MULTIMI - subiecte

MULTIMI

1.1 Introducere

Enunturi. Cunostintele matematice sunt exprimate prin diverse enunturi, scrise sau vorbite. Din punct de vedere gramatical, un enunt este o propozitie sau o fraza. O propozitie este o imbinare de cuvinte si simboluri care comunica o informatie, avand doua parti principale, subiectul si partea predicativa.

Exemple de enunturi:

"", "" ""

"", "" ""

"", "" ""

"", "" ""

"3 divide 15", "3 divide 16" "3 divide x, "

Toate enunturile de mai sus au partea predicativa bine determinata, dar in ceea ce priveste subiectul, se impart in 2 grupe.

Coloana din stanga contine enunturi cu subiect determinat. Despre fiecare enunt putem spune daca este adevarat sau fals.

Coloana din dreapta contine enunturi cu subiect nedeterminat. Fiecare enunt contine una sau mai multe variabile care iau valori intr-o multime D. Despre un enunt cu variabile nu putem spune daca este adevarat sau fals, dar, inlocuind variabilele cu numere din D, obtinem un enunt adevarat sau fals.

Propozitie, predicat. Constatam ca un enunt are o parte predicativa bine determinata dar subiectul poate fi determinat sau nedeterminat.

Prin urmare, avem enunturi care sunt adevarate sau false (cele cu subiectul determinat) si enunturi care nu au aceasta calitate (cele acre contin variabile).

O propozitie este un enunt in care subiectul este bine determinat. Enunturile coloanei din stanga sunt exemple de propozitii.

Un enunt care contine una sau mai multe variabile se numeste, in logica, predicat.

Un predicat este un enunt care are, printre subiectele sale, cel putin unul nedeterminat. Enunturile coloanei din drapta sunt exemple de predicate.

Valoarea de adevar a unei propozitii. In acest paragraf vom studia propozitiile numai din punt de vedere al calitatii lor de a fi adevarate sau false. Nu vom tine cont de semnificatie sau de structura gramaticala, considerand enuntul in ansamblu.

Din acest motiv, vom nota o propozitie, in intregul ei (fara a pune in evidenta subiectul, predicatul etc.), prin una dintre literele p, q, r, sau

Spunem ca o propozitie adevarata are valoarea de adevar "adevarul" (sau "1"), iar o propozitie falsa are valoarea de adevar "falsul" (sau "0").

1.2 Conectori logici

In matematica exista propozitii care contin cuvantul "nu", precum si perechi de propozitii legate prin "sau", "si", "daca - atunci", "daca si numai daca".

Vom analiza pe rand aceste tipuri de propozitii.

Propozitii care contin "nu"

Exemple. "15 nu este multiplu de 3", " nu este numar rational".

Negatia propozitiei p se noteaza cu (citim "non p")

Tabelul de adevar al negatiei este:

Propozitii legate prin "sau"

Exemple.

"", ""

"", "3 divide 197 sau 3 divide 241"

Disjunctia propozitiilor p,q se noteaza

(citim "p sau q"). Tabelul de adevar al disjunctiei este:

Propozitii legate prin "si"

Exemple.

"", ""

"", "3 divide 197 si 3 divide 241"

Conjunctia propozitiilor p,q se noteaza

(citim "p si q"). Tabelul de adevar al conjunctiei este:

Propozitii legate prin "daca - atunci"

Multe propozitii din matematica sau din limbajul curent au forma "Daca p, atunci q" (se mai supune "p implica q").

Un exemplu: "Daca ploua, atunci pavajul se uda"

Notam p: "Ploua" si q: "Pavajul se uda". Sa determinam valoarea de adevar a propozitiei "Daca p, atunci q" in functie de valorile de adevar ale propozitiilor  p, q, notate .

Cazul . Stim din experienta ca, in acest caz, propozitia "Daca p, atunci q" este adevarata.

Cazul . Daca nici nu ploua, nici pavajul nu se uda, putem considera propozitia "Daca p, atunci q" ca fiind adevarata. Intr-adevar, propozitia "Daca p, atunci q" nu afirma ca va ploua sau ca se uda pavajul, ci numai ca daca ploua, atunci se uda pavajul.

Cazul . Situatia cand, desi ploua, pavajul nu se uda, este contrara experientei nostre. Admitem, in acest caz, ca propozitia "Daca p, atunci q"este falsa.

Cazul . Daca nu ploua, pavajul se poate uda din alte motive. Nu avem nici un motiv sa consideram falsa propozitia "Daca p, atunci q", deci trebuie sa admitem ca ea este adevarata.

Implicatia propozitilor p, q se noteaza

(citim " p implica q" sau "daca p, atunci q").

Tabelul de adevar al implicatiei este:

Propozitii legate prin "daca si numai daca"

Fie doua propozitii p, q si implicatia lor . Propozitia se numeste reciproca implicatiei . Despre si spunem ca sunt implicatii reciproce.

Echivalenta propozitiilor p, q se noteaza (citim "p echivalent q" sau " p daca si numai daca q").

Avand in vedere tabelul de adevar al conjunctiei, putem construi tabelul de adevar al echivalentei.

Se constata ca propozitia este adevarata in doua cazuri, anume cand p, q sunt ambele adevarate sau ambele false, si este falsa daca p, q nu au aceeasi valoare de adevar.

1.3 Propozitii simple, propozitii compuse, formule.

O propozitie construita din alte propozitii cu ajutorul conectorilor logici se numeste propozitie compusa. O propozitie in alcatuirea careia nu intra alte propozitii este numita propozitie simpla.

Pentru a rationa corect trebuie sa cunoastem forma logica a propozitiilor cu care lucram. A descrie forma logica a unei propozitii inseamna a identifica propozitiile din care se compune si conectorii logici care intrevin.

Putem considera, intr-o prima etapa de analiza, ca o propozitie compusa, notata p, poate avea una dintre cele cinci forme logice descrise anterior, deci poate fi de forma:

• , negatia unei alte propozitii, q;
• , respectiv conjunctia, disjunctia, implicatia sau echivalenta a doua propozitii r,s.