GEOMETRIE PLANA -notiuni si formule elementare

GEOMETRIE PLANA -notiuni si formule elementare

TRIUNGHIUL (): OARECARE, ISOSCEL, ECHILATERAL, DREPTUNGHIC.

1. ∆ oarecare:

  - p                  -Perimetrul ( P ) unui ∆ este suma laturilor sale.

- Suma unghiurilor intr-un ∆ este 180⁰.

LINII IMPORTANTE IN TRIUNGHI:

- Inaltimea = perpendiculara dusa din varf pe latura opusa

- Mediana = segmentul ce uneste varful cu mijlocul laturii opuse

- Bisectoarea unui unghi = dreapta ce imparte unghiul in 2 parti egale

- Mediatoarea unui segment = perpendiculara dusa prin mijlocul  segmentului

- Linia mijlocie = segmentul ce uneste 2 mijloace de laturi, ea este  paralela cu cea dea treia latura si jumatate din aceasta.

Formule pentru ARIA unui ∆:

A =                            b = baza,   h= inaltime

A =

A = ,       p = ,      a,b,c= laturile ∆

- Centrul cercului circumscris unui ∆ se afla la intersectia mediatoarelor laturilor (O)

- Centrul cercului inscris in ∆ se afla la intersectia bisectoarelor ( I )

- Punctul de intersectie al inaltimilor unui ∆ se numeste ortocentru ( H )

- Punctul de intersectie al medianelor (G) este numit centru de greutate, el se afla la 1/3 fata de baza si 2/3 fata de varf

2.  ∆ ISOSCEL

- are 2 laturi egale( congruente);

-are unghiurile de la baza congruente;

-bisectoarea dusa din varful ∆ isoscel coincide cu mediana si inaltimea sa.

3. ∆ echilateral

- are toate laturile egale si are toate unghiurile egale,( 60⁰ fiecare unghi )

- aria ∆ echilateral:  A =,              L = latura ∆

inaltimea ∆ echilateral: h = , 

 apotema ∆ echilateral ( perpendiculara dusa din centrul triunghiului la latura )   :  a₃ =

Raza cercului circumscris triunghiului echilateral este: 

4. ∆ dreptunghic

- este triunghiul care are un unghi drept , adica de 90⁰

-latura mare a triunghiului dreptunghic ( opusa varfului drept ) se numeste ipotenuza, iar celelalte laturi sunt catete.

-Teorema lui Pitagora: patratul ipotenuzei este suma patratelor catetelor

-Aria unui ∆ dreptunghic A = ,           c₁,c₂ = catetele ∆

-Inaltimea unui ∆ dreptunghic  h = ,           i = ipotenuza

-Centrul cercului circumscis unui ∆ dreptunghic se afla la mijlocul ipotenuzei, raza acestui cerc este: 

 R =

Functii trigonometrice in ∆ dreptunghic ABC, unghiul C ascutit:

sin C = ,

cos C = ,

tg C = =

ctg C = ,

sin²C + cos²C = 1

Tabel de valori:

Teorema inaltimii:  patratul inaltimii = produsul proiectiilor catetelor pe ipotenuza

T. catetei: patratul catetei = produsul dintre ipotenuza si proiectia catetei pe ipotenuza

Definitii:

2 unghiuri sunt  complementare daca suma lor este

2 unghiuri sunt suplementare daca suma lor este

Triunghiuri congruente: LLL, LUL, ULU ( cazuri de congruenta )

Triunghiuri asemenea

∆ ABC  ∆PQR  daca au unghiurile egale  si laturile proportionale adica:

CERCUL

- diametrul cercului = coarda ce trece prin centrul cercului ( imparte cercul in 2 parti egale numite semicercuri) = 2R,          unde R = raza cercului

- lungimea cercului: L = 2, unde ( numar irational)

- aria discului ( adica a cercului ) :  A =

- lungimea arcului :               m(  ) = masura in grade a arcului AB

- aria sectorului circular marginit de arcul AB:  A_sector =

PATRULATERE CONVEXE

-Peri                 -Perimetrul unui patrulater convex este suma laturilor sale

- Suma unghiurilor intr-un patrulater convex este 360⁰.

Paralelogramul:  - are laturile opuse congruente si paralele

                   -are unghiurile opuse congruente si unghiurile alaturate suplementare

                   -diagonalele nu sunt egale, dar se injumatatesc

                   -aria: A =                 unde b= baza  si h= inaltime

Rombul:  = paralelogramul cu 2 laturi vecine egale, ( are toate proprietatile paralelogramului) si in plus, are diagonalele perpendiculare

          -aria: A =    unde  d₁,d₂ sunt diagonalele sale

Dreptunghiul  = paralelogramul cu un unghi drept, ( are toate proprietatile paralelogramului) si in plus, are diagonalele egale

                   -aria:  A =      unde l= latimea  si L= lungimea

Patrat  = dreptunghiul cu 2 laturi vecine egale sau spunem ca este rombul cu un unghi drept

          -aria: A = L²,     - diagonala  d = L , unde L = latura patratului

Trapez:  are 2 laturi opuse paralele ( numite baze) si 2 neparalele

          -Aria :  A = ,   B= baza mare, b= baza mica,  h= inaltime

          -linia mijlocie este paralala cu bazele si reprezinta semisuma bazelor

- trapez isoscel = trapezul cu laturile neparalele egale si cu unghiurile de la baza egale

-trapez dreptunghic = trapezul cu 2 unghiuri drepte

Patrulater inscriptibil :  este figura cu 4 laturi ce are varfurile pe un cerc

-un patrulater este numit inscriptibil daca unghiurile opuse sunt suplementare

-intr-un patrulater inscriptibil unghiul format de o diagonala si o latura este egal cu unghiul format de cealalta diagonala si latura opusa.

Hexagonul regulat = figura cu 6 laturi congruente ( si 6 unghiuri egale fiecare cu 120⁰)

-cele 3 diagonale principale impart hexagonul in 6 triunghiuri echilaterale

-intersectia diagonalelor este centrul cercului circumscris hexagonului cu raza R = L , distanta de la acest centru la o latura este apotema hexagonului : a₆ =  , unde L = latura hexagonuli regulat.