Elementele de calcul a retelei de ordinul I

Elementele de calcul a retelei de ordinul I

Pentru toate punctele se calculeaza atat coordonatele geodezice, pe elipsoid B si L, cat si in planul de proiectie x, y.

Calculele preliminare constau din reducerea la elipsoid a marimilor masurate pe suprafata fizica a pamantului, trecerea pe elipsoid a directiilor azimutale si a distantelor, determinari astronomice, azimute astronomice, punct fundamental, aplicarea corectiilor de centrare si reducere.

In continuare se rezolva, intr-o prima aproximatie, triunghiurile geodezice prin substituirea elipsoidului, cu sfera de raza medie Gauss . Laturile triunghiurilor in plan se calculeaza prin :

teorema lui Legendre, ce pastreaza in plan valoarea laturilor de pe sfera (a, b, c), dar micsoreaza fiecare unghi sferic (α, β, ) cu a treia parte din excesul sferic (fig. 49).

Fig. 49. Rezolvarea triunghiurilor geodezice mici

unde :

α', β',γ' - reprezinta unghiurile triunghiului plan

metoda aditamentelor ce mentine valoarea unghiurilor de pe sfera α, β, γ , dar modifica marimea laturilor a, b, c ale triunghiului sferic cu aditamentul linear corespunzator A_a, A_b, A_c pentru a deveni a', b', c' in plan. Pentru latura a rezulta :

Metoda aditamentelor poate capata importanta mai mare pe masura extinderii procedeului de masurare a laturilor prin unde.

Coordonatele B si L ale punctelor retelei se determina prin rezolvarea succesiva a problemei geodezice directe, respectiv prin transfer de coordonate de la un punct cunoscut P(B, L) - punct fundamental, la altul nou P₁(B₁, L₁) pe baza azimutului si a lungimii liniei geodezice PP₁. Problema geodezica inversa presupune calculul acestor doua elemente, azimutul si lungimea liniei geodezice, din coordonatele cunoscute ale punctelor P si P₁.

Compensarea retelei astronomo-geodezice de ordinul I a cunoscut mai multe conceptii in functie de modul de realizare a retelei, astfel :

1. In conceptia clasica a constituirii retelei din lanturi de triangulatie cu masurarea de baze la intersectia lor, cum s-a realizat in trecut la noi, se folosesc toate marimile masurate pe suprafata fizica a pamantului si reduse la elipsoid : punctul fundamental si azimutul zero ca elemente prealabile fixe, bazele masurate si azimutele Laplace tot ca elemente fixe, iar unghiurile, directiile, ca elemente ce se compenseaza. In efectuarea calculului unic de compensare se disting urmatoarele etape :

compensarea riguroasa a fiecarui segment de lant prin metoda observatiilor conditionate a variatiei unghiurilor sau directiilor, introducandu-se conditiile de acord pe baze si pe azimute, precum si conditiile figurilor geometrice in cadrul retelei de triunghiuri. Functie de lanturile astfel compensate se calculeaza azimutele liniilor geodezice ce unesc capetele segmentelor de lanturi, rezultand un sistem de poligoane ;

compensarea sistemului de poligoane obtinut, introducandu-se conditiile de inchidere pe poligoane si pe coordonate. Coordonatele varfurilor poligoanelor astfel compensate vor fi definitive ;

compensarea definitiva a lanturilor intre varfurile poligoanelor, capetele segmentelor de lant, incluzandu-se si conditiile de baze si azimute ;

ordinul I complementar, de completare a golurilor dintre lanturi se calculeaza functie de reteaua definitiva a lanturilor, tot prin metoda variatiei functiilor.

2. In conceptia actuala a compensarii intregii retele de ordinul I in bloc s-a procedat astfel :

compensarea in bloc s-a facut pe baza programelor de calculator prin metoda variatiei coordonatelor pe unghiuri ;

azimutele Laplace si laturile n-au mai intrat ca marimi fixe ;

considerandu-se precizia medie de masurare a lungimii laturilor si a azimutelor de 1:500.000, iar aceea a masurarii unghiurilor, directiilor, in retea de 1:1.000.000, in ecuatiile de erori, corectii, distantele si azimutele au fost considerate cu ponderea p = 5, iar unghiurile cu ponderea p = 1. In aceste conditii compensarea a adus unele corectii mici, inclusiv laturilor si azimutelor masurate. In consecinta, si corectiile unghiurilor in retea au rezultat mai mici decat in cazul cand intreaga compensare viza doar unghiurile.

Etapele de calcul al triangulatiei de ordinul II -IV

Retelele de ordinul II, III si IV , ca retele de indesire se calculeaza succesiv si se compenseaza riguros prin M.C.M.P., metoda observatiilor indirecte - variatia coordonatelor, calculul se face direct in plan, functie de coordonatele plane ale retelei de ordinul I.

Compensarea presupune calculul unor corectii d_x, d_y care aplicate coordonatelor provizorii conduc la coordonate definitive ale punctelor noi ce reprezinta cea mai probabila pozitie a lor.

Coordonatele provizorii se obtin prin intersectia vizelor reduse la coarda.

Reteaua geodezica de ordin superior I-IV este proiectata, masurata, compensata si definitivata de catre institutii centrale de profil. Toti cei care efectueaza ridicari beneficiaza de reteaua de stat. Pentru aceasta este necesar ca aceasta sa fie identificata si semnalizata. Deoarece, adeseori, unele din punctele retelei geodezice se pierd, fiind distruse sau avariate, aparand astfel goluri importante in retea este necesar ca operatorul sa replanteze punctele si sa fie redeterminate in mod corespunzator. Aceasta inseamna ca ele vor trebui reobservate si recalculate in conformitate cu cerintele retelei de obicei de ordinul III sau IV in raport cu departarile, respectiv printr-o metoda riguroasa. Pentru astfel de imprejurari este indicata cu m.c.m.p. variatia coordonatelor.

Metoda este potrivita si pentru compensarea riguroasa a punctelor de ordinul V daca situatia o reclama.

Calcule prealabile

Observatiile unghiulare sunt compensate in statie si prelucrate in mod corespunzator cu metoda de masurare pentru obtinerea mediilor compensate. Pentru reducerea la centru, dar mai ales pentru reducerea la coarda, este necesar sa se cunoasca coordonatele punctelor chiar si numai aproximativ. Pentru aceasta se orienteaza vizele necesare in punctele vechi, eventual si in cele noi si se determina coordonatele punctelor noi prin simple intersectii inainte sau, eventual, intersectii grafice. Astfel se obtin primele coordonate ale punctelor de determinat, numite coordonate preliminare.

Cu ajutorul coordonatelor preliminare se calculeaza reducerea unghiurilor si vizelor la centru (centrarea vizelor si a unghiurilor) si reducerea directiilor la coarda. Vizele astfel corectate se orienteaza in toate punctele vechi si noi, conform metodei intersectiei combinate si se determina coordonatele tuturor punctelor noi prin intersectiile corespunzatoare : combinate sau inapoi in cazul cand punctele sunt stationabile si inainte numai in cazul punctelor nestationabile. Acestea vor fi coordonatele provizorii in plan care trebuie determinate cu control si, deci, rezulta din calculul valorilor.

Calculul corectiilor

Stabilirea sistemului de ecuatii

Fig. 50. Elementele de baza ale m.c.m.p.

Pentru exemplificare, consideram un punct nou P ale carui coordonate provizorii x, y au fost calculate prin intersectie combinata (eventual inainte sau inapoi), din punctele cunoscute 1,2,3,4 ale triangulatiei geodezice.

Metoda se bazeaza pe legatura ce exista intre variatia coordonatelor si variatia directiilor masurate in teren (fig. 50), trecerea punctului P de la pozitia provizorie P_p(x,y) la cea definitiva P_d(x + dx, y + dy), provoaca o variatie dθ a orientarii provizorii θ. Relatia de baza se stabileste pornind de la calculul orientarii θ din coordonate, care prin logaritmare si diferentiere devine succesiv :

unde D este distanta 1 - P.

Inlocuind in relatia de mai sus, rezulta pentru directia 1 - P , respectiv punct fix-punct variabil :

Pentru directia inversa P - 1, punct nou variabil (statie)-punct vechi viza, relativele se schimba ca semn, precum si corectiile pentru a rezulta acelasi efect, astfel ca relatia devine :

Pentru a se lucra cu marimi convenabile, in practica se imparte la 10 cand se obtine variatia pe decimetru si se noteaza :

Rapoartele a si b se numesc constante sau coeficienti de directie.

Fig. 51. M.C.M.P. - dispozitia punctelor

Relatia de baza ce leaga variatia orientarii de variatia coordonatelor devine in cazul unui punct fix vechi 1 si unul variabil nou P :

de la P la 1

de la l la P

Daca ambele puncte sunt variabile, adica nu numai P ci si 1 relatiile devin :

de la P la 1

de la 1 la P

Deci, in statii, puncte noi se pastreaza semnele coeficientilor, iar in statii puncte vechi se schimba.

Vizele din teren, duse din punctele vechi 1, 2, 3 pe directia punctului nou nu trec insa nici prin punctul definitiv P_d si nici prin cel provizoriu P_p (fig. 51) ; primul (punctul definitiv) nu se cunoaste inca, iar coordonatele punctului provizoriu u rezultat ca o medie a mai multor intersectii.

Fig. 52. M.C.M.P. - elementele ecuatiei de erori

Se observa totodata ca variatia consta din doua marimi (fig. 52) : - o cantitate constanta ce reprezinta diferenta dintre viza (observatia) orientata (determinata functie de masuratorile efectuate in teren) si orientarea dedusa din coordonatele provizorii (apropiate), v - care reprezinta cresterea, corectia, variatia efectiva a vizei (observatiei) la punctul definitiv. Corectia , ce reprezinta variatia efectiva a acestei vize pana la punctul definitiv, se exprima prin suma :

Termenul liber rezulta din orientarea directiei 1P_p calculata din coordonatele provizorii si orientarea aceleiasi vize din teren respectiv :

Relatia corectiei se poate scrie pentru fiecare directie participanta la calculul punctului P, rezultand sistemul :

denumit sistemul ecuatiilor de erori sau al corectiilor dx, dy.

In acest sistem de ecuatii, necunoscutele sunt cresterile si corectiile dx si dy, care de fapt sunt tot cresteri.

Pentru a obtine cele mai probabile valori ale corectiilor dx si dy sistemul de ecuatii trebuie sa fie compatibil, in plus se pune si conditia specifica metodei celor mai mici patrate ca suma patratelor erorilor, cresterilor, care caracterizeaza erorile marimilor masurate, adica a unghiurilor, directiilor, sa fie minima, respectiv :

Conditia se realizeaza atunci cand, derivatele in raport cu cele doua variabile, necunoscute, se anuleaza. Decembrie, ridicarea la patrat, insumand si respectand notatia lui Gauss rezulta :

Derivand aceasta relatie, o data functie de dx si apoi functie de dy si anuland se obtine sistemul ecuatiilor normale (atatea ecuatii cate necunoscute) :

Necunoscutele, corectiile dx si dy calculate din acest sistem si aplicate coordonatelor punctului P_p (provizoriu) vor da cea mai probabila pozitie a punctului P functie de totalitatea elementelor introduse in calcul.

Sistemul se rezolva prin substitutie, prin inmultirea primei ecuatii cu , insumate se obtine :

sau, prescurtat, introducand notatia Gauss, se obtine :

de unde rezulta valoarea lui dy. La fel se va obtine dx. Valorile dx si dy aplicate coordonatelor provizorii ale punctului P, va conduce la cea mai probabila pozitie, respectiv la pozitia definitiva, rezultand :

Pentru doua puncte noi, notate cu P(x_p, y_p) si R(x_R,y_R), iar constantele de directie ce se refera la punctul P si sunt a si b, iar cele ce se refera la punctul R sunt c si d, ecuatiile au forma generala :

Fig. 53. Constante de directie

In cazul vizei reciproce PR coeficientii de directie au valori egale si semn schimbat, de exemplu :

In cazul unui grup de n puncte sistemul ecuatiilor normale va avea 2 n ecuatii. Spre exemplu, pentru doua puncte noi P si R, considerand coeficientii de directie a, b respectiv c, d si ponderi unitare, sistemul ecuatiilor normale va fi :

din rezolvarea caruia rezulta corectiile dx_P, dy_P, dx_R, dy_R.

In notatie matriciala sistemul ecuatiilor de erori v devine :

unde, in cazul concret al unui punct nou P, cu n vize, rezulta matricele :

Variatia unghiului de orientare mediu in statii

Orientarea automata a vizelor in punctul statie se face utilizandu-se unghiul de orientare mediu al directiei intamplatoare a gradatiei zero a limbului.

Intrucat pozitia provizorie a punctelor este intamplatoare, tot intamplatoare va fi si valoarea unghiurilor medii de orientare, oricum diferita de cea finala, ce s-ar calcula cu pozitia definitiva a punctelor. Dar, variatia unghiului mediu de orientare in statie nu a fost evidentiata in calculele facute, astfel ca asupra ei nu s-a pus conditia de minim. Pentru aceasta presupunem ca stationand cu teodolitul in punctul P (fig. 54) s-a vizat la punctele 1, 2, 3 de coordonate cunoscute.

Fig. 54. Orientarea vizelor

Daca se noteaza cu orientarea intamplatoare a directiei zero a limbului, cu orientarea vizei P₁ si cu marimea unghiulara citita la limbul teodolitului pe directia P₁, se poate scrie :

Daca si variaza, atunci si valoare lui sufera cresteri :

dar potrivit notatiilor anterioare rezulta :

Daca ne referim la toate vizele duse din punctul P rezulta :

Acest sistem de ecuatii de erori difera de cel anterior prin faptul ca el include si variatia, corectia, unghiului de orientare mediu. Aceasta variatie nu intereseaza sa fie calculata decat pentru unele operatii de control.

Controlul compensarii

Controlul trebuie sa cuprinda toate etapele de calcul. Se disting controale pana la obtinerea sistemului de ecuatii normale, controale care vizeaza corectitudinea rezolvarii sistemului de ecuatii normale si controale dupa aplicarea corectiilor. Ele pot fi grupate in :

controale de calcul, numite si controale pe etape, ce se refera la :

controlul coeficientilor de directie a, b, c, d prin raportul , respectiv

termenii liberi, care prin insumarea lor in fiecare punct trebuie sa dea zero ;

sistemul de ecuatii normale prin coloana S si suma pe fiecare rand, care, de asemenea, trebuie sa fie nule ;

corectiile aplicate prin suma produselor dintre corectiile v_i si coeficientii de directie, respectiv :

verificarea de ansamblu ce vizeaza toate elementele de mai sus a, b, c , n, , v_i cu relatiile :

se mai adauga conditia :

relatie care pentru un singur punct devine :

iar pentru doua puncte :

Controlul final vizeaza compensarea in ansamblul ei, atat sub raportul calculelor, cat si al conceptiei. Pe baza corectiilor

d_x si d_y se deduc coordonatele definitive si din acestea orientarea definitiva a fiecarei directii, precum si variatia si erorile v :

Orientarile definitive se calculeaza pe mai multe cai :

adaugand corectiile (fig. 55) la orientarile provizorii , calculate din coordonatele provizorii :

adaugand corectiile la vizele orientate :

Fig. 55. Controlul final

adaugand la viza compensata unghiul de orientare mediu provizoriu si variatia acestuia

Toate cele trei valori trebuie sa fie egale in limitele unor diferente de + 0,1^cc , respectiv pe fiecare din cele trei cai trebuie sa se obtina practic aceeasi orientare.

Evaluarea preciziei

Stabilirea preciziei de determinare a punctelor noi are la baza, ca indicator global de precizie a masuratorilor, eroarea medie patratica a unitatii de pondere m₀ :

unde n reprezinta numarul total al vizelor, iar z = 3p + q cel al necunoscutelor. Efectiv, p reprezinta numarul punctelor noi,

fiecare cu trei variabile dx, dy, si q cel al punctelor vechi cu cate o singura variabila , rezulta :

Erorile de pozitie ce insotesc coordonatele definitive ale punctelor devin :