Tetraedre dreptunghice

Tetraedre dreptunghice

Definitie Tetraedrul [ABCD] se numeste dreptunghic in A daca oricare doua din muchiile [AB], [AC], [AD] sunt perpendiculare .

Se observa usor ca un tetraedru dreptunghic este si ortocentric , deci are proprietatile mentionate in paragraful 3.1.2. Se va constata insa ca aceste tetraedre au si proprietati suplimentare ce generalizeaza intr-un mod remarcabil relatiile metrice din triunghiul dreptunghic.

Teorema 41:

Daca tetraedrul [ABCD] este dreptunghic in A si proiectia ortogonala a lui A in planul (BCD) este H, atunci este ortocentrul triunghiului ascutitunghic [BCD].

Demonstratie :

AB AD

TAB CD

BD AC

AH ( BCD) T AH CD

CD AB

T CD (ABH) T CD BH

CD AH

Deci AH este inaltime dusa din B a triunghiului [BCD]. Analog se arata CH si DH sunt inaltimile din C , respectiv D ale DBCD.

In D BAC: m() = 90^o , AE BC T E I BC.

In D DAE: m() = 90^o , AH DE T H I DE.

Deducem ca H I Int(BCD) , adica triunghiul [BCD] este ascutitunghic.

Observatie :

Pentru demonstrarea faptului ca fata opusa triedrului drept este triunghi ascutitunghic mai putem proceda si astfel:

Notam cu x,y,z lungimile muchiilor [AB], [AC], [AD] si cu b,c,d lungimile laturilor triunghiului [BCD].

x² +y² =d²

x² +z² =c²

y² + z²=b²

Cum x>0, y>0, z>0 expresiile de sub radical exista in R si sunt pozitive, deci b² < c² +d², c² < b² +d², d² < b² +c², relatii ce caracterizeaza laturi ce se opun la unghiuri ascutite in triunghi.

Teorema 42:

In tetraedrul [ABCD] dreptunghic in A are loc relatia (S_ABCD)² = S_DBC S_HBC.

Demonstratie :

In DAED dreptunghic in A aplicam teorema catetei T

AE² = ED EH

Inmultim aceasta relatie cu BC² si rezulta

(AE² BC²) = (ED BC) ( EH BC)

4(S_ABC)²= 2S_BCD 2 S_HBC. Deci (S_ABC)²= S_BCD S_HBC.

Teorema 43:

In tetraedrul [ABCD] dreptunghic in A are loc relatia S²_ABC + S²_ACD + S²_ABD = S²_BCD.

Demonstratie :

Folosim teorema 42 : S²_ABC = S_BCD S_BCH

S²_ACD = S_BCD S_CDH

S²_ABD = S_BCD S_BDH.

_Adunand aceste relatii obtinem S²_ABC + S²_ACD + S²_ABD = S_BCD ( S_BCH + S_CDH + S_BDH); H I Int(BCD). Deci S²_ABC + S²_ACD + S²_ABD = S²_BCD.

Teorema 44:

[ABCD] este un tetraedru dreptunghic in A faca si numai daca au loc egalitatile :

2AB²= d² + c² - b² ; 2AC²= d² + b² - c² ; 2AD²= b² + c² - d²; unde CD=b, BD=c, BC=d.

Demonstratie :

Intr-adevar , daca [BCDA] este tridreptunghic in A , aplicam teorema lui Pitagora si avem

AB² + AC² =d²

AC² + AD² =b²

AD² + AB² =c² .

Rezolvand sistemul se obtine:

2AB² =d² + c² - b²

2AC² = d² + b² - c²

2AD²= b² + c² - d².

Reciproc: egalitatile din enunt asigura relatiile sistemului si prin reciproca teoremei lui Pitagora , rezulta ca unghiurile plane ale tetraedrului in A sunt drepte.

Teorema 45:

Fie un tetraedru ortocentric [ABCD] , H ortocentrul sau, O centrul sferei circumscrise , I centrul sferei inscrise. Urmatoarele propozitii sunt echivalente:

P₁: Punctele D,H,O sunt coliniare

P₂: Punctele D,I,H sunt coliniare

P₃: Tetraedrul [ABCD] este dreptunghic in D sau izofacial de baza [ABC] ( piramida triunghiulara regulata de baza [ABC]).

Vom folosi urmatoare schema : (P₁) (P₃) (P₂).

Demonstratie :

(P₁) T (P₂) .

Daca punctele D si H coincid atunci [ABCD] este evident dreptunghic in D , deci are loc P₃. Daca D H , dreapta DH fiind perpendiculara pe (ABC) si continand O cu proprietatea [OA]s[OB]s[OC] , coincide cu dreapta mediatoare a triunghiului [ABC]. Rezulta [DA]s[DB]s[DC] . Apoi punctul E comun lui (DH) si ( ABC) este si ortocentru si centru al cercului circumscris lui [ABC], deci DABC echilateral.

(P₂) T (P₃) .

Daca D =H se deduce P₃ ca in etapa precedenta.

Daca D H , dreapta DH contine pe I , egal departat de

fetele tetraedrului D(ABC) deci coincide cu bisectoarea

acestui triedru.

Fie FI(DH) (ABC). Deoarece H este ortocentrul tetraedrului,

F este ortocentrul DABC. Fie M,N,P proiectiile ortogonale ale

lui F pe dreptele BC, CA, AB. Conform teoremei celor trei perpendiculare proiectiile ortogonale M , N ,P ale lui F in planele A^f, B^f, C^f sunt pe dreptele DM,DN, DP.

Din [FM s[FN s[FP ] urmeaza ss, deci [FM]s[FN]s[FP].

Rezulta ca F este si centrul cercului inscris in DABC, deci DABC este echilateral si M, N,P sunt mijloacele laturilor sale. In triunghiurile [BDC];[DCA] ; [DAB],medianele din D sunt si inaltimi, deci aceste triunghiuri sunt isoscele. Deci [DA]s[DB]s[DC] si prin urmare [ABCD] este izofacial

P₃TP₁ P_2­

Daca tetraedrul [ABCD] este dreptunghic , atunci D=H si proprietatile P₁,P_2­ sunt evidente.

Daca D H ,atunci perpendiculara din D pe (ABC) contine evident H. Din [DA]s[DB]s[DC] rezulta ca DH este mediatoarea corespunzatoare triunghiului[ABC] , deci contine O, deci are loc P₁. Dreapta DH contine centrul de greutate al triunghiului [ABC], punct ce coincide cu centrul cercului inscris in triunghi.

Considerand deci M,N,P mijloacele laturilor [BC], [CA],[AB] urmeaza ca triunghiurile dreptunghice [DGM];[DGN]; [DGP] sunt congruente , deci au si inaltimile congruente. Deci [DG este bisectoarea triedrului D(ABC) si contine I.

S-a dedus astfel si proprietatea P₂.