Elemente ale tetraedrului. Definitii. Notatii.

Elemente ale tetraedrului. Definitii. Notatii.

Denumirea tetraedrului provine de la cuvintele grecesti tetra= patru si hedra = fata

Definitie: Daca A, B, C, D sunt patru puncte necoplanare, reuniunea segmentelor [AM], unde M I[BCD] se numeste tetraedru si se noteaza cu [ABCD].

Punctele A, B, C, D se numesc varfurile tetraedrului, segmentele [AB], [AC], [AD], [BC}, [BD], [CD] se numesc muchii, iar suprafetele triunghiulare [ABC], [ABD], [ACD], [BCD] se numesc fetele tetraedrului [ABCD].

Reuniunea fetelor se numeste suprafata tetraedrala, iar punctele lui [ABCD] care nu apartin nici unei fete formeaza interiorul tetraedrului notat Int[ABCD].

Definitie: Segmentul determinat de un varf al tetraedrului si proiectia lui pe fata opusa se numeste inaltime din acel varf. Distanta de la un varf al tetraedrului la fata opusa varfului considerat se numeste inaltimea tetraedrului.

Pentru tetraedrul [ABCD] se vor utiliza urmatoarele notatii:

lungimile muchiilor: BC=a, CA=b, AB=c, AD=l, BD=m, CD=n

unghiurile diedre: C(AB)D vor fi renotate cu (AB)

unghiurile triedre: A(BCD) se noteaza cand nu vor fi confuzii cu (A)

aria fetei [ABC] se va nota S_ABC

planul(ABC), adica fata opusa lui D se noteaza D­­^f

G -centrul de greutate; G_A-centrul de greutate al fetei opuse varfului A, deci al fetei [BCD]

H- ortocentrul

h_A- lungimea inaltimii tetraedrului ce pleaca din A pe fata (BCD)

S(I,r)- sfera tangenta interiorului tetraedrului

S(J,r) sau S(O,R) sfera circumscrisa tetraedrului

C(O,R)- cerc circumscris unui triunghi

Alte notatii consacrate se vor evidentia pe parcurs.

Teorema 1: (Relatia dintre unghiurile fetelor unui tetraedru)

In orice unghi triedru avem:

(ab)+ (bc)> (ac);

(bc)+ (ca)> (ab);

(ac)+ (ab)> (cb) (1)

Demonstratie

Notam cu (ab) unghiul fetei determinata de dreptele a si b din triedrul cu varful D. Presupunem ca m( (ac)) este cea mai mare. Ducem in planul fetei (a,c) dreapta b' astfel incat m( (ab))=m( (ab'))

Pe dreptele a, b, b' luam punctele A, B, B' astfel incat BD=B'D si un punct oarecare AIa.

Planul (ABB') taie pe c in C.

Punctele A, B', C sunt coliniare (intersectia planului(ABB') cu fata (a,c) ). Triunghiurile ADB' si ADB sunt congruente si AB=AB'. Avem: B'C=AC - AB ;

Stim ca AC - AB < BC (in DABC o latura este mai mare decat diferenta celorlalte doua).

In triunghiurile BCD si B'CD cu laturile din varful D congruente, avem: B'C<BC, deci unghiurile opuse sunt in aceeasi relatie: (b'c) < (bc).

Deci : (ac)= (ab') + (b'c) < (ab) + (bc) si astfel avem relatia (1) dovedita.

Teorema 2:

Suma unghiurilor fetelor unui triedru este mai mica decat 360^o

Demonstratie

Aplicam teorema precedenta triedrelor

cu varfurile B, C respectiv D si avem:

m( (DBC))<m (DBA))+m( (ABC))

m( (BCD))<m( (BDA))+m( (CDA))

m( (BCD))<m( (ACB))+m( (ACD))

Adunandu-le membru cu membru si grupand convenabil obtinem:

180^o < (m( (DBA)) + m( (BDA))) + (m( (ABC))+m( (ACB)))+(m( (CDA))+ m( (ACD))

180^o < (180^o -m( (BAD))) + (180^o- m( (BAC))) + (180⁰-M( (CAD))) T

T m( (BAD)) + m( (BAC)) + m( (CAD)) <360^o.