Difeomorfisme de clasa C1. Teorema functiilor implicite.

Difeomorfisme de clasa . Teorema functiilor implicite

1. Definitie. Fie multimile deschise . Functia se numeste difeomorfism de clasa (sau difeomorfism) daca:

(i) . ;

(ii). este functie bijectiva (exista inversa a.i. si );

(iii). este de clasa pe .

2. Observatie. Orice difeomorfism de clasa este omeomorfism (adica, este functie continua; functie bijectiva; este functie continua).

Reciproc nu este adevarat. De exemplu, functia , definita prin , este de clasa pe , este bijectiva, dar functia inversa , definita prin , este continua pe insa nu este de clasa pe deoarece nu este diferentiabila in origine.

Mai general, , este omeomorfism, dar nu este difeomorfism pe .

Exemple: (1). Fie este un punct fixat. Functia , definita prin ( defineste translatia cu , , pe axa reala). Atunci este o izometrie (!) (se verifica usor) si chiar difeomorfism pe .

Intr-adevar, si functia inversa, , definita prin , sunt de clasa .

. Fie este un vector fixat. Functia vectoriala de variabila vectoriala , definita prin , se numeste translatia in spatiul vectorial cu vectorul ; este o izometrie (!) (se verifica usor) si chiar difeomorfism pe . In acest caz spunem ca realizeaza o transformare regulata (!) a spatiului vectorial in el insusi.

. Fie domeniile plane si (multimi deschise si conexe). Aplicatia (functia) , definita prin , este un difeomorfism pe .

Intr-adevar, fie , unde si reprezinta functiile componente ale lui . Atunci sunt de clasa exista si si aceste functii sunt continue pe . Prin calcul direct, obtinem si , si deci, . Observam ca functia este bijectiva si functia inversa este definita prin . Asadar, si si cum suntem interesati de restrictia lui la domeniul , atunci din obtinem restrictia . In consecinta, si atunci este o bijectie si evident functia inversa este de clasa .

Exercitiul 1. Fie si multimi deschise in si si difeomorfisme. Atunci este un difeomorfism pe .

In continuare studiem posibilitatea derivarii aplicatiei inverse a unei functii date (adica o generalizarea rezultatului de la aplicatii de o singura variabila, , bijectiva si derivabila pe ).

3. Lema. Fie si doua spatii euclidiene finit dimensionale si multimile deschise si si fie , omeomorfism, diferentiabila intr-un punct . Atunci proprietatile urmatoare sunt echivalente:

Functia este diferentiabila in .

Aplicatia lineara este bijectiva, . Mai mult, .

4. Observatie. In cazul functiilor de o variabila reala, , daca derivabila in si , atunci si . (Lema 3 este o generalizare a acestui rezultat).

5. Observatie. Daca alegem ,, atunci din definitia omeomorfismului rezulta .

Demonstratie. "". Deoarece omeomorfism atunci este functie continua, bijectiva si functia inversa este continua. Avem si si deoarece diferentiabila intr-un punct , putem scrie (compunerile de aplicatii lineare)

.

Cum este diferentiabila in avem

.

Din aceste relatii deducem ca aplicatia este bijectiva, avand inversa (vezi corolarul 9.27, unde ). In cazul functiilor de o variabila reala avem .

"". Fie , aplicatie bijectiva. Atunci cele doua spatii si au aceeasi dimensiune si exista aplicatia inversa . Deoarece functia este diferentiabila in , atunci exista functia , continua in si a.i. sa avem

, pentru orice . (16)

Pentru a arata ca functia inversa este diferentiabila in , este suficient sa aratam ca

. (17)

Daca notam cu atunci avem si relatia (17) se scrie sub forma echivalenta

. (17')

In relatia (16), scrisa sub forma , aplicam si obtinem

, (*)

de unde rezulta , care la norma se transforma in

.

Daca se trece la norma in (17') si se foloseste ultima relatie, atunci va trebui sa demonstram ca

. (18)

Trecand relatia (*) la norma avem

,

de unde deducem

. (19)

Folosind (19) cat si inegalitatea (renuntam la indicele de norma), vom observa ca relatia (18) rezulta din majorarile

(20)

Pentru calculul limitei in (20) s-a folosit faptul ca .

6. Teorema. (teorema de caracterizare a difeomorfismelor) . Fie si doua multimi deschise in spatiile euclidiene finit dimensionale si respectiv si omeomorfism de clasa . Atunci proprietatile urmatoare sunt echivalente:

Functia este difeomorfism pe ;

Aplicatia inversa este diferentiabila in orice punct din ;

Aplicatia lineara , este bijectiva (deci, ), (adica, jacobianul lui este nenul, ).

7. Observatie. Aplicatia lineara este bijectiva matricea asociata lui (care corespunde la doua baze fixate in respectiv ) este inversabila .

Fie . Afirmatia " este bijectiva " se poate exprima prin: este bijectiva matricea jacobiana asociata lui in orice este inversabila in orice punct jacobialul lui , .

Demonstratie. Implicatia "" rezulta direct din definitie. Deci functia este diferentiabila si aplicatia lineara este continua.

. Functia fiind diferentiabila peste tot in atunci exista unic a.i. este diferentiabila si potrivit lemei 3, rezulta ca este bijectiva oricare ar fi si cat si .

. Din lema 3 rezulta ca (care exista) este diferentiabila in . Deci, aplicatia exista si vom arata ca este continua.

Pentru a arata aceasta, fie , atunci , unde functiile sunt continue si atunci jacobianul lui , , este functie continua oricare ar fi . Aplicatia lineara asociata matricii are forma

si .

Asadar, matricea este inversabila si putem scrie . Matricea

este chiar si aceasta se calculeaza dupa relatii de forma

,

deci sunt functii continue pe .

Deoarece avem . Deci, si avem este formata din functii continue definite pe cu valori reale.

8. Definitie. Fie si . Functia se numeste difeomorfism local in daca exista o vecinatate si o vecinatate astfel incat aplicatia sa fie difeomorfism.

9. Observatie. (i). Orice difeomorfism local este omeomorfism local de spatii topologice.

(ii). Daca este difeomorfism local in atunci , unde si , iar aplicatia lineara este bijectiva.

Exemplul (3) pune in evidenta dificultatile (uneori, chiar imposibilitatea) de calcul al aplicatiei inverse si cu atat mai mult posibilitatea de a arata ca este un difeomorfism. Raspunsul la aceasta problema este dat de urmatoarea teorema de caracterizare a difeomorfismelor locale:

Teorema. (Teorema de inversiune locala). Fie , functia si . Proprietatile urmatoare sunt echivalente:

(1). Functia este difeomorfism local in .

(2). Aplicatia lineara este bijectiva (adica ).

Altfel spus, daca multime deschisa, , si atunci exista o vecinatate , , este difeomorfism. Mai mult si daca atunci .

Demonstratie. Analizam cazul . Implicatia "" este evidenta.

"". Deoarece atunci este continua pe si cum , putem presupune ca . Asadar, exista o vecinatate a. i. . Atunci restrictia lui la , functia , este continua, crescatoare si in consecinta, functia este bijectiva.

Aratam ca functia inversa este diferentiabila pe . Fie oarecare, dar fixat si unicul punct a.i. . Atunci

si deci . Cum a fost ales oarecare, rezulta ca aplicatia , unde , este inversa aplicatiei si aceasta este continua pe . Deoarece este multime deschisa, este continua si cum rezulta ca multimea este o vecinatate a lui .

11. Observatie. Aceasta implicatie rezulta direct din lema 3.

Functii implicite

Functiile definite cu ajutorul ecuatiilor (relatiilor) se numesc functii definite implicit, sau functii implicite.

(a). Cazul unei ecuatii care defineste implicit o functie de o variabila

Fie ecuatia

, (1)

definita de functia de doua variabile , . Vom nota cu proiectia multimii pe axa ,

si fie .

12. Definitie. Functia , , se numeste solutie, in raport cu , a ecuatiei pe multimea daca si numai daca

, oricare ar fi . (2)

13. Observatie. Asemanator ca mai sus, se pot defini solutii in raport cu variabila . In general, o ecuatie poate avea (in raport cu una din variabile) una sau mai multe solutii pe o multime sau nu poate avea solutii pe acea multime.

Exemple:

. Fie functia , definita pe cu valori reale si ecuatia , adica . Evident, ecuatia nu are solutii, in raport cu , pentru orice .

Fie multimea . Aratam ca ecuatia are in raport cu o infinitate de solutii pentru orice . Pentru aceasta este suficient sa consideram multimile disjuncte si , astfel incat . Pentru ca exista o infinitate de posibilitati in alegerea multimilor si , atunci exista o infinitate de moduri de a construi functii , definite prin

Deoarece se verifica identitatea pe , atunci functia este o solutie a ecuatiei .

Este important sa retinem ca dintre toate solutiile in raport cu ale ecuatiei date, numai doua sunt definite de functii continue pe si anume

si respectiv, , ;

iar, dintre aceste doua solutii numai una si anume , verifica "conditia initiala ".

In acest ultim caz, cand exista o unica functie care verifica ecuatia data si eventual anumite conditii suplimentare spunem ca functia este definita de ecuatia implicita .

. Functia cu , defineste ecuatia . Este usor de vazut ca aceasta ecuatie nu are solutii reale nici in raport cu nici in raport cu .

. Ecuatia , are o unica solutie in raport cu , pentru orice si anume functia ; evident, aceasta ecuatie are o unica solutie in raport cu , pentru orice si anume functia .

b). Cazul unei ecuatii care defineste implicit o functie de mai multe variabile.

Consideram ecuatia

, (3)

definita de functia .

14. Definitie. O functie de -variabile , se numeste solutie in raport cu a ecuatiei (3), pe multimea , daca

oricare ar fi . (4)

Vom observa ca daca folosim notatia atunci ecuatia (3) poate fi scrisa sub forma , iar solutia se scrie .

Asadar, putem considera numai ecuatii de forma , unde este o variabila reala sau vectoriala.

Daca exista o unica functie care verifica ecuatia data si eventual anumite conditii suplimentare spunem ca aceasta functie este definita implicit de ecuatia , sau ca prin rezolvarea ecuatiei in raport cu , obtinem o unica functie .

Conditii suficiente de existenta functiilor implicite.

15. Propozitie. Fie functia , , unde este o multime deschisa care contine punctul interior .

Daca se verifica conditiile:

1). ;

2). exista o vecinatate in si o vecinatate in , a.i. punctul si pentru orice fixat, functia (privita ca functie de ) este continua si strict monotona pe ;

3). pentru orice fixat, functia (privita ca functie de variabila vectoriala ) este continua in ;

atunci exista o vecinatate si o vecinatate , a.i. si o unica functie implicita , continua in , care verifica egalitatea si astfel incat

oricare ar fi .

16. Observatie. Propozitia afirma ca daca se verifica ecuatia , atunci pentru apartinand unei anumite vecinatati a lui , ecuatia are o unica solutie, adica din ecuatia putem determina implicit pe ca functie de , de forma .

Demonstratie. Alegem a.i. si notam . Functia , ca functie de variabila reala este strict monotona pe . Deoarece cu , deducem ca functia are semne diferite in si . Pentru a fixa ideile, sa presupunem ca si . Datorita ipotezei 3), functia este continua in si deoarece avem , atunci exista o vecinatate a lui astfel incat pentru orice . Un rationament asemanator ne conduce la concluzia ca exista o vecinatate a lui astfel incat pentru orice . Daca notam , atunci este o vecinatate a lui si avem pentru orice .

Fie un punct oarecare, dar fixat. Datorita ipotezei 2), functia , privita ca functie de variabila , este continua si monotona pe . Din continuitate deducem ca are proprietatea lui Darboux, iar din inegalitatile si rezulta ca exista un unic punct astfel incat . Deoarece a fost ales arbitrar, rezulta ca pentru orice fixat, exista un unic punct (!) , astfel incat . Pentru , avem si cum este unicul punct cu aceasta proprietate, deducem ca .

Aratam ca functia este continua in . Pentru aceasta, vom observa ca vecinatatea a fost aleasa arbitrar si din cele aratate mai inainte rezulta ca pentru orice vecinatate exista o vecinatate , astfel incat pentru orice sa avem . Deci functia este continua in .

17. Observatie. Daca in locul ipotezei 3) din propozitia 15, cerem ca pentru orice fixat, functia (privita ca functie de variabila vectoriala ) sa fie continua pe (nu numai in punctul ), atunci functia implicita este continua pe .

18. Teorema functiilor implicite. Fie o multime deschisa care contine punctul interior si functia , care verifica conditiile:

1) ;

2) functia are toate derivatele partiale, continue in , deci acestea sunt continue intr-o vecinatate a punctului ;

3) ;

atunci exista o vecinatate a lui si o vecinatate a lui si o unica functie astfel incat

si pentru orice ;

Mai mult, vecinatatile si pot fi alese astfel incat functia sa fie de clasa si oricare ar fi si pentru orice indice sa avem

, oricare ar fi . (5)

19. Observatie. Teorema afirma ca daca se verifica ecuatia , atunci pentru orice apartinand unei anumite vecinatati a lui , ecuatia are o unica solutie adica, din ecuatia putem determina explicit pe ca functie de , ; in plus, datorita ipotezelor impuse, si derivatele partiale ale functiei sunt date de relatiile (5).

Demonstratie. Deoarece este functie continua si nenula in , atunci exista o intreaga vecinatate astfel incat , oricare ar fi . Din ipoteza 2) rezulta ca functia este diferentiabila in , deci continua in acest punct. Asadar, putem alege vecinatatea a.i. functia sa fie continua pe . In particular, pentru orice fixat, functia este continua in (se poate arata ca este continua chiar pe ).

Fie fixat. Atunci functia , ca functie de variabila , are derivata nenula pe , deci este strict monotona pe . Asadar, ipotezele propozitiei 3 sunt verificate si atunci exista o unica functie a. i. si pentru orice .

Pentru a arata ca functia are derivatele partiale continue pe vom arata mai intai ca functia este diferentiabila pe . Fie si . Deoarece functia este diferentiabila pe atunci exista functiile si continue, astfel incat si si putem scrie relatia

.

In particular, pentru si de forma , atunci si si egalitatea precedenta devine

. (*)

Cum functia este continua in si functiile si sunt continue in , deducem ca functiile compuse si sunt continue in si

; .

Deoarece , atunci exista o vecinatate astfel incat pentru orice sa avem . Din egalitatea (*) rezulta

,

unde . Deoarece rezulta ca functia este diferentiabila in punctul si are derivatele partiale continue in definite de relatiile

.

Deoarece, punctul a fost ales arbitrar in , rezulta ca functia este diferentiabila in orice punct si derivatele sale partiale sunt date de relatiile (5).

20. Observatie. Daca functia este de clasa , atunci functia implicita este de clasa si derivatele sale partiale de ordin superior se construiesc recurent.

Exemple

Ecuatia , defineste implicit functia . Sa se calculeze derivatele si , stiind ca .

Solutie. Fie functia . Functia implicita exista intr-o vecinatate punctelor cu proprietatea , altfel spus, in punctele pentru care . Cu aceasta presupunere putem scrie:

.

Reamintim ca pentru calculul derivatei a doua, va trebui sa folosim in expresia primei derivate faptul ca este functie de , adica

apoi vom deriva ca raport de functii. Avem

.

Ecuatia , unde , defineste implicit functia . Calculati si .

Solutie. Functia implicita exista in vecinatatea punctelor din cu proprietatea , adica . De exemplu, poate fi un astfel de punct. In aceasta ipoteza sunt indeplinite cerintele teoremei functiilor implicite si atunci se pot calcula derivatele partiale ale functiei , derivand relatia in raport cu respectiv cu . Avem

,

de unde obtinem   .

,

de unde se obtine.

Vom observa ca putem aplica direct formulele (5) si evident, obtinem aceleasi relatii intr-o vecinatate a punctului :

.

21. Teorema functiilor implicite (Cazul general). Fie o multime deschisa si si , , o functie de clasa astfel incat sa se verifice conditiile:

(1) ;

(2) ,

atunci exista o unica aplicatie definita pe o vecinatate deschisa convenabila , , de clasa a.i. si restrictia lui la multimea ,, verifica ecuatia , oricare ar fi .

22. Observatie. Teorema afirma ca daca ecuatia , atunci intr-o vecinatate , ecuatia determina implicit pe ca functie de , .

Demonstratie. Consideram functia , definita astfel:

, , .

Atunci ecuatia , unde , , se scrie:

si avem

de unde deducem ca .

Asadar, aplicatia lineara este bijectiva si potrivit teoremei de inversiune locala rezulta ca este un difeomorfism local in .

Cum atunci, din teorema de inversiune locala, rezulta ca exista vecinatatea in si vecinatatea in astfel ca si a.i. sa fie difeomorfism.

Fie functia aplicatia inversa a lui . Deoarece exista in astfel incat , atunci este de clasa . Functia , , definita prin componentele sale , , este functia cautata.

Transformari punctuale in spatiul euclidian

Consideram multimea deschisa . Fie functiile care fac sa corespunda punctului un punct situat intr-un anumit domeniu , notate

(1)

Functia de variabile vectoriale cu valori vectoriale definita prin

, (3.2)

care asociaza la orice punct un unic punct se numeste transformare punctuala. Functiile si se numesc componentele reale ale transformarii punctuale.

Un interes deosebit il reprezinta transformarile biunivoce care apartin unei amumite clase de netezime.

23. Definitie. Functia se numeste difeomorfism de clasa (sau difeomorfism pe ) daca sunt verificate conditiile:

(1) ;

(2) este aplicatie bijectiva de la la (exista functia inversa );

functia inversa notata este de clasa .

Din definitie rezulta ca orice difeomorfism de clasa este omeomorfism pe .

(Reamintim ca functia se numeste omeomorfism pe daca verifica proprietatile: este functie continua pe ; este bijectiva; functia inversa este continua pe ).

24. Definitie. Fie o multime deschisa din . Functia vectoriala se numeste transformare regulata in punctul , daca si numai daca sunt verificate conditiile:

exista o vecinatate , a.i. functiile sunt derivabile si au derivatele partiale continue pe (adica, );

Determinantul functional

.

Altfel spus, functia vectoriala este transformare regulata in punctul , daca si numai daca exista o vecinatate , a.i. restrictia lui la , , defineste un difeomorfism pe (vezi teorema 10).

Transformata se numeste transformata regulata pe daca este transformata regulata in orice punct .

Vom observa ca daca este transformare regulata in punctul , atunci este transformare regulata intr-o intreaga vecinatate a punctului . Intr-adevar, deoarece intr-o vecinatate a punctului , atunci jacobianul este functie continua in si diferit de zero in acest punct; deci exista o vecinatate a punctului pe care jacobianul este nenul in vecinatatea a lui . Asadar, in vecinatatea avem si jacobianul este nenul, deci este transformare regulata in .

25. Propozitie. Jacobianul unei transformari regulate in domeniul pastreaza acelasi semn in orice punct .

Demonstratie. Deoarece transformarea este regulata pe domeniul (multime conexa si deschisa), atunci jacobianul transformarii este functie continua pe . Daca jacobianul ar lua valori de semne diferite in doua puncte distincte din , atunci exista un punct a.i. ceea ce ar contrazice ipoteza ca transformarea este regulata in .

Exemplul 1. Fie si functiile

Vom arata ca relatiile asociaza la orice punct un unic punct unde .

(i) Multimea este inchisa si marginita. Daca este frontiera domeniului (vezi fig. 2), atunci . Analog, definim , unde cu s-a notat frontiera domeniului ; Frontierele si sunt curbe plane simple inchise evident, considerate cu orientarile lor. Definim functia . Se verifica usor ca .

(ii) Jacobianul transformarii este nenul in fiecare punct din :

.

Atunci functia duce frontiera a domeniului in frontiera a domeniului si deoarece jacobianul este negativ, atunci transformarea schimba orientarile acestor frontiere. Cum jacobianul este nenul pe , atunci functia realizeaza o transformare regulata a domeniului in domeniul .

Inversa transformarii , , are forma

si jacobianul transformarii inverse are valoarea

, in orice punct din .

Exemplul 2. Transformarea de coordonate polare in plan (vezi Fig. 3)

, ,

defineste functia vectoriala , , care are jacobianul . Se observa ca jacobianul acestei transformari este nenul in toate punctele din spatiul euclidian bidimensional cu exceptia originii. Se verifica direct ca transformarea este este regulata pe multimea deschisa si conexa .

Transformarea inversa, , definita de functiile coordonate

, oricare ar fi ,

se scrie . Functia este de clasa pe si avem

.

Functia , definita de relatiile , deoarece are jacobianul pozitiv pentru realizeaza o transformare regulata a domeniului pe domeniul .

26. Observatie. Transformarea poate fi considerata regulata in tot planul; originea este punct de neregularitate impus de alegerea coordonatelor polare.

Dependenta si independenta functionala

27. Fie o multime deschisa si

, (1)

un sistem de () functii reale care depind de variabile independente . Presupunem ca functiile sunt de clasa pe .

28. Definitie. Sistemul de functii se numeste functional dependent pe (sau functiile sunt dependente functional pe ) daca cel putin valoarea uneia dintre aceste functii, sa zicem, , se poate exprima unic in ca "functie" de valorile celorlalte functii, ;

Altfel spus, sa existe o functie , definita prin relatia

, (2)

astfel incat relatia (1.2) se transforma in identitate in raport cu din daca inlocuim , ; adica se verifica relatia

oricare ar fi . (2')

Daca relatia (2) este verificata (sau (2')) atunci spunem ca functia este dependenta functional de functiile , pe multimea deschisa .

Daca in , sau in nici o submultime din , nu are loc o identitate de tipul (2) atunci functiile sistemului (1) se numesc independente in .

29. Observatie. (a). Daca, in particular, functia se reduce la o constanta, atunci evident ea depinde de celelalte functii si scriem .

(b). Dependenta functionala se refera la faptul ca una dintre functii se exprima ca functie de celelalte functii si aceasta notiune este o generalizare a dependentei lineare; sistemul de functii este linear dependent pe daca si numai daca exista numerele reale , nu toate nule, sa zicem , a.i.

, (3)

unde "" este functia identic nula (adica, ), sau echivalent,

. (3')

Daca impartim cu in (1.3') obtinem

, (3")

care exprima, evident, dependenta functionala a functiei de functiile .

Exemplul 1. Fie

,

unde .

Se verifica usor ca in intreg spatiu are loc relatia . Asadar, daca definim , prin , atunci obtinem sau

.

Deci functiile sunt functional dependente in .

In multe cazuri este foarte dificil de stabilit o relatie functionala intre functiile unui sistem dat, evident daca o astfel de relatie exista.

Rezolvarea problemei dependentei sau independentei functionale a sistemului de functii (1) conduce la considerarea matricilor Jacobi, formate cu derivatele partiale in raport cu toate variabilele independente ale functiilor sistemului considerat.

Fie functia vectoriala , definita prin componentele . Consideram matricea jacobiana asociata lui in

. (4)

30. Teorema. Fie o multime deschisa si , , () functii de clasa . Daca rangul matricii jacobiene (4) asociate functiei , in orice punct din este egal cu () atunci functiile sunt independente in multimea deschisa .

Demonstratie. Presupunem ca una din functii, sa zicem, , se exprima in , cu ajutorul celorlalte functii, , printr-o relatie de forma (2'):

oricare ar fi . (*)

Atunci, prin derivarea in raport cu fiecare din variabilele independente a acestei identitati, obtinem sistemul de identitati (care pot fi eventual verificate si numai pe o parte a multimii ):

. (5)

Fie a i. sistemul (5) sa fie verificat in punctul . Atunci sistemul (5) arata ca in punctul , ultima linie a matricii jacobiene (4) este o combinatie lineara a primelor linii inmultite respectiv cu factorii si deci , ceea ce contrazice ipoteza teoremei.

Asadar, identitatea (*) nu poate avea loc.

Vom prezenta fara demonstratie urmatoarea

31. Teorema. Fie o multime deschisa si , , () functii de clasa . Daca, intr-un punct , rangul matricii jacobiene (4) asociate functiei vectoriale , este egal cu , adica, , atunci exista o vecinatate , si functii, sa zicem, , care sunt independente in vecinatatea , iar celelalte functii (desigur, cand ) sunt functional dependente de , adica, pentru orice au loc relatiile:

Exemplul 2. Analizam sistemul de functii definit in exemplul 1. Fie

,

unde .

Atunci si matricea lui Jacobi are forma

.

Daca adunam la linia a treia elementele liniei a doua inmultite cu , obtinem o linie proportionala cu prima. Asadar, si deci functiile sunt functional dependente in . Se poate arata ca si atunci doua functii sunt independente, iar a treia este functional dependenta de aceste doua functii.

Exemplul 3. Fie sistemul de functii

unde . Stabiliti dependenta sau independenta sistemului de functii in punctul .

Indicatie. Fie . Calculam matricea jacobiana :

.

Atunci, in punctul avem

si ; deoarece atunci si, in consecinta, exista o vecinatate a punctului a.i. functiile sa fie independente in .

Functia este dependenta functional de functiile si vom scrie

.

Extreme locale conditionate (extreme cu legaturi)

32. Fie o multime deschisa, si functia reala , .

Consideram sistemul de , , functii reale definite pe multimea , , si fie submultimea punctelor din care satisfac restrictiile sau legaturile sau ecuatiile cuplate

(1)

Asadar, reprezinta multimea solutiilor sistemului (1), situate in .

33. Definitie. Punctul este maxim local conditionat (respectiv un minim local conditionat) al functiei restrictionata la multimea sau conditionat de legaturile (1), daca exista o vecinatate , a.i. sa avem

respectiv . (2)

A considera restrictia functiei la multimea inseamna a considera valorile lui numai pentru acele valori ale argumentelor care sunt solutii ale sistemului (1). Altfel spus, cele variabile independente sunt legate intre ele prin cele relatii (1).

In continuare prezentam conditii necesare pentru ca punctul sa fie extrem conditionat al lui .

34. Teorema. Presupunem ca punctul este solutie a sistemului (1) si intr-o vecinatate functiile si sunt de clasa (au derivate partiale continue pe ). Mai mult, presupunem ca in punctul matricea functionala

, (3)

are rangul (este numarul legaturilor independente din (1)), .

Daca este un punct de extrem local al lui , conditionat de sistemul (1), atunci exista numere astfel incat sa avem:

(4)

Demonstratie. Deoarece matricea functionala are, in punctul , rangul atunci exista un determinant de ordin al acestei matrice care este nenul in punctul . Fara a restrange generalitatea, putem presupune ca

.

Atunci sistemul (1) poate fi rezolvat in raport cu variabilele intr-o vecinatate a punctului . Intr-adevar, prin ipoteza avem

, adica functia se anuleaza in punctul si are derivate partiale continue intr-o vecinatate a punctului , iar jacobianul acestor functii in raport cu variabilele este nenul in . Din teorema functiilor implicite, rezulta ca exista o vecinatate a punctului si o vecinatate a punctului si functiile unic determinate, de clasa pe , astfel incat

(5)

verifica conditiile si care sunt solutii ale sistemului (1), adica

(6)

Este evident ca functiile , care apar in sistemul (6), depind numai de variabilele independente si diferentialele acestor functii sunt nule pe , deci ele se anuleaza in punctul . Asadar, putem scrie relatiile:

(7)

In relatiile (7), reprezinta diferentialele functiilor calculate in , sunt variabile independente, iar derivatele partiale ale functiilor sunt calculate in punctul .

Substituim functiile in locul variabilele corespunzatoare in . Expresia obtinuta este o functie compusa (pe care o notam tot cu ) care depinde numai de variabilele independente :

(8)

Aratam ca daca functia are un maxim (minim) local conditionat de sistemul (1) in punctul , atunci are in punctul un maxim (minim) obisnuit.

Intr-adevar, avem si presupunand de exemplu, ca este punct de maxim conditionat pentru , atunci

,

in orice punct care verifica sistemul (1) si este situat intr-o anumita vecinatate a lui . Pentru , luand valorile date de (5) rezulta, potrivit relatiilor (6), ca punctul verifica sistemul (1), iar inegalitatea de mai sus se scrie, pe baza notatiei (8), sub forma

deci, este maxim local pentru si atunci este necesar ca in punctul sa avem

(9)

De aici deducem ca

si deci, punctul este punct stationar pentru .

In consecinta, punctul este punct stationar pentru conditionat de sistemul (1) si atunci avem

(10)

Desigur, aici reprezinta diferentialele functiilor calculate in punctul , iar sunt variabile independente.

Derivatele partiale ale functiei sunt calculate in punctul .

Fie numerele reale , deocamdata oarecare. Inmultind respectiv ecuatiile sistemului (7) cu aceste numere si apoi le adunam cu (10) rezulta

(11)

Determinam numerele a.i. incat coeficientii diferentialelor sa se anuleze.

Asadar, avem

(4')

si cum determinantul coeficientilor lui este nenul in punctul (vezi ), rezulta ca aceste numere sunt bine determinate. Cu valorile gasite pentru relatia (11) devine

(12)

Aceasta relatie are loc pentru orice valori ale variabilelor independente daca si numai daca coeficientii acestor variabile se anuleaza:

(4')

Sistemele (4') si (4') formeaza sistemul (4) si teorema este demonstrata.

35. Observatie. Orice punct , solutie a sistemului (1) in care matricea functionala are rangul si care verifica sistemul (4) pentru anumite valori , se numeste punct stationar al functiei conditionat de sistemul (1); coeficientii se numesc multiplicatorii lui Lagrange. este de la sine inteles ca valorile parametrilor se schimba odata cu punctul stationar .

36. Observatie. Teorema afirma ca orice punct de extrem conditionat este un punct stationar conditionat. Reciproca nu este, in general, adevarata: adica exista puncte stationare conditionate in care functia nu are extreme conditionate.

37. Observatie. Determinarea punctelor stationare conditionate, prin aceasta metoda, se reduce la aflarea solutiilor a ecuatii (9) cu necunoscutele dupa ce s-a rezolvat sistemul (1) in necunoscutele . In cele mai multe cazuri aceasta metoda este practic imposibil de aplicat la rezolvarea anumitor probleme.

38. O metoda mai simpla pentru determinarea punctelor stationare conditionate este asa numita metoda multiplicatorilor lui Lagrange.

Vom observa ca in sistemul (4) apar tocmai derivatele partiale ale functiei

,

definita pentru orice .

Asadar, metoda multiplicatorilor lui Lagrange are la baza functia ajutatoare (numita lagrangian)

, (13)

definita pentru orice punct , unde sunt constante reale (numite multiplicatorii lui Lagrange), deocamdata necunoscute, care urmeaza a fi determinate odata cu coordonatele punctelor stationare .

In acest scop vom privi functia auxiliara (functia lui Lagrange) definita in (13) ca functie care depinde de variabilele; cele variabile independente si parametrii .

Presupunem ca functia de clasa . Punctul din este un punct stationar pentru conditionat de legaturile definite de sistemul (1), unde , sunt functii de clasa si daca si numai daca punctul este punct stationar liber pentru functia

.

Insa, pentru functia problema determinarii punctelor de extrem liber este cunoscuta.

Asadar, pentru determinarea punctelor stationare ale lui conditionate de sistemul (1) procedam astfel:

Pasul 1. Se defineste functia ajutatoare (lagrangianul) , pentru si parametrii reali nedeterminati .

Pasul 2. Se anuleaza derivatele partiale ale functiei :

(14)

apoi se rezolva sistemul de ecuatii cu necunoscute, .

Pasul 3. Daca este o solutie a acestui sistem, atunci punctul este punct stationar al lui , conditionat de sistemul (1). Printre punctele stationare conditionate astfel obtinute se afla si punctele de extrem conditionat ale lui .

In continuare, prezentam conditii suficiente care sa permita sa identificam, dintre punctele stationare, unele puncte care pot fi de extrem conditionat.

Fie un punct stationar al lui conditionat de sistemul (1). Deci, , si exista numerele reale astfel incat sa fie verificat sistemul (4), adica punctul este solutie a sistemului (14).

Vom cauta conditii suficiente de extrem conditionat.

Presupune ca functiile si , sunt functii de clasa intr-o vecinatate a punctului .

Pentru a vedea daca punctul este extrem conditionat pentru , trebuie sa studiem semnul diferentei

,

pentru. Vom observa ca pentru astfel de puncte , avem si in consecinta .

Asadar, pentru punctele care verifica sistemul (1), studiul semnului diferentei se reduce la studiul semnului diferentei . Pe de alta parte, punctul verifica sistemul (4), deci, este punct stationar obisnuit pentru functia si atunci derivatele sale partiale se anuleaza in .

Deoarece functia admite derivate partiale de ordinul al doilea continue in vecinatatea atunci, pe baza formulei lui Taylor de ordinul doi, putem scrie

, (15)

unde ; , ,

cand .

Relatia (15) pune in evidenta forma patratica , a carei matrice asociata este numita hessiana functiei in punctul .

Atunci, dupa cum se stie, semnul diferentei se studiaza dupa modul cum este definita sau nu aceasta forma patratica.

Exemplu. Sa se determine extremele locale ale functiei , cu legatura .

Solutie. Se scrie relatia de legatura sub forma . Punctele din spatiul tridimnsional care verifica ecuatia de legatura sunt evident situate in planul

.

Functiile si sunt de clasa pe si matricea functionala

,

are rangul egal cu in orice punct din . In consecinta, eventualele puncte de extrem local ale lui , conditionate de legatura , se afla printre punctele stationare (critice) ale functiei conditionate de ecuatia , sau echivalent, aceste puncte de extrem conditionat se afla printre punctele stationare (critice) obisnuite ale functiei ajutatoare (lagrangianul problemei)

.

unde constanta , deocamdata necunoscuta, este multiplicatorul lui Lagrange.

Determinam punctele stationare ale functiei . Avem

.

Rezolvand acest sistem obtinem punctul stationar, corespunzator multiplicatorului Lagrange . Lagrangianul problemei are forma

.

In punctul stationar , forma patratica are expresia

In consecinta, punctul stationar este punct de minim local conditionat. Valoarea minima in acest punct este egala cu .

39. Analizam problema urmatoare:

Fie functia , si consideram un sistem de cel mult doua functii (numarul de functii , , trebuie sa fie strict mai mic decat numarul variabilelor independente ).

In continuare, alegem si definim multimea

,

Evident, multimea este formata din punctele care verifica legatura (adica, din acele puncte situate in si care se afla pe suprafata definita de ecuatia ). Presupunem ca functiile si sunt de clasa si in plus in .

40. Propozitie. Punctul este un punct de stationar pentru supus la legatura , adica daca si numai daca punctul este punct stationar obisnuit (liber) pentru functia lagrangiana

. (16)

Demonstratie. "" Deoarece functiile atunci functia este de clasa . Presupunem ca punctul este un punct stationar pentru functia . Atunci acest punct verifica sistemul:

(17)

adica exista si numarul real a.i. sa se verifice sistemul:

.

Presupunem ca punctul este un punct de maxim local (liber) pentru functia . Atunci exista o vecinatate , a.i.

, pentru orice .

Tinand seama de definitia lagrangianului aceasta inegalitate se scrie sub forma

, oricare ar fi .

Deoarece si punctele apartin vecinatatii care este inclusa in , atunci evident, in aceste puncte avem si si ultima inegalitate devine

,

relatie care arata ca punctul este punct de maxim pentru care verifica legatura .

"" Pentru a arata aceasta implicatie, fie punctul un punct de maxim pentru si care verifica conditiile si . Atunci, din teorema functiilor implicite, rezulta ca exista o vecinatate si o vecinatate si o unica functie , a.i. pe si care verifica conditia . In plus functia este derivabila pe .

Derivand relatia putem scrie:

(18)

Substituind variabila in expresia lui obtinem o functie de doua variabile independente, definita prin

si . (19)

Avem

,

pentru orice apartinand unei anumite vecinatati a punctului . Aceasta inegalitate arata ca daca punctul este maxim conditionat pentru , atunci punctul este maxim liber (obisnuit) pentru functia . Din teorema lui Fermat avem

Asadar, avem

si (20)

Inmultind relatiile (18) cu constanta si apoi adunam cu (20) avem

Vom scrie aceasta relatie sub forma echivalenta

sau

, (21)

unde am folosit (aici s-a folosit invarianta diferentialei de ordinul intai) . Cum relatia (21) este posibila daca si numai daca coeficientii marimilor independente sunt nuli, atunci din aceasta relatie putem determina valoarea constantei . Avem

.

Observam ca relatia (21) poate fi scrisa sub forma

, (22)

care arata ca punctul este punct stationar obisnuit pentru functia lui Lagrange

. (23)