MATRICE. SISTEME DE ECUATII LINIARE

MATRICE. SISTEME DE ECUATII LINIARE

Vom reaminti cateva elemente despre matrice si sisteme liniare care au fost deja intalnite in liceu.

Matrice echivalente. Matrice sub forma diagonala

Definitia I.1. Un tablou de forma

se numeste matrice de dimensiune mn. Daca m =n, spunem ca matricea este patratica si are dimensiunea n.

Definitia I.2. O matrice de formase numeste matrice triunghiulara superior, iar o matrice de forma, .

se numeste matrice triunghiulara inferior.

Definitia I.3. O matrice de forma se numeste matrice diagonala daca elementele de pe diagonala principala satisfac relatia .

Observatia I.1:

Relatia arata faptul ca printre elementele de pe diagonala matricii de mai sus, este posibil sa intalnim si zerouri, dar nu pot fi toate nule.

Daca toate elementele de pe diagonala lui D sunt nule, matricea este chiar matricea nula.

Daca toate elementele de pe diagonala lui D sunt egale cu 1, matricea se numeste matricea unitate si o notam cu .

Definitia I.4. Prin transformari elementare definite intr-o matrice oarecare A, de ordin mn, intelegem:

t1) inmultirea elementelor unei linii sau coloane cu un scalar nenul

t2) adunarea elementelor unei linii sau coloane la elementele altei linii sau coloane

t3) inmultirea elementelor unei linii sau coloane cu un scalar nenul, urmata de adunarea la elementele altei linii sau coloane.

t4) schimbarea elementelor unor linii sau coloane intre ele.

Definitia I.5. Doua matrice A si B se numesc echivalente, daca se obtin una din cealalta prin transformari elementare. Notam A B.

Observatia I.2. Daca se pleaca de la o matrice A si se executa asupra ei transformari elementare, se pot obtine nenumarate matrice echivalente diferite. Toate aceste transformari elementare au proprietatea ca rangul matricelor echivalente obtinute in diferite etape de calcul, este acelasi cu rangul matricii A de la care s-a pornit.

Matricea diagonala pe care am introdus-o in definitia I.4 se poate generaliza si pentru matriciedreptunghiulare:

.

In mod asemanator se defineste matricea diagonala pentru cazul cand m<n.

Teorema I.1. Daca se pleaca de la o matrice oarecare de dimensiune mn, prin transformari elementare si intr-un numar finit de pasi se ajunge intotdeauna la o matrice diagonala.

Observatia I.3. Matricea diagonala nu este unica! Ea depinde de felul transformarilor pe care alegem sa le facem si de ordinea efectuarii lor.

Teorema I.2. Daca asupra unei matrici A se executa transformari elementare, se poate ajunge la matrice diagonale diferite, dar numarul elementelor diferite de 0 de pe diagonala este intotdeauna acelasi.

Rangul unei matrice.

Definitia I.6. Ordinul cel mai mare al determinantilor nenuli care se pot forma cu elementele unei matrici A, se numeste rangul matricii A.

Teorema I.3. Rangul unei matrici A este egal cu numarul elementelor nenule ale oricarei matrici echivalente in forma diagonala.

Observatia I.4. Aplicarea in practica a rezultatului enuntat in teorema 3 capata o utilitate deosebita in special in probleme de programare liniara si dinamica, atunci cand dimensiunile matricelor cu care se lucreaza sunt mari.

Definitia I.7. Expresiile

poarta numele de sistem de ecuatii cu necunoscutele .

Observatia I.5. Sistemul (s1), scris in forma analitica, se poate scrie si sub forma matriciala dupa cum urmeaza:

A= matricea sistemului

B= matricea (vectorul) termenilor liberi

X= matricea (vectorul) necunoscutelor.

Definitia I.8. Matricea data de:se numeste matricea extinsa a sistemului (s1).

Notam rangA=p

rang=q.

Definitia I.9. Spunem ca sistemul (s1) este compatibil, daca el admite cel putin o solutie. El este compatibil determinat, daca solutia sa este unica si este incompatibil, daca nu are nici o solutie.

Teorema I.4. (Kronecker-Capelli) Sistemul (s1) este compatibil, ddaca p=q.

Consecinta I.1. Daca p=q=n, sistemul este compatibil determinat.

Consecinta I.2. Daca p=q=m=n, sistemul este de tip Cramer si se poate rezolva prin metoda Cramer sau prin metoda matricii inverse, adica:

Consecinta I.3 Daca p=q<n, sistemul este compatibil nedeterminat.

Consecinta I.4 Daca , sistemul este incompatibil.

Urma unei matrice.

Definitia I. 10. Pentru o matrice patratica

definim urma ca fiind marimea .

Proprietatea I. 1. Pentru doua matrice are loc .

Metoda eliminarii complete pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare

Pe langa metodele de rezolvare a sistemelor de ecuatii liniare care au fost prezentate in scoala generala sau in liceu, prezentam acum metoda eliminarii complete, sau metoda Gauss-Jordan, care se constituie intr-un algoritm foarte simplu, usor programabil pe calculator si utilizabil in mod special pentru sisteme de ecuatii liniare cu dimensiuni mari.

I.1. Fie sistemul de ecuatii liniare:

Matricea sistemului si termenul liber:

si respectiv

Trecem la rezolvarea sistemului:

Observam ca sistemul are solutie unica, deoarece:

Construim un cuplu de obiecte matematice, format din matricea sistemului si din termenul liber:

Urmarim ca prin transformari asupra liniilor matricii A sa obtinem in prima casuta matricea unitate, iar in a doua casuta, solutia sistemului. Pentru aceasta, pornim cu primul element al matricii A, adica 1, pe care il vom numi pivot. Regula de transformare a elementelor din cuplul de mai sus este:

elementele de pe coloana pivotului devin 0 (mai putin pivotul).

elementele de pe linia pivotului (inclusiv pivotul) se impart la pivot.

elementele ramase se transforma dupa regula dreptunghiului:

Prin urmare, dupa prima etapa cuplul de obiecte pe care l-am construit devine:

Elementele care nu se afla pe linia sau coloana pivotului, s-au transformat conform regulii dreptunghiului:

Pentru continuarea transformarilor, la pasul urmator scriem prima coloana neschimbata, iar pivotul va fi al doilea element de pe a doua linie din "noua" matrice A, deci -1. Aplicam aceleasi reguli de calcul si rezulta:

Pentru cel de-al treilea pas si ultimul, pivotul va fi al treilea element de pe a treia linie din ultima matrice "A" obtinuta. Primele doua coloane se scriu neschimbate:

Prin urmare, dupa cum am precizat initial, atunci cand in locul matricii A am obtinut matricea unitate, pe pozitia pe care initial a fost termenul liber am obtinut solutia sistemului.

I. 2. Sa se rezolve sistemul urmator prin metoda eliminarii complete:

Solutie:

Scriem matricea sistemului si calculam determinantul ei.

.

Prin urmare, sistemul este compatibil determinat. Construim cuplul de obiecte ca la exercitiul precedent si efectuam transformarile pentru aducerea matricii A la matricea unitate:

Trebuie sa mentionam ca aceasta metoda nu se aplica doar pentru sisteme de ecuatii in care matricea sistemului este patratica, ceea ce presupune numar egal de ecuatii si de necunoscute si cu determinant nenul. Vom considera in continuare si alte exemple: un sistem pentru care matricea atasata are determinant nul, un sistem pentru care matricea atasata nu este patratica si un sistem despre care vom dovedi ca este incompatibil.

I. 3. Sa se rezolve sistemul de ecuatii liniare prin metoda eliminarii complete:

.

Solutie:

Matricea sistemului este:

.

Rangul acestei matrici este 2, fapt dovedit de existenta minorului nenul

.

Mentinem primele doua ecuatii din sistem si necunoscutele y si z, care corespund elementelor care intra in componenta minorului calculat. Necunoscuta x o notam cu si o presupunem cunoscuta. Sistemul devine:

Trecem la transformarea noii matrici A:

I. 4. Sa se rezolve sistemul de ecuatii liniare cu metoda eliminarii complete:

Solutie:

Matricea sistemului si termenul liber sunt: si

Efectuam transformarile care conduc la obtinerea solutiei:

Prin urmare, liniile nenule care s-au obtinut conduc la urmatoarele ecuatii:

I. 5. Stabiliti, utilizand metoda eliminarii complete, daca sistemul de mai jos are solutie:

Solutie:

Matricea sistemului si respectiv termenul liber sunt:

Transformarile vor conduce la:

Ultima linie din ultima etapa a transformarii se scrie ca ecuatie:

.

Prin urmare, sistemul este incompatibil.

Aplicatii la metoda eliminarii complete:

I.    6. Cu metoda prezentata mai inainte, sa se determine inversa matricii

Solutie:

Vom construi un cuplu de obiecte asemanator cu cel de la rezolvarea sistemelor prin metoda eliminarii complete, cu diferenta ca in locul termenului liber al sistemului inscriem de aceasta data in membrul din dreapta matricea unitate. Inainte de orice trebuie, insa, sa ne asiguram ca matricea A admite inversa, ceea ce inseamna ca determinantul ei sa fie nenul:

Transformarile pe care le efectuam sunt de acelasi tip ca acelea prezentate la rezolvarea sistemelor liniare.

De fapt, transformarile pe care le-am efectuat asupra matricii A in fiecare exemplu pe care l-am rezolvat pana acum, au adus matricea A la o forma diagonala, deci am anulat toate elementele ei, mai putin cele de pe diagonala principala. Cu acelasi procedeu de diagonalizare, se poate determina rangul unei matrici A evitand calculul determinantilor. Se tine cont de faptul ca pentru o matrice diagonala de forma:

,

egalitate care se poate demonstra pornind de la definitia determinantului.

Se foloseste, de asemenea, faptul precizat la inceputul capitolului, ca rangul unei matrici nu se schimba daca:

- schimbam liniile cu coloanele

- inmultim liniile sau coloanele matricii ( sau doar o linie sau o coloana) cu un element nenul.

- permutam doua linii sau doua coloane

- adunam la elementele unei linii (sau coloane) elementele altei linii (sau coloane) ,eventual inmultite cu un numar oarecare.

Vom nota cu coloana cu numarul i din matricea sau determinantul cu care lucram si cu , linia i.

I. 7. Pornind de la aceste observatii, sa se determine rangul matricii de mai jos:

Efectuam asupra matricii A transformarile pe care le-am facut in exemplele precedente si o aducem la o forma diagonala. Ca prim pas, observam ca putem permuta coloanele 1 si 2, in scopul de a aduce pe prima pozitie din matrice elementul 1, mai usor utilizabil in calcule ca element pivot.

Procedeul nu poate merge mai departe, deoarece pe liniile pe care ar trebui sa alegem urmatorii pivoti toate elementele sunt nule. Matricea pe care am obtinut-o mai sus are in mod evident rangul 2, deoarece orice minor de ordinul 3 sau 4 al sau are cel putin o linie formata doar cu elemente nule, deci este 0. Prin urmare, rangul matricii A este 2.

Un alt mod de a vedea ca rangul lui A este 2 presupune aducerea la forma diagonala a ultimei matrici obtinute, de data aceasta prin transformarile elementare cunoscute de la calculul determinantilor, pe care le-am amintit mai sus:

Ultima matrice obtinuta are forma diagonala. Se dovedeste usor ca rangul unei matrici scrise in forma diagonala este dat de numarul de elemente nenule din componenta ei. In cazul de fat a, evident rangul este 2.

Acest procedeu de determinare a rangului unei matrici este evident mai putin laborios decat procedeul bazat pe calcul de determinanti, cunoscut din liceu. Are in plus avantajul ca poate fi transpus cu usurinta in limbaj de calculator.

Sa mai facem observatia ca nu toate matricile care apar in calcule au forma patratica. Prezentam mai departe doua matrici cu numar diferit de linii si coloane, carora urmeaza sa le determinam rangul.

Pentru A, efectuam transformarile:

Analog pentru matricea B:

.