mic dintre numerele m si n ) .

Daca din matricea A alegem k linii : si k coloane : , elementele care se gasesc la intersectia acestor linii si coloane formeaza o matrice patratica de ordin k :

al carui determinant se numeste minor de ordin k al matricei A .

Definitia rangului matricei :

- Fie o matrice nenula ;

- Spunem ca matricea A are rangul r si scriem rangA = r , daca A are un minor nenul de ordin r , iar toti minoriii lui A de ordin mai mare decat r (daca exista) sunt nuli .

Daca A este matricea nula , convenim sa spunem ca matricea are rangul , adica : rang(0_m,n)=0 .

Teorema :

- Fie o matrice ;

- Numarul natural este rangul matricei A daca si numai daca exista un minor de ordinul al lui A , nenul , iar toti minorii de ordinul (daca exista) sunt nuli .

Teorema :

- Fie si doua matrice ;

- Atunci orice minor de ordin , , al produsului de matrice se poate scrie ca o combinatie liniara de minori de ordinul ai matricei (sau , ca o combinatie liniara de minori de ordinul ai matricei ) .

Consecinta :

- Rangul produsului a doua matrice este mai mic sau egal cu rangul fiecarei matrice .

Calculul rangului unei matrice

Rangul unei matrice se poate calcula in modul urmator :

Fiind data o matrice nenula , aceasta are neaparat un minor de ordinul intai nenul (putem lua orice element nenul al matricei) ;

Daca am gasit un minor de ordinul k nenul , il bordam pe randul cu elementele corespunzatoare ale uneia dintre liniile si uneia dintre coloanele ramase , obtinand astfel toti minorii de ordinul k+1 care-l contin.

Daca toti acesti minori sunt nuli , rangul matricei este r = k

Daca insa cel putin unul dintre acestia (de ordinul k+1 ) este nenul , atunci retinem unul dintre ei si continuam procedeul .

Numarul minorilor de ordinul r+1 care trebuie considerati este : , pentru a

stabili ca o matrice are rangul r nu mai poate fi micsorat . Totusi numarul de calcule necesar pentru a afla rangul unei matrice se poate reduce in diverse cazuri particulare .

E    Observatii :

Rangul unei matrice ramane neschimbat , daca :

Multiplu unei linii (coloane) se aduna la o alta linie (coloana

Liniile (coloanele) se schimba intre ele .

Rangul unei matrice mai poate fi calculat si folosind transformarile elementare , operatii de schimbare intre ele a liniilor sau coloanelor , sau prin adunarea lor , operatie repetata pana cand ajungem sa avem minimum de elemente diferite de zero T rangul matricei A este egal cu numarul elementelor diferite de zero .

      Exemplu :

Sa se calculeze rangul matricei : .

Rezolvare :

- rangul matricii este cel putin r = 1 deoarece exista cel putin un element diferit de zero ;

- alegem un minor principal de ordinul doi din matricea data , dar care sa fie diferit de zero :

minor care devine minor principal deoarece valoarea sa este diferita de zero T rangul matricei date devine cel putin : r = 2 in conditiile date si conform proprietatilor de calcul ;

- dupa ce am gasit minorul principal vom calcula minorii caracteristici , obtinuti prin bordarea minorului principal cu coloana si linia aferenta lui , acestia fiind in numar de doi :

si

care au valorile : si T conforma proprietatilor si metodelor de calcul ale rangului unei matrice ca rangul este : r = 3 , deoarece cel putin unul dintre minorii caracteristici este diferit de zero : .

- Cum numai putem calcula nici un minor caracteristic de un grad mai mare decat ultimii , adica n = 3 , rangul matricii A este in final : .

- daca cei doi minori caracteristici : T

         Exercitiul 1

Sa se determine rangul umatoarelor matrice :

a). b). c). d). .

          Exercitiul 2

Calculeaza rangul matricelor :

a). b). c). d).

e). f). g).

Vom introduce in continuare cateva notiuni care ne vor ajuta in studiul

matricei inversabile :

Matrice singulara sau degenerata) :

- o matrice patratica se numeste singulara (sau degenerata) daca determinantul sau este nul .

Matrice nesingulara sau nedegenerata) :

-o matrice patratica se numeste nesingulara (sau nedegenerata) daca determinantul sau este

diferit de zero

Definitia matricei inversabile :

- Fie A o matrice patratica de ordin n ;

- Se spune ca A este inversabila daca exista o matrice B patratica de ordin n astfel incat :

- Matricea B se numeste inversa matricei A

- Observam , de asemenea , ca si A este inversa lui B

- Vom nota inversa matricei A , daca exista , cu A^-1 .

Teorema :

Inversa unei matrice patratice , daca exista este unica

Teorema :

O matrice patratica este inversabila daca si numai daca este nesingulara , adica : .

Fie o matrice patratica de ordinul n .

Calculam determinantul matricei A : . Daca atunci A este inversabila .

Determinam matricea transpusa : .

Determinam matricea adjuncta : care se obtine prin inlocuirea fiecarui element din cu complementul sau algebric : , adica :

; ; . ; ; .. ;

Se scrie inversa : ,

adica : .

      Exemplu

Sa se afle daca matricea urmatoare este inversabila si in caz afirmativ sa se gaseasca inversa sa:

.

1). Calculam determinantul matricei A :

T

Cum T matricea A admite inversa si anume :

2). Calculam unde :

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Avem :

Scriem inversa :

.

Ecuatii matriciale de tipul : A X = B .

- Fie ecuatia : , unde A este o matrice inversabila .

- Vom afla matricea X urmand urmatorii pasi :

T T

Ecuatii matriciale de tipul : X A= B .

- Fie ecuatia : , unde A este o matrice inversabila .

- Vom afla matricea X urmand urmatorii pasi :

T T

Ecuatii matriciale de tipul : A X B= C .

- Fie ecuatia : , unde A si B sunt matrici inversabile .

- Vom afla matricea X urmand urmatorii pasi :

T T

         Exercitiul 1

Sa se afle daca matricele urmatoare sunt inversabile si in caz afirmativ sa se gaseasca inversele

lor :

1). 2). 3). 4). 5).

6). 7). 8). 9).

10). 11). 12).

Notiunea de : sisteme de ecuatii liniare .

- Sistemele de ecuatii algebrice de gradul intai cu mai multe necunoscute sau asa cum li se mai spune de obicei , sisteme de ecuatii liniare .

- Forma generala a unui sistem de ecuatii liniare , de m ecuatii cu n necunoscute , este :

unde :

- coeficientii necunoscutelor formeaza o matrice cu m linii si n coloane :

numita matricea coeficientilor sistemului sau , simplu , matricea sistemului .

- matricea cu m linii si n+1 coloane :

care se ontine adaugand la coloanele matricei A coloana termenilor liberi se numeste matricea extinsa a sistemului .

- Sistemul de ecuatii liniare mai poate fi scris condensat sub forma :

Solutie a sistemului de ecuatii liniare .

- Un sistem de numere : se numeste solutie a sistemului , daca inlocuind necunoscutele respectiv prin aceste numere , toate ecuatiile acestui sistem sunt verificate , adica :

Sistem de ecuatii incompatibil .

- Un sistem de ecuatii care nu are solutii se numeste incompatibil .

Sistem de ecuatii compatibil .

- Un sistem de ecuatii liniare care are cel putin o solutie se numeste compatibil .

Sistem de ecuatii compatibil determinat .

- Un sistem compatibil se numeste determinat daca are o singura solutie .

Sistem de ecuatii compatibil nedeterminat .

- Un sistem compatibil se numeste nedeterminat daca are mai mult decat o solutie .

Metode de stabilire a multimii solutiilor sistemului liniar

- Determinarea multimii solutiilor sistemului liniar se face prin rezolvarea acestuia prin diferite metode care ne vor permite sa decidem daca un sistem de ecuatii dat este compatibil sau nu , iar in cazul in care este compatibil , sa putem spune daca este determinat sau nu , si sa dam procedee de gasire a tuturor solutiilor sale .

- Aplicam regula lui Cramer , pentru aflarea multimii solutiilor , doar in cazul sistemelor de ecuatii liniare la care numarul ecuatiilor este egal cu numarul necunocutelor , adica in cazul unui sistem de n ecuatii cu n necunoscute , care are urmatoarea forma generala :

- un sistem de ecuatii liniare , cu n ecuatii si n necunoscute , care se rezolva aplicand regula lui CRAMER este compatibil determinat ( are solutie unica ) ;

- aflarea multimii solutiilor unui sistem de ecuatii liniare la care numarul ecuatiilor este egal cu numarul necunoscutelor se poate face prin aplicarea regulii lui CRAMER daca si numai daca determinantul matricii sistemului este diferit de zero , adica :

- Daca atunci sistemul are o solutie unica , anume :

; ; .. ;

unde : sunt determinantii obtinuti din prin inlocuirea coloanei cu coloana termenilor liberi , adica :

.. .

      Exemplu :

Sa se rezolve sistemul de ecuatii liniare : .

Rezolvare :

t         - deoarece numarul ecuatiilor este egal cu numarul necunoscutelor ) ne putem gandi sa aplicam regula lui Cramer pt. aflarea solutiilor sistemului liniar dat , dar , cu conditia ca determinantul matricii sistemului sa fie diferit de zero ;

t         - vom calcula determinantul matricii sistemului liniar dat :

avem matricea sistemului :

T determinantul matricii sistemului este : ;

- deoarece T nu putem aplica regula lui Cramer pentru aflarea multimii solutiilor sistemului T sistemul nu este compatibil determinat ( nu are solutie unica ) ;

- precizam ca desii determinantul sistemului este egal cu zero ( ) asta nu inseamna ca sistemul este incompatibil ( nu admite solutii ) ci doar ca nu va fii compatibil determinat , deoarece nu se poate aplica regula lui Cramer .

      Exemplu

Sa se rezolve sistemul de ecuatii liniare : .

Rezolvare :

- deoarece numarul ecuatiilor este egal cu numarul necunoscutelor ) ne putem gandi sa aplicam regula lui Cramer pt. aflarea solutiilor sistemului liniar dat , dar , cu conditia ca determinantul matricii sistemului sa fie diferit de zero ;

t         - vom calcula determinantul matricii sistemului liniar dat :

avem matricea sistemului :

T determinantul matricii sistemului este : ;

t         - deoarece T pentru aflarea multimii solutiilor sistemului liniar dat vom aplica regula lui Cramer T sistemul este compatibil determinat ( are solutie unica ) cu solutiile :

unde :

;

;

.

Vom discuta in cele ce urmeaza rezolvarea sistemelor oarecare de ecuatii liniare de m ecuatii cu n necunoscute

- Fie un sistem de ecuatii liniare , cu m ecuatii si n necunoscute :

.

- In aflarea multimii solutiilor sistemului dat se pune problema compatibilitatii acestuia .

- Analizam matricea a coeficientilor sistemului si matricea extinsa , care se obtine din

completand coloanele sale cu coloana termenilor liberi ai sistemului :

- Este evident ca , deoarece minorii matricei se gasesc printre minorii matricei .

- Presupunem ca rangul matricei sistemului este : .

- Pentru a stabili daca un sistem liniar de m ecuatii cu n necunoscute este compatibil vom folosi una din urmatoarele teoreme : teorema Kronecker-Capelli sau teorema lui Rouche .

Teorema Kronecker - Capelli .

Un sistem de ecuatii liniare este compatibil daca si numai daca rangul matricei sistemului

este egal cu rangul matricei extinse .

Teorema lui Rouche

Un sistem de ecuatii liniare este compatibil daca si numai daca toti determinantii caracteristici

sunt nuli .

         Observatii

. Teorema lui Kronecker - Capelli ne permite sa decidem daca sistemul este compatibil sau nu , dar nu ne da un mijloc practic de aflare a tuturor solutiilor sistemului dat .

2). Daca r = n , sistemul are acelasi numar de ecuatii si de necunoscute , iar determinantul sau este nenul .In acest caz , sistemul are o unica solutie , pe care o putem calcula cu formulele lui Cramer .

3). Daca r < n atunci sistemul are :

- numarul ecuatiilor egal cu numarul necunoscutelor dar determinantul sau egal cu zero

situatie in care nu mai putem aplica regula lui Cramer ;

- numarul ecuatiilor diferite de numarul necunoscutelor caz in care pt. aflarea multimii solutiilor sistemului aplicam cele doua teoreme mai sus enuntate .

Metoda de rezolvare a sistemelor

Studiem daca sistemul este compatibil . Pentru aceasta determinam rangul sistemului (r) si aplicam una din cele doua teoreme din care ne va rezulta compatibilitatea sau incompatibilitatea sistemului .

a). Daca sistemul este incompatibil ;

b). Daca sistemul este compatibil nedeterminat (are mai multe solutii).

Pentru gasirea solutiilor unui sistem compatibil procedam astfel :

- alegem determinantul principal , determinantul de ordinul r diferit de zero , si specificam

ecuatiile principale , necunoscutele principale (cele continute in determinantul principal) si necunoscutele secundare ale sistemului .

- pastram din sistemul dat doar ecuatiile principale in care vom trece necunoscutele secundare in dreapta egalului ;

- vom atribui fiecarui necunoscute secundare cate o valoare arbitrara ;

- vom rezolva sistemul astfel obtinut cu ajutorul regulii lui Cramer .

          Exercitiul 1 :

Sa se rezolve sistemele urmatoare :

1). 2).

3). 4).

Notiunea de : sisteme de ecuatii liniare omogene .

Un sistem de ecuatii liniare se numeste omogen daca termenul liber al fiecarei ecuatii este nul (adica fiecare ecuatie este omogena

Forma generala a unui sistem omogen de ecuatii liniare este :

.

          Observatii

1). Un sistem omogen este intotdeauna compatibil .

- termenii liberi fiind nuli , rezulta ca adaugand la coloanele matricei sistemului coloana nula a termenilor liberi rangul nu se schimba T conform teoremei Kroneker - Capelli , este compatibil .

2). Se vede direct ca un astfel de sistem admite solutia nula : .

t         Important

Sa presupunem ca matricea A a coeficientilor este de rang r

1). Daca (numarul necunoscutelor) , atunci solutia nula este singura solutie a sistemului .

2). Daca (numarul necunoscutelor) , atunci sistemul are si solutii nenule .

Pentru a gasi solutiile , se utilizeaza acelasi procedeu ca in cazul sistemelor arbitrare .

          Observatii

1). Remarcamca un sistem de n ecuatii liniare omogene cu n necunoscute are solutii nenule daca si numai daca determinantul sau este nul .

2). Daca un sistem de ecuatii liniare omogene are numarul ecuatiilor mai mic decat cel al necunoscutelor , sistemul are solutii nenule .

          Exercitiul nr. 1 :

Sa se determine a astfel incat sistemul urmator sa aiba solutii nenule si , in acest caz , sa se

rezolve

.