Locuri geometrice

Locuri geometrice

Def. Se numeste loc geometric o multime de puncte din plan care au aceeasi proprietate.

Tot prin loc geometric vom intelege totalitatea pozitiilor unui punc variabil.Deoarece in geometria analitica multimile de puncte se definesc prin ecuatii algebrice sau sisteme de ecuatii algebrice este importanta alegerea reperului cartezian astfel incat calculele pe care trebuie sa le efectuam sa fie cat mai simple .

Pentru aceasta se fac urmatoarele recomandari :

Cat mai multe puncte fixe sa aiba una dintre coordonate egala cu zero (aceasta insemna ca punctele fixe sa fie alese pe axele de coordonate - sigur atat cat pot fi plasate pe aceste axe);

Daca in enuntul problemei se face referire la un unghi drept avand catetele fixe , atunci varful unghiului drept va fi originea axelor de coordonate , iar dreptele supuort ale catetelor vor fi axele de coordonate ;

Alegerea convenabila a parametrului (parametrilor).

In final locul geometric va fi caracterizat de o anume ecuatie , care va preciza natura locului geometric (natura curbei).

Pentru a ne asigura ca o multime L este locul geometric al punctelor ce poseda o anume proprietate , se vor verifica urmatoarele doua afirmatii :

- Orice punct cu proprietatea data apartine multimii L;

- Orice punct al multimii L se bucura de proprietatea data .

Distingem doua categorii de locuri geometrice :

1.Locuri geometrice definite printr-o relatie metrica

2.Locuri geometrice definite ca intersectie de doua curbe variabile ce depind de acelasi parametru.

Locuri geometrice definite printr-o relatie metrica

In acest caz a determina locul geometric al punctelor L (x,y) (deci a ecuatiei pe care o verifica coordonatele x , y) din plan care verifica o relatie metrica revine la a transcrie analitic aceasta relatie.

Daca operatiile algebrice conduc la forme echivalente , atunci ultima ecuatie defineste curba loc geometric.

Locuri geometrice definite ca intersectii

In acest caz punctul curent al locului M (x,y) este rezultatul intersectiei a doua drepte variabile.

(*)

Ori a determina locul lui M (deci a gasi legatura intre coordonatele x,y ale punctului M) revine la a elimina parametrul real din (*).

In unele cazuri este mai usor sa determinam coordonatele x,y ale punctului M in functie de parametrul .

x = x () ; y = y () (**)

A gasi ecuatia locului inseamna a-l elimina pe din (**).Este posibil ca in formularea problemei sa apara doi parametrii reali .Atunci pentru eliminarea lor in vederea gasirii ecuatiei in x si y sunt necesare trei relatii (cu una mai mult decat numarul necunoscutelor)

Cercul

Def. Cercul (C) de centru C(a,b) si raza R este locul geometric al punctelor M(x,y) din plan cu proprietatea MC = R

(C): (x-a)² +(y-b)² - R² = 0 - ecuatia cercului cu patrate stranse

Punctele cercului (C) determina o impartire a planului in doua multimi disjuncte :

interiorul cercului (C) , format din acele puncte P(x,y) pentru care PC mai mic ca R sau (x-a)² +(y-b)² - R² < 0 ;vom nota aceasta multime prin :

int (C) =

- exteriorul cercului (C) , care contine acele puncte Q(x,y) cu proprietatea QC > R sau inca (x-a)² +(y-b)² - R² > 0; vom nota aceasta multime prin :

ext (C) =

(C): x² +y² +2Ax +2By + C = 0 , unde A = -a ; B = -b; C = a² +b² - R² - ecuatia generala a cercului.

Cercul (C) este bine determinat daca se cunosc A ,B ,C.

Th.Ecuatia generala a cercului determinat de este data de formula:

= 0

Pentru a proba ca patru puncte sunt conciclice se verifica egalitatea:

= 0

Cazuri particulare:

Daca a = b = 0 , adica cercul are centrul in originea reperului cartezian , atunci ecuatia cercului are forma :

(C) : x² + y² - R² = 0 (ecuatia cercului cu centru in O (0,0) si raza R)

Daca centrul cercului este situat pe axa Ox (deci b = 0) , atunci ecuatia cercului este:

(x - a)² + y² - R² = 0 sau x² + y² - 2ax +a²- R² = 0-lipseste termenul care il contine pe y

Daca centrul cercului este situat pe axa Oy(deci a= 0) , atunci ecuatia cercului este:

- lipseste termenul care il contine pe x

Daca cercul trece prin originea O a reperului cartezian , atunci ecuatia cercului are forma

(C = 0) (lipseste termenul liber)

Putere. Axa radical. Centru radical

Def. Se numeste puterea punctului M in raport cu cercul (C) numarul , unde d este distanta de la M la centrul C al cercului (C).

Def. Puterea punctului M(x₀ ; y₀) in raport cu cercul (C): (x-a)² +(y-b)² - R² = 0 este numarul

Puterea unui punct exterior cercului este egala cu patratul lungimii portiunii din tangenta la cerc cuprinsa intre punctul considerat si punctul de contact.

MC² - CT² = MT² sau d² - R² = CT² (Fig. 1)

Puterea unui punct interior cercului este egala cu patratul semicoardei minime care trece prin acel punct luat cu semnul minus.

AC² - MC² = MA² sau d² - R² = - MA²

Def. Se numeste axa radicala a doua cercuri , locul geometric al punctelor care au aceeasi putere fata de cele doua cercuri.

Locul geometric cautat este o dreapta care se obtine din ecuatiile cercurilor prin scadere.

Th. Axa radicala a doua cercuri este perpendiculara pe linia centrelor celor doua cercuri.

Obs. Axa radicala a doua cercuri secante este dreapta care are ca suport coarda comuna , pentru ca punctele de intersectie ale cercurilor sunt puncte care au aceeasi putere (zero) fata de fiecare din cele doua cercuri secante.

Cand cele doua cercuri sunt tangente , dreapta care are ca suport coarda comuna devine la limita tangenta comuna a celor doua cercuri , astfel ca axa radicala a doua cercuri tangente este tangenta lor comuna.

Avand in vedere ca lungimea unei tangente duse dintr-un punct la un cerc este radacina patrata din puterea acelui punct fata de cerc si ca un punct de pe axa radicala are aceeasi putere fata de cele doua cercuri , rezulta ca axa radicala a doua cercuri este si locul geometric al punctelor din plan de unde se pot duce tangente de aceeasi lungime la cele doua cercuri.

Th. Axa radicala a trei cercuri avand centrele necoliniare sunt trei drepte concurente.

In cazul in care cele trei cercuri au centrele coliniare , axele radicale sunt trei drepte paralele.

Def. Punctul de concurenta a celor trei axe radicale a trei cercuri se numeste centru radical.

Elipsa

Def.Elipsa este locul geometric al punctelor a caror suma a distantelor la doua ouncte fixe , pe care le numim focare , este constanta si mai mare decat distanta dintre focare.

Th.(ecuatia canonica e elipsei).Ecuatia elipsei raportata la axele sale :

(E) :

F'F" - distanta focala

MF' , MF" - raze vectoare (focale)

A , A' , B , B' - varfurile elipsei

O(0,0) - centru de simetrie pentru elipsa

AA' = 2a - axa mare a elipsei

BB' = 2b - axa mica a elipsei

OA = a , OB = b - semiaxele mare si respectiv mica a elipsei

Orice dreapta dusa prin centru elipsei o taie in doua puncte care determina un diametru.

Axa de simetrie pe care se afla focerele se numeste axa transversala , cealalta axa conjugata.

Forma explicita pentru ecuatia elipsei este : ;

Excentricitatea elipsei : ;

Punctele elipsei au proprietatea ca raportul distantelor lor la un punct fix si la o dreapta fixa este constant si mai mic ca unu.Punctul fix este un focar , iar dreapta fixa se numeste directoarea elipsei.

Hiperbola

Def.Hiperbola este locul geometric al punctelor a caror diferenta a distantelor la doua puncte fixe , pe care le numim focare , este constanta.

Th.(Ecuatia canonica a hiperbolei)Ecuatia hiperbolei raportata la axe este :

(H) :

F'F" - distanta focala

|MF' - MF"|= 2a

Ox se numeste axa transversa , iar Oy este axa netransversa

Forma explicita a ecuatiei hiperbolei : ;

Obs. hiperbola (H) este bine determinata daca se cunosc a , b .Segmentele de lungime 2a si respectiv 2b se numesc axa mare respectiv axa mica a hiperbolei.

Hiperbola conjugata : (H') : ; are pe Oy ca axa netransversa iar pe Ox ca axa transversa

Hiperbola echilatera : (H") : ; asimptotele acesteia sunt y = x , y = -x , adica prima si a doua bisectoare.

Rotind axele Ox , Oy in sens antitrigonometric cu (-45⁰) , hiperbola echilatera va avea ca axe de coordonate asimptotele Ox' , Oy' ale curbei .Se obtine ecuatia acesteia sub forma : x'y' = k ;k > 0.

Excentricitatea hiperbolei

MF' = ; MF" =

> 1 ; > 1

Dreptele se numesc , respectiv , directoarea focarului F' si directoarea focarului F". Aceste directoare taie axa Ox in puncte situate intre O si A si respectiv O si A' pentru ca < a.

Hiperbola mai poate fi definita ca locul geometric al punctelor pentru care raportul distantelor la un punct fix numuit focar si o dreapta fixa numita directoare este constant si mai mare ca unu.

Parabola

Def. Parabola este locul geometric al punctelor care sunt egal departate de un punct fix , numit focar , si o dreapta fixa , numita directoare.

Th.(ecuatia canonica a parabolei) Ecuatia parabolei raportata la axa si tangenta ei din varf este : (P) : y² - 2px = 0

F - focar

(D) - dreapta directoare

MF = MI ; I proiectia lui M pe (D)

OA = OF

O - varful parabolei

Oy - tangenta parabolei in varf

Ox - axa parabolei

p - parametrul parabolei

Ecuatia explicita a parabolei : ;

Forme ale ecuatiei parabolei mai sunt si y² + 2px = 0 (cu F(-p/2 ; 0)) si y = ax² , a > 0 (cu focarul F(a/4 ; 0))