Difeomorfisme
de clasa . Teorema functiilor implicite
1. Definitie. Fie multimile deschise . Functia
se numeste difeomorfism de clasa
(sau
difeomorfism) daca:
(i)
. ;
(ii). este functie
bijectiva (exista inversa
a.i.
si
);
(iii). este de clasa
pe
.
2. Observatie.
Orice difeomorfism de clasa este omeomorfism
(adica,
este functie continua;
functie
bijectiva;
este functie
continua).
Reciproc nu este adevarat. De exemplu,
functia , definita prin
,
este de clasa
pe
, este bijectiva, dar functia inversa
, definita prin
, este continua pe
insa nu este de
clasa
pe
deoarece
nu este
diferentiabila in origine.
Mai general, ,
este omeomorfism, dar
nu este difeomorfism pe
.
Exemple: (1).
Fie este un punct fixat.
Functia
, definita prin
(
defineste translatia
cu
,
, pe axa reala). Atunci
este o izometrie (!) (se verifica
usor) si chiar difeomorfism
pe
.
Intr-adevar, si functia
inversa,
, definita prin
, sunt de clasa
.
. Fie este un vector fixat.
Functia vectoriala de variabila vectoriala
, definita prin
, se numeste translatia
in spatiul vectorial
cu vectorul
;
este o izometrie (!) (se verifica
usor) si chiar difeomorfism
pe
. In acest caz spunem ca
realizeaza o transformare regulata (!) a
spatiului vectorial
in el insusi.
. Fie domeniile plane si
(multimi deschise
si conexe). Aplicatia (functia)
, definita prin
, este un difeomorfism pe
.
Intr-adevar, fie , unde
si
reprezinta functiile
componente ale lui
. Atunci
sunt de clasa
exista
si
si aceste
functii sunt continue pe
. Prin calcul direct, obtinem
si
,
si deci,
. Observam ca functia
este bijectiva
si functia inversa
este definita
prin
. Asadar,
si
si cum suntem
interesati de restrictia lui
la domeniul
, atunci din
obtinem
restrictia
. In consecinta,
si atunci
este o bijectie
si evident functia inversa
este de clasa
.
Exercitiul 1. Fie si
multimi deschise
in
si
si
difeomorfisme. Atunci
este un difeomorfism
pe
.
In continuare studiem posibilitatea derivarii aplicatiei
inverse a unei functii date (adica o generalizarea rezultatului de la
aplicatii de o singura variabila, ,
bijectiva si
derivabila pe
).
3. Lema. Fie si
doua spatii
euclidiene finit dimensionale si multimile deschise
si
si fie
,
omeomorfism,
diferentiabila intr-un punct
. Atunci proprietatile urmatoare sunt
echivalente:
Functia este diferentiabila in
.
Aplicatia lineara este bijectiva,
. Mai mult,
.
4. Observatie.
In cazul functiilor de o variabila reala, , daca
derivabila in
si
, atunci
si
. (Lema 3 este o generalizare a acestui rezultat).
5. Observatie. Daca
alegem ,
, atunci din definitia omeomorfismului rezulta
.
Demonstratie. "". Deoarece
omeomorfism atunci
este functie
continua, bijectiva si functia inversa
este continua.
Avem
si
si deoarece
diferentiabila intr-un punct
, putem scrie (compunerile de aplicatii lineare)
.
Cum este
diferentiabila in
avem
.
Din aceste relatii deducem ca aplicatia este bijectiva,
avand inversa
(vezi corolarul 9.27,
unde
). In cazul functiilor de o variabila reala
avem
.
"". Fie
,
aplicatie
bijectiva. Atunci cele doua spatii
si
au aceeasi
dimensiune si exista aplicatia inversa
. Deoarece functia
este
diferentiabila in
, atunci exista functia
,
continua in
si
a.i. sa avem
, pentru orice
. (16)
Pentru a arata ca functia
inversa este
diferentiabila in
, este suficient sa aratam ca
. (17)
Daca notam cu atunci avem
si relatia
(17) se scrie sub forma echivalenta
. (17')
In relatia (16), scrisa sub forma , aplicam
si obtinem
, (*)
de unde rezulta , care la norma se transforma in
.
Daca se trece la norma in (17') si se foloseste ultima relatie, atunci va trebui sa demonstram ca
. (18)
Trecand relatia (*) la norma avem
,
de unde deducem
. (19)
Folosind (19) cat si inegalitatea (renuntam la
indicele de norma), vom observa ca relatia (18) rezulta din
majorarile
(20)
Pentru calculul limitei in (20) s-a folosit faptul
ca .
6. Teorema. (teorema
de caracterizare a difeomorfismelor) . Fie si
doua multimi
deschise in spatiile euclidiene finit dimensionale
si respectiv
si
omeomorfism de
clasa
. Atunci proprietatile urmatoare sunt echivalente:
Functia este
difeomorfism pe
;
Aplicatia inversa este
diferentiabila in orice punct din
;
Aplicatia lineara , este bijectiva (deci,
),
(adica, jacobianul
lui
este nenul,
).
7. Observatie.
Aplicatia lineara este bijectiva
matricea
asociata lui
(care corespunde la
doua baze fixate in
respectiv
) este inversabila
.
Fie . Afirmatia "
este bijectiva
" se poate exprima prin:
este bijectiva
matricea jacobiana
asociata lui
in orice
este inversabila
in orice punct
jacobialul lui
,
.
Demonstratie. Implicatia "" rezulta direct din definitie. Deci functia
este
diferentiabila si aplicatia lineara
este continua.
. Functia
fiind
diferentiabila peste tot in
atunci
exista unic
a.i.
este
diferentiabila
si potrivit lemei
3, rezulta ca
este bijectiva
oricare ar fi
si
cat si
.
. Din lema 3 rezulta ca
(care exista) este
diferentiabila in
. Deci, aplicatia
exista si vom
arata ca
este continua.
Pentru a arata aceasta, fie , atunci
, unde functiile
sunt continue si atunci
jacobianul lui
,
, este functie continua oricare ar fi
. Aplicatia lineara asociata matricii
are forma
si
.
Asadar, matricea este inversabila
si putem scrie
. Matricea
este chiar
si aceasta se
calculeaza dupa relatii de forma
,
deci sunt functii
continue pe
.
Deoarece avem
. Deci,
si avem
este formata din
functii continue definite pe
cu valori reale.
8. Definitie. Fie si
. Functia
se numeste
difeomorfism local in
daca
exista o vecinatate
si o
vecinatate
astfel incat
aplicatia
sa fie
difeomorfism.
9. Observatie. (i). Orice difeomorfism local este omeomorfism local de spatii topologice.
(ii).
Daca este
difeomorfism local in
atunci
, unde
si
, iar aplicatia lineara
este bijectiva.
Exemplul (3) pune in evidenta dificultatile (uneori,
chiar imposibilitatea) de calcul al aplicatiei inverse si cu atat mai
mult posibilitatea de a arata ca este un difeomorfism.
Raspunsul la aceasta problema este dat de urmatoarea teorema
de caracterizare a
difeomorfismelor
locale:
Teorema. (Teorema
de inversiune locala). Fie , functia
si
. Proprietatile urmatoare sunt echivalente:
(1). Functia este
difeomorfism local in
.
(2). Aplicatia lineara este bijectiva
(adica
).
Altfel spus, daca multime
deschisa,
,
si
atunci exista o
vecinatate
,
, este difeomorfism. Mai mult
si daca
atunci
.
Demonstratie. Analizam cazul . Implicatia "
" este evidenta.
"". Deoarece
atunci
este continua pe
si cum
, putem presupune ca
. Asadar, exista o vecinatate
a. i.
. Atunci restrictia lui
la
, functia
, este continua, crescatoare si in
consecinta, functia
este bijectiva.
Aratam ca functia
inversa este
diferentiabila pe
. Fie
oarecare, dar fixat si
unicul punct
a.i.
. Atunci
si deci . Cum
a fost ales oarecare,
rezulta ca aplicatia
, unde
, este inversa aplicatiei
si aceasta este
continua pe
. Deoarece
este multime
deschisa,
este continua
si cum
rezulta ca
multimea
este o vecinatate
a lui
.
11. Observatie. Aceasta implicatie rezulta direct din lema 3.
Functii implicite
Functiile definite cu ajutorul ecuatiilor (relatiilor) se numesc functii definite implicit, sau functii implicite.
(a). Cazul unei ecuatii care defineste implicit o functie de o variabila
Fie ecuatia
,
(1)
definita de functia de doua
variabile ,
. Vom nota cu
proiectia
multimii
pe axa
,
si fie
.
12.
Definitie. Functia
,
, se numeste solutie,
in raport cu
, a ecuatiei
pe multimea
daca si
numai daca
, oricare ar fi
. (2)
13. Observatie. Asemanator ca mai sus, se pot defini
solutii in raport cu variabila . In general, o ecuatie
poate avea (in raport
cu una din variabile) una sau mai multe solutii pe o multime
sau nu poate avea
solutii pe acea multime.
Exemple:
. Fie functia , definita pe
cu valori reale
si ecuatia
, adica
. Evident, ecuatia nu are solutii, in raport cu
, pentru orice
.
Fie
multimea . Aratam ca ecuatia
are in raport cu
o infinitate de
solutii pentru orice
. Pentru aceasta este suficient sa consideram
multimile disjuncte
si
, astfel incat
. Pentru ca exista o infinitate de
posibilitati in alegerea multimilor
si
, atunci exista o infinitate de moduri de a construi
functii
, definite prin
Deoarece se verifica identitatea pe
, atunci functia
este o solutie a
ecuatiei
.
Este important sa retinem ca
dintre toate solutiile in raport cu ale ecuatiei
date, numai doua sunt definite
de functii continue pe
si anume
si respectiv,
,
;
iar, dintre aceste doua solutii
numai una si anume , verifica "conditia
initiala
".
In acest ultim caz, cand exista o unica
functie care verifica ecuatia data si eventual
anumite conditii suplimentare spunem ca functia este definita de ecuatia
implicita
.
. Functia cu
, defineste ecuatia
. Este usor de vazut ca aceasta
ecuatie nu are solutii reale nici in raport cu
nici in raport cu
.
. Ecuatia ,
are o unica solutie in raport cu
, pentru orice
si anume functia
; evident, aceasta ecuatie are o unica solutie in raport cu
, pentru orice
si anume
functia
.
b). Cazul unei ecuatii care defineste implicit o functie de mai multe variabile.
Consideram ecuatia
, (3)
definita de functia .
14.
Definitie. O
functie de -variabile
,
se numeste solutie in raport cu
a ecuatiei (3),
pe multimea
, daca
oricare ar fi
. (4)
Vom observa ca daca folosim
notatia atunci ecuatia (3)
poate fi scrisa sub forma
, iar solutia
se scrie
.
Asadar, putem considera numai
ecuatii de forma , unde
este o variabila
reala sau vectoriala.
Daca exista o unica
functie care verifica
ecuatia data si eventual anumite conditii suplimentare spunem ca aceasta functie
este definita implicit de ecuatia
, sau ca prin
rezolvarea ecuatiei
in raport cu
, obtinem o unica functie
.
Conditii suficiente de existenta functiilor implicite.
15.
Propozitie. Fie
functia ,
, unde
este o multime
deschisa care contine punctul
interior
.
Daca se verifica conditiile:
1). ;
2). exista o vecinatate in
si o
vecinatate
in
, a.i. punctul
si pentru orice
fixat, functia
(privita ca
functie de
) este continua si strict monotona pe
;
3). pentru orice fixat, functia
(privita ca
functie de variabila vectoriala
) este continua in
;
atunci exista o vecinatate si o
vecinatate
, a.i.
si o unica
functie implicita
, continua in
, care verifica egalitatea
si astfel incat
oricare ar fi
.
16. Observatie.
Propozitia afirma ca daca se verifica ecuatia , atunci pentru
apartinand unei
anumite vecinatati a lui
, ecuatia
are o unica solutie, adica din
ecuatia
putem determina
implicit pe
ca functie de
, de forma
.
Demonstratie. Alegem a.i.
si notam
. Functia
, ca functie de variabila reala
este strict
monotona pe
. Deoarece
cu
, deducem ca functia
are semne diferite in
si
. Pentru a fixa ideile, sa presupunem ca
si
. Datorita ipotezei 3), functia
este continua in
si deoarece avem
, atunci exista o vecinatate
a lui
astfel incat
pentru orice
. Un rationament asemanator ne conduce la
concluzia ca exista o vecinatate
a lui
astfel incat
pentru orice
. Daca notam
, atunci
este o vecinatate
a lui
si avem
pentru orice
.
Fie un punct oarecare, dar
fixat. Datorita ipotezei 2), functia
, privita ca functie de variabila
, este continua si monotona pe
. Din continuitate deducem ca are proprietatea lui
Darboux, iar din inegalitatile
si
rezulta ca
exista un unic punct
astfel incat
. Deoarece
a fost ales arbitrar,
rezulta ca pentru orice
fixat, exista un
unic punct (!)
, astfel incat
. Pentru
, avem
si cum
este unicul punct cu
aceasta proprietate, deducem ca
.
Aratam ca
functia este continua in
. Pentru aceasta, vom observa ca vecinatatea
a fost aleasa
arbitrar si din cele aratate mai inainte rezulta ca pentru
orice vecinatate
exista o
vecinatate
, astfel incat pentru orice
sa avem
. Deci functia
este continua in
.
17. Observatie. Daca in locul ipotezei 3) din propozitia
15, cerem ca pentru orice fixat, functia
(privita ca
functie de variabila vectoriala
) sa fie continua pe
(nu numai in punctul
), atunci functia implicita
este continua pe
.
18.
Teorema functiilor implicite. Fie o multime
deschisa care contine punctul
interior
si functia
, care verifica
conditiile:
1) ;
2) functia are toate derivatele
partiale,
continue in
, deci acestea sunt continue intr-o vecinatate a
punctului
;
3) ;
atunci exista o vecinatate a lui
si o
vecinatate
a lui
si o unica functie
astfel incat
si
pentru orice
;
Mai mult, vecinatatile si
pot fi alese astfel
incat functia
sa fie de
clasa
si
oricare ar fi
si pentru orice
indice
sa avem
, oricare ar fi
. (5)
19. Observatie.
Teorema afirma ca daca se verifica ecuatia , atunci pentru orice
apartinand unei
anumite vecinatati a lui
, ecuatia
are o unica solutie adica, din
ecuatia
putem determina
explicit pe
ca functie de
,
; in plus, datorita ipotezelor impuse,
si derivatele
partiale ale functiei
sunt date de
relatiile (5).
Demonstratie. Deoarece este functie
continua si nenula in
, atunci exista o intreaga vecinatate
astfel incat
, oricare ar fi
. Din ipoteza 2) rezulta ca functia
este
diferentiabila in
, deci continua in acest punct. Asadar, putem alege
vecinatatea
a.i. functia
sa fie
continua pe
. In particular, pentru orice
fixat, functia
este continua in
(se poate arata ca
este continua chiar pe
).
Fie fixat. Atunci
functia
, ca functie de variabila
, are derivata nenula pe
, deci este strict monotona pe
. Asadar, ipotezele propozitiei 3 sunt verificate
si atunci exista o unica
functie
a. i.
si
pentru orice
.
Pentru a arata ca functia are derivatele
partiale continue pe
vom arata mai
intai ca functia
este
diferentiabila pe
. Fie
si
. Deoarece functia
este
diferentiabila pe
atunci exista
functiile
si
continue, astfel incat
si
si putem scrie
relatia
.
In particular, pentru si
de forma
, atunci
si
si egalitatea
precedenta devine
. (*)
Cum functia este continua in
si functiile
si
sunt continue in
, deducem ca functiile compuse
si
sunt continue in
si
;
.
Deoarece , atunci exista o vecinatate
astfel incat pentru
orice
sa avem
. Din egalitatea (*) rezulta
,
unde . Deoarece
rezulta ca
functia
este
diferentiabila in punctul
si are derivatele
partiale continue in
definite de
relatiile
.
Deoarece, punctul a fost ales arbitrar
in
, rezulta ca functia
este
diferentiabila in orice punct
si derivatele
sale partiale sunt date de relatiile (5).
20. Observatie.
Daca functia este de clasa
, atunci functia implicita
este de clasa
si derivatele
sale partiale de ordin superior se construiesc recurent.
Exemple
Ecuatia
, defineste implicit functia
. Sa se calculeze derivatele
si
, stiind ca
.
Solutie. Fie functia . Functia implicita
exista intr-o
vecinatate punctelor cu proprietatea
, altfel spus, in punctele
pentru care
. Cu aceasta presupunere putem scrie:
.
Reamintim ca pentru calculul derivatei a
doua, va trebui sa folosim in expresia primei derivate faptul ca este functie de
, adica
apoi vom deriva ca raport de functii. Avem
.
Ecuatia
, unde
, defineste implicit functia
. Calculati
si
.
Solutie. Functia implicita exista in
vecinatatea punctelor din
cu proprietatea
, adica
. De exemplu,
poate fi un astfel de
punct. In aceasta ipoteza sunt indeplinite cerintele teoremei
functiilor implicite si atunci se pot calcula derivatele partiale
ale functiei
, derivand relatia
in raport cu
respectiv cu
. Avem
,
de unde obtinem .
,
de unde se obtine.
Vom
observa ca putem aplica direct formulele (5) si evident, obtinem
aceleasi relatii intr-o vecinatate a punctului :
.
21. Teorema functiilor implicite (Cazul
general). Fie o multime deschisa si
si
,
, o functie de clasa
astfel incat sa se
verifice conditiile:
(1) ;
(2) ,
atunci
exista o unica aplicatie definita pe o
vecinatate deschisa convenabila
,
,
de clasa
a.i.
si
restrictia lui
la multimea
,
, verifica ecuatia
, oricare ar fi
.
22. Observatie.
Teorema afirma ca daca ecuatia , atunci intr-o vecinatate
, ecuatia
determina
implicit pe
ca functie de
,
.
Demonstratie. Consideram functia , definita astfel:
,
,
.
Atunci ecuatia , unde
,
, se scrie:
si avem
de
unde deducem ca .
Asadar, aplicatia lineara este bijectiva
si potrivit teoremei de inversiune locala rezulta ca
este un
difeomorfism local in
.
Cum atunci, din teorema de
inversiune locala, rezulta ca exista vecinatatea
in
si
vecinatatea
in
astfel ca
si a.i.
sa fie
difeomorfism.
Fie functia aplicatia
inversa a lui
. Deoarece exista
in
astfel incat
, atunci
este de clasa
. Functia
,
, definita prin componentele sale
,
, este functia cautata.
Transformari
punctuale in spatiul euclidian
Consideram multimea deschisa . Fie functiile
care fac sa
corespunda punctului
un punct
situat intr-un anumit
domeniu
, notate
(1)
Figura 1.Transformare punctuala in plan. |
Functia de variabile
vectoriale cu valori vectoriale definita prin
, (3.2)
care asociaza la orice punct un unic punct
se numeste transformare punctuala.
Functiile
si
se numesc componentele reale ale
transformarii punctuale
.
Un interes deosebit il reprezinta transformarile biunivoce care apartin unei amumite clase de netezime.
23.
Definitie. Functia
se numeste difeomorfism
de clasa
(sau
difeomorfism pe
) daca sunt verificate conditiile:
(1) ;
(2) este aplicatie
bijectiva de la
la
(exista
functia inversa
);
functia inversa notata este de clasa
.
Din definitie rezulta ca orice difeomorfism de clasa
este omeomorfism pe
.
(Reamintim ca functia se numeste omeomorfism pe
daca
verifica proprietatile:
este functie
continua pe
;
este bijectiva; functia inversa
este continua pe
).
24.
Definitie. Fie o multime
deschisa din
. Functia vectoriala
se numeste transformare regulata in punctul
, daca si numai daca sunt verificate
conditiile:
exista o vecinatate ,
a.i. functiile
sunt derivabile
si au derivatele partiale continue pe
(adica,
);
Determinantul functional
.
Altfel spus, functia vectoriala este transformare regulata in punctul
, daca si numai daca exista o vecinatate
,
a.i. restrictia
lui
la
,
, defineste un difeomorfism pe
(vezi teorema 10).
Transformata se numeste
transformata regulata pe
daca este
transformata regulata in orice punct
.
Vom observa ca daca este transformare
regulata in punctul
, atunci
este transformare
regulata intr-o intreaga vecinatate a punctului
. Intr-adevar, deoarece
intr-o vecinatate
a punctului
, atunci jacobianul este functie continua in
si diferit de
zero in acest punct; deci exista o vecinatate
a punctului
pe care jacobianul
este nenul in vecinatatea
a lui
. Asadar, in vecinatatea
avem
si jacobianul
este nenul, deci
este transformare
regulata in
.
25.
Propozitie. Jacobianul
unei transformari regulate in domeniul pastreaza
acelasi semn in orice punct
.
Demonstratie. Deoarece transformarea este regulata
pe domeniul (multime conexa si deschisa), atunci jacobianul transformarii este
functie continua pe
. Daca jacobianul ar lua valori de semne diferite in
doua puncte distincte din
, atunci exista un punct
a.i.
ceea ce ar contrazice
ipoteza ca transformarea este regulata in
.
Exemplul
1. Fie si functiile
Vom arata ca relatiile asociaza la orice
punct
un unic punct
unde
.
(i) Multimea este inchisa
si marginita. Daca
este frontiera
domeniului
(vezi fig. 2), atunci
. Analog, definim
, unde cu
s-a notat frontiera
domeniului
; Frontierele
si
sunt curbe plane
simple inchise evident, considerate cu orientarile lor. Definim
functia
. Se verifica usor ca
.
Figura 2. |
(ii) Jacobianul transformarii este nenul in fiecare
punct din
:
.
Atunci functia duce frontiera
a domeniului
in frontiera
a domeniului
si deoarece
jacobianul este negativ, atunci transformarea
schimba
orientarile acestor frontiere. Cum jacobianul este nenul pe
, atunci functia
realizeaza o transformare regulata a domeniului
in domeniul
.
Inversa transformarii ,
, are forma
si jacobianul transformarii inverse are valoarea
, in orice punct din
.
Exemplul 2. Transformarea de coordonate polare in plan (vezi Fig. 3)
,
,
defineste functia vectoriala ,
, care are jacobianul
. Se observa ca jacobianul acestei
transformari este nenul in toate punctele din spatiul euclidian
bidimensional cu exceptia originii. Se verifica direct ca
transformarea
este este
regulata pe multimea deschisa si conexa
.
Transformarea inversa, , definita de functiile coordonate
, oricare ar fi
,
se scrie . Functia
este de clasa
pe
si avem
.
Functia , definita de relatiile
, deoarece are jacobianul pozitiv pentru
realizeaza o
transformare regulata a domeniului
pe domeniul
.
26. Observatie. Transformarea poate fi considerata regulata in tot planul; originea este punct de neregularitate impus de alegerea coordonatelor polare.
Figura3. |
Dependenta si independenta functionala
27. Fie o multime deschisa si
,
(1)
un sistem de (
) functii reale care depind de
variabile independente
. Presupunem ca functiile
sunt de clasa
pe
.
28.
Definitie. Sistemul de
functii se numeste functional dependent pe
(sau functiile
sunt dependente functional pe
) daca cel putin valoarea uneia dintre aceste
functii, sa zicem,
, se poate exprima unic
in
ca "functie" de
valorile celorlalte functii,
;
Altfel spus, sa existe o functie , definita prin relatia
, (2)
astfel incat relatia (1.2) se transforma in identitate in
raport cu din
daca inlocuim
,
; adica se verifica relatia
oricare ar fi
. (2')
Daca relatia (2) este
verificata (sau (2')) atunci spunem ca functia este dependenta functional de
functiile
, pe multimea deschisa
.
Daca in , sau in nici o submultime din
, nu are loc o identitate de tipul (2) atunci functiile
sistemului (1) se numesc independente
in
.
29. Observatie.
(a). Daca, in particular,
functia se reduce la o
constanta, atunci evident ea depinde de celelalte functii si
scriem
.
(b).
Dependenta functionala se refera la faptul ca una
dintre functii se exprima ca functie de celelalte functii
si aceasta notiune este o generalizare a dependentei
lineare; sistemul de functii este linear dependent pe
daca si
numai daca exista numerele reale
, nu toate nule, sa zicem
, a.i.
, (3)
unde "" este functia identic nula (adica,
), sau echivalent,
. (3')
Daca impartim cu in (1.3') obtinem
, (3")
care exprima, evident, dependenta
functionala a functiei de functiile
.
Exemplul 1. Fie
,
unde .
Se verifica usor ca in intreg
spatiu are loc relatia
. Asadar, daca definim
, prin
, atunci obtinem
sau
.
Deci functiile sunt functional
dependente in
.
In multe cazuri este foarte dificil de stabilit o relatie functionala intre functiile unui sistem dat, evident daca o astfel de relatie exista.
Rezolvarea problemei dependentei sau independentei functionale a sistemului de functii (1) conduce la considerarea matricilor Jacobi, formate cu derivatele partiale in raport cu toate variabilele independente ale functiilor sistemului considerat.
Fie functia vectoriala , definita prin componentele
. Consideram matricea
jacobiana asociata lui
in
. (4)
30.
Teorema. Fie o multime deschisa si
,
,
(
) functii de clasa
. Daca rangul matricii
jacobiene (4) asociate functiei
,
in orice punct din
este egal cu
(
) atunci functiile
sunt independente in multimea
deschisa
.
Demonstratie. Presupunem ca una din functii,
sa zicem, , se exprima in
, cu ajutorul celorlalte functii,
, printr-o relatie de forma (2'):
oricare ar fi
. (*)
Atunci, prin derivarea in raport cu fiecare
din variabilele independente a acestei
identitati, obtinem sistemul de
identitati
(care pot fi eventual verificate si numai pe o parte a multimii
):
. (5)
Fie a i. sistemul (5)
sa fie verificat in punctul
. Atunci sistemul (5) arata ca in punctul
, ultima linie a matricii jacobiene (4) este o
combinatie lineara a primelor
linii inmultite
respectiv cu factorii
si deci
, ceea ce contrazice ipoteza teoremei.
Asadar, identitatea (*) nu poate avea loc.
Vom prezenta fara demonstratie urmatoarea
31.
Teorema. Fie o multime deschisa si
,
,
(
) functii de clasa
. Daca, intr-un punct
, rangul matricii
jacobiene (4) asociate functiei vectoriale
,
este egal cu
, adica,
, atunci exista o vecinatate
,
si
functii, sa
zicem,
, care sunt independente
in vecinatatea
, iar celelalte functii
(desigur, cand
) sunt functional dependente de
, adica, pentru orice
au loc relatiile:
Exemplul 2. Analizam sistemul de functii definit in exemplul 1. Fie
,
unde .
Atunci si matricea lui
Jacobi are forma
.
Daca adunam la linia
a treia elementele liniei a doua inmultite cu , obtinem o linie proportionala cu prima.
Asadar,
si deci
functiile
sunt functional
dependente in
. Se poate arata ca
si atunci
doua functii sunt independente, iar a treia este functional
dependenta de aceste doua functii.
Exemplul 3. Fie sistemul de functii
unde . Stabiliti dependenta sau independenta
sistemului de functii in punctul
.
Indicatie. Fie . Calculam matricea jacobiana
:
.
Atunci, in punctul avem
si
; deoarece
atunci
si, in
consecinta, exista o vecinatate
a punctului
a.i. functiile
sa fie
independente in
.
Functia este dependenta
functional de functiile
si vom scrie
.
Extreme locale conditionate (extreme cu legaturi)
32. Fie o multime deschisa,
si functia
reala
,
.
Consideram sistemul de
,
, functii reale definite pe multimea
,
,
si fie
submultimea punctelor
din
care satisfac restrictiile sau legaturile sau ecuatiile
cuplate
(1)
Asadar, reprezinta
multimea solutiilor sistemului (1), situate in
.
33.
Definitie. Punctul este maxim local conditionat (respectiv
un minim local conditionat) al functiei
restrictionata la multimea
sau conditionat
de legaturile (1), daca exista o vecinatate
, a.i. sa avem
respectiv
. (2)
A considera restrictia
functiei la multimea
inseamna a
considera valorile lui
numai pentru acele
valori ale argumentelor
care sunt solutii
ale sistemului (1). Altfel spus, cele
variabile independente
sunt legate intre ele
prin cele
relatii (1).
In continuare prezentam conditii
necesare pentru ca punctul sa fie extrem
conditionat al lui
.
34.
Teorema. Presupunem
ca punctul este solutie a
sistemului (1) si intr-o vecinatate
functiile
si
sunt de clasa
(au derivate
partiale continue pe
). Mai mult, presupunem ca in punctul
matricea
functionala
, (3)
are rangul (
este numarul legaturilor independente din (1)),
.
Daca este un punct de extrem local al lui
, conditionat de sistemul (1), atunci exista
numere
astfel incat sa
avem:
(4)
Demonstratie. Deoarece matricea functionala are, in punctul
, rangul
atunci exista un
determinant de ordin
al acestei matrice
care este nenul in punctul
. Fara a restrange generalitatea, putem presupune
ca
.
Atunci sistemul (1) poate fi rezolvat in
raport cu variabilele intr-o vecinatate
a punctului
. Intr-adevar, prin ipoteza avem
, adica functia
se anuleaza in
punctul
si are derivate
partiale continue intr-o vecinatate a punctului
, iar jacobianul acestor functii in raport cu
variabilele
este nenul in
. Din teorema functiilor implicite, rezulta ca
exista o vecinatate
a punctului
si o
vecinatate
a punctului
si functiile
unic determinate, de clasa
pe
,
astfel incat
(5)
verifica conditiile si care sunt
solutii ale sistemului (1), adica
(6)
Este evident ca functiile , care apar in sistemul (6), depind numai de variabilele
independente
si
diferentialele acestor functii sunt nule pe
, deci ele se anuleaza in punctul
. Asadar, putem scrie relatiile:
(7)
In relatiile (7), reprezinta
diferentialele functiilor
calculate in
,
sunt variabile
independente, iar derivatele partiale ale functiilor
sunt calculate in
punctul
.
Substituim functiile in locul variabilele
corespunzatoare
in
. Expresia
obtinuta este o functie compusa (pe care o notam tot
cu
) care depinde numai de variabilele independente
:
(8)
Aratam ca daca functia
are un maxim (minim)
local conditionat de sistemul (1) in punctul
, atunci
are in punctul
un maxim (minim)
obisnuit.
Intr-adevar, avem si presupunand de
exemplu, ca
este punct de maxim
conditionat pentru
, atunci
,
in orice punct care verifica
sistemul (1) si este situat intr-o anumita vecinatate a lui
. Pentru
, luand valorile
date de (5)
rezulta, potrivit relatiilor (6), ca punctul
verifica sistemul
(1), iar inegalitatea de mai sus se scrie, pe baza notatiei (8), sub forma
deci, este maxim local pentru
si atunci este
necesar ca in punctul
sa avem
(9)
De aici deducem ca
si deci, punctul este punct stationar pentru
.
In consecinta, punctul este punct stationar pentru
conditionat de sistemul (1) si atunci avem
(10)
Desigur, aici reprezinta
diferentialele functiilor
calculate in punctul
, iar
sunt variabile
independente.
Derivatele partiale ale functiei sunt calculate in
punctul
.
Fie numerele reale , deocamdata oarecare. Inmultind respectiv
ecuatiile sistemului (7) cu aceste numere si apoi le adunam cu
(10) rezulta
(11)
Determinam numerele a.i. incat
coeficientii diferentialelor
sa se anuleze.
Asadar, avem
(4')
si cum determinantul coeficientilor lui este nenul in punctul
(vezi
), rezulta ca aceste numere sunt bine determinate.
Cu valorile gasite pentru
relatia (11)
devine
(12)
Aceasta relatie are loc pentru
orice valori ale variabilelor independente daca si
numai daca coeficientii acestor variabile se anuleaza:
(4')
Sistemele (4') si (4') formeaza sistemul (4) si teorema este demonstrata.
35. Observatie. Orice
punct , solutie a sistemului (1) in care matricea
functionala
are rangul
si care
verifica sistemul (4) pentru anumite valori
, se numeste punct
stationar al functiei
conditionat de sistemul (1); coeficientii
se numesc multiplicatorii lui Lagrange. este de la
sine inteles ca valorile parametrilor
se schimba
odata cu punctul stationar
.
36. Observatie. Teorema afirma ca orice punct de extrem conditionat este un punct stationar conditionat. Reciproca nu este, in general, adevarata: adica exista puncte stationare conditionate in care functia nu are extreme conditionate.
37. Observatie.
Determinarea punctelor stationare conditionate, prin aceasta
metoda, se reduce la aflarea solutiilor a ecuatii (9) cu
necunoscutele
dupa ce s-a
rezolvat sistemul (1) in necunoscutele
. In cele mai multe cazuri aceasta metoda este
practic imposibil de aplicat la rezolvarea anumitor probleme.
38. O metoda mai simpla pentru determinarea punctelor stationare conditionate este asa numita metoda multiplicatorilor lui Lagrange.
Vom observa ca in sistemul (4) apar tocmai derivatele partiale ale functiei
,
definita pentru orice .
Asadar, metoda multiplicatorilor lui Lagrange are la baza functia ajutatoare (numita lagrangian)
, (13)
definita pentru orice punct , unde
sunt constante reale (numite
multiplicatorii lui Lagrange), deocamdata
necunoscute, care urmeaza a fi
determinate odata cu coordonatele punctelor stationare
.
In acest scop vom privi functia
auxiliara (functia lui Lagrange) definita in (13)
ca functie care depinde de
variabilele; cele
variabile independente
si
parametrii
.
Presupunem ca functia de clasa
. Punctul
din
este un punct stationar pentru
conditionat de
legaturile definite de sistemul (1), unde
,
sunt functii de
clasa
si
daca si
numai daca punctul
este punct stationar liber pentru
functia
.
Insa, pentru functia problema
determinarii punctelor de extrem
liber este cunoscuta.
Asadar, pentru determinarea punctelor
stationare ale lui conditionate de
sistemul (1) procedam astfel:
Pasul 1. Se defineste functia
ajutatoare (lagrangianul) , pentru
si parametrii
reali nedeterminati
.
Pasul
2. Se anuleaza
derivatele partiale ale functiei :
(14)
apoi se rezolva sistemul de ecuatii cu
necunoscute,
.
Pasul 3. Daca este o solutie a
acestui sistem, atunci punctul
este punct stationar al lui
, conditionat
de sistemul (1). Printre punctele stationare conditionate astfel
obtinute se afla si punctele de extrem conditionat ale lui
.
In continuare, prezentam conditii suficiente care sa permita sa identificam, dintre punctele stationare, unele puncte care pot fi de extrem conditionat.
Fie un punct stationar al lui
conditionat de
sistemul (1). Deci,
,
si exista
numerele reale
astfel incat sa
fie verificat sistemul (4), adica punctul
este solutie a
sistemului (14).
Vom cauta conditii suficiente de extrem conditionat.
Presupune ca functiile si
,
sunt functii de
clasa
intr-o vecinatate
a punctului
.
Pentru a vedea daca punctul este extrem
conditionat pentru
, trebuie sa studiem semnul diferentei
,
pentru. Vom observa ca pentru astfel de puncte
, avem
si in
consecinta
.
Asadar, pentru punctele care verifica
sistemul (1), studiul semnului diferentei
se reduce la studiul
semnului diferentei
. Pe de alta parte, punctul
verifica sistemul
(4), deci, este punct stationar obisnuit pentru functia
si atunci derivatele
sale partiale se anuleaza in
.
Deoarece functia admite derivate
partiale de ordinul al doilea continue in vecinatatea
atunci, pe baza
formulei lui Taylor de ordinul doi, putem scrie
, (15)
unde ;
,
,
cand
.
Relatia (15) pune in evidenta forma patratica , a carei matrice asociata
este numita hessiana functiei
in punctul
.
Atunci, dupa cum se stie, semnul diferentei se studiaza
dupa modul cum este definita sau nu aceasta forma
patratica.
Exemplu. Sa se
determine extremele locale ale functiei ,
cu legatura
.
Solutie. Se scrie relatia de legatura
sub forma . Punctele din spatiul tridimnsional
care verifica
ecuatia de legatura sunt evident situate in planul
.
Functiile si
sunt de clasa
pe
si matricea
functionala
,
are rangul egal cu in orice punct din
. In consecinta, eventualele puncte de extrem local ale lui
, conditionate
de legatura
, se afla printre punctele
stationare (critice) ale
functiei
conditionate de ecuatia
, sau echivalent, aceste puncte de extrem conditionat se
afla printre punctele
stationare (critice)
obisnuite ale functiei ajutatoare (lagrangianul problemei)
.
unde constanta , deocamdata necunoscuta, este multiplicatorul lui Lagrange.
Determinam punctele stationare ale
functiei . Avem
.
Rezolvand acest sistem obtinem punctul stationar, corespunzator
multiplicatorului Lagrange
. Lagrangianul problemei are forma
.
In punctul stationar , forma patratica are expresia
In consecinta,
punctul stationar este punct de minim
local conditionat. Valoarea minima in acest punct este egala
cu .
39. Analizam problema urmatoare:
Fie functia ,
si
consideram un sistem de cel mult doua functii
(numarul de
functii
,
, trebuie sa fie strict mai mic decat numarul
variabilelor independente
).
In continuare, alegem si definim
multimea
,
Evident, multimea este formata din
punctele
care verifica legatura
(adica, din acele
puncte situate in
si care se
afla pe suprafata definita de ecuatia
). Presupunem ca functiile
si
sunt de clasa
si in plus
in
.
40.
Propozitie. Punctul este un punct de
stationar pentru
supus la legatura
, adica
daca si
numai daca punctul
este punct
stationar obisnuit (liber) pentru functia lagrangiana
. (16)
Demonstratie. "" Deoarece functiile
atunci functia
este de clasa
. Presupunem ca punctul
este un punct
stationar pentru functia
. Atunci acest punct verifica sistemul:
(17)
adica
exista si numarul
real
a.i. sa se verifice
sistemul:
.
Presupunem ca punctul este un punct de maxim
local (liber) pentru functia
. Atunci exista o vecinatate
,
a.i.
, pentru orice
.
Tinand seama de definitia lagrangianului aceasta inegalitate se scrie sub forma
, oricare ar fi
.
Deoarece si punctele
apartin
vecinatatii
care este inclusa
in
, atunci evident, in aceste puncte avem si
si ultima
inegalitate devine
,
relatie care arata ca punctul este punct de maxim
pentru
care verifica
legatura
.
"" Pentru a arata aceasta implicatie, fie
punctul
un punct de maxim
pentru
si care
verifica conditiile
si
. Atunci, din teorema functiilor implicite, rezulta
ca exista o vecinatate
si o
vecinatate
si o unica
functie
, a.i.
pe
si care
verifica conditia
. In plus functia
este derivabila
pe
.
Derivand relatia putem scrie:
(18)
Substituind variabila in expresia lui
obtinem o
functie
de doua variabile
independente, definita prin
si
. (19)
Avem
,
pentru orice apartinand unei
anumite vecinatati
a punctului
. Aceasta inegalitate arata ca daca
punctul
este maxim
conditionat pentru
, atunci punctul
este maxim liber
(obisnuit) pentru functia
. Din teorema lui Fermat avem
Asadar, avem
si
(20)
Inmultind relatiile (18) cu
constanta si apoi
adunam cu (20) avem
Vom scrie aceasta relatie sub forma echivalenta
sau
, (21)
unde am folosit (aici s-a folosit
invarianta diferentialei de ordinul intai) . Cum relatia (21)
este posibila daca si numai daca coeficientii
marimilor independente
sunt nuli, atunci din
aceasta relatie putem determina valoarea constantei
. Avem
.
Observam ca relatia (21) poate fi scrisa sub forma
, (22)
care arata ca punctul este punct
stationar obisnuit pentru functia lui Lagrange
. (23)
Politica de confidentialitate |
![]() |
Copyright ©
2025 - Toate drepturile rezervate. Toate documentele au caracter informativ cu scop educational. |
Personaje din literatura |
Baltagul – caracterizarea personajelor |
Caracterizare Alexandru Lapusneanul |
Caracterizarea lui Gavilescu |
Caracterizarea personajelor negative din basmul |
Tehnica si mecanica |
Cuplaje - definitii. notatii. exemple. repere istorice. |
Actionare macara |
Reprezentarea si cotarea filetelor |
Geografie |
Turismul pe terra |
Vulcanii Și mediul |
Padurile pe terra si industrializarea lemnului |
Termeni si conditii |
Contact |
Creeaza si tu |