NUMERE COMPLEXE SUB FORMA TRIGONOMETRICA

Sa se determine multimea punctelor din plan ale caror afixe satisfac:

a) ; b) ; c) ; d) .

Sa se determine forma trigonometrica a urmatoarelor numere complexe:

a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

Fie un numar real nenul. Sa se arate ca forma trigonometrica a lui este:

Fie un numar complex nenul. Sa se arate ca:

Sa se determine modulele si argumentele numerelor:

a)

b)

c)

d) , .

Sa se calculeze produsul sub forma trigonometrica

Sa se calculeze modulele si argumentele reduse ale urmatoarelor numere

complexe:

a) d)

b) e )

c) f)

Sa se calculeze:

a) ; b) ; c) , , .

Sa se arate ca, daca numerele naturale si sunt prime intre ele, atunci ecuatiile si au o singura radacina comuna.

Sa se rezolve urmatoarele ecuatii binome:

a) c)

b) d) .

Sa se rezolve ecuatiile:

a) c)

b) d) .

5.5 Sa se reprezinte multimile punctelor din plan ale caror afixe satisfac:

a) d)

b) e) .

c)

a) Stiind ca , , sa se calculeze .

b) Sa se calculeze , stiind ca .

Sa se demonstreze ca formula lui Moivre este adevarata si in cazul in care este un numar intreg negativ.

Sa se demonstreze:, unde: .

Sa se efectueze calculele:

a) ; b) .

Fie expresia . Sa se calculeze .

Exercitii:

Sa se calculeze radacinile de ordin ale lui in urmatoarele cazuri:

a) c)

b) d) .

Sa se determine radacinile de ordin 3, 4 si 8 ale unitatii.

Sa se demonstreze ca radacinile de ordin ale unitatii sunt egale cu puterile unei radacini particulare ( o astfel de radacina se numeste radacina primi-tiva de ordin al unitatii ).

, , fiind radacinile de ordin 3 ale unitatii, sa se arate ca:

a) ; b) ; c)

Stiind ca numarul complex verifica ecuattia , sa se arate ca nume-rele , si verifica aceeasi ecuatie.

Aplicatie: Sa se calculeze si sa se deduca radacinile de ordinul 4 ale numarului .

Sa se verifice pozitia celui de-al treilea varf al triunghiului echilateral, afixele a 2 varfuri fiind: , .

Fie trei numere complexe, nenule, distincte 2 cate 2 si de module egale. Sa se demonstreze ca daca , si sunt numere reale, atunci .

Notand cu multimea radacinilor de ordinul ale unitatii,

sa se demonstreze ca:

a) ; b)

Sa se determine numerele complexe de modul 1 care verifica .

Fie ecuatia , si si . Sa se arate ca ecuatia data are cel putin o radacina de modul egal cu 1.

Fie trei numere complexe nenule, astfel incat .

a) Sa se demonstreze ca numerele complexe si astfel incat , si

b) Sa se rezolve ecuatia in raport cu una din necunoscute.

c) Folosind eventual rezultatele de la a) si b) sa se demonstreze ca daca atunci sau numerele sunt varfurile unui triunghi echilateral.