PARTEA a II -a

I. Vectori in plan

Marimile intalnite in fizica, geometrie si alte stiinte sunt de mai multe feluri din care importante sunt doua: marimi scalare si marimi vectoriale.

Exemple: lungimea unui segment, masura unui unghi, aria unei suprafete, temperatura, etc.

Exemple: viteza unui mobil, forta, campul electric, etc.

In cele ce urmeaza vom nota cu P multimea punctelor unui plan.

Fie d o dreapta din plan (dP).

d

Prin urmare doua drepte d_1­ si d₂ au

aceeasi directie daca sunt paralele

sau coincid. d

Fie dreapta d pe care am fixat doua B

puncte A, B (AB). Punctele dreptei A

d pot fi parcurse de la A spre B (un sens

de parcurgere) sau de la B spre A (un alt sens de parcurgere, opus primului).

In acest mod spunem ca pe dreapta d am definit doua sensuri.

1.1 Segment orientat (vector legat)

B

A

Vectorul legat se numeste vectorul legat nul si are dreapta suport nedeterminata.

A  B

C D

A B

D C

Notatie: Modulul vectorului se noteaza prin || sau |||| sau simplu AB. Pentru vectorul nul

Notatie Vectorii liberi se noteaza cu bara deasupra a, b,.

Prin urmare daca este un vector legat, atunci , reprezinta multimea tuturor vectorilor legati care au aceeasi directie, acelasi sens, acelasi modul cu vectorul .

B

A

Multimea vectorilor liberi din planul P o notam v.

Spunem ca vectorul legat este un reprezentant al vectorului liber si scriem I.

1.2. Relatia de echipolenta pe multimea vectorilor legati.

Scriem acest lucru astfel (citim vectorul este echipolent cu vectorul ).

Observatie , daca si numai daca:

i) (, au aceeasi directie intrucat ABCD este paralelogram, acelasi sens, acelasi modul;

ii)          Segmentele [AD] si [BC] au acelasi mijloc.

Observatie Daca in aplicatii intervin vectori liberi, vom lucra cu reprezentanti ai acestora, ceea ce permite sa luam originile acestor reprezentanti oriunde in plan.

1.3. Vectori colineari

1.4. Egalitatea a doi vectori liberi

2. Operatii cu vectori liberi

2.1. Adunarea vectorilor liberi

Regula paralelogramului A C

Fie vectorii liberi ,

O B

Fig.1

Consideram I,I. Construim paralelogramul OBCA. Vectorul de reprezentant , reprezinta suma vectorilor si ; =+; Se arata usor ca in definitia sumei nu are importanta alegerea reprezentantilor , pentru respectiv (Fig.1).

2) Regula triunghiului

Fie Iv si reprezentant al lui , respectiv reprezentant al lui . Vectorul , de reprezentant este suma vectorilor si ; Fig.2

A B

Fig.2

O

Aceasta regula de adunare a vectorilor se numeste regula triunghiului.

Observatie Daca ++=0, atunci cu vectorii ,, se poate forma un triunghi.

3) Regula poligonului

Vectorul care inchide conturul (uneste originea primului vector cu extremitatea ultimului vector reprezinta suma vectorilor date: =++(Fig.3)

Fig.3

2.2. Proprietatile adunarii vectorilor liberi

Adunarea vectorilor liberi este asociativa:

(+) + = + (+) , () , , I V

Demonstratia este realizata in Fig.4 (s-a folosit pentru adunare regula triunghiului).

+ +

(+) + = + (+)

Fig.4

2) Adunarea vectorilor liberi este comutativa:

+=+ , (), I V

Demonstratia este realizata in Fig.5.

+=+

Fig.5

Vectorul nul este elementul neutru pentru adunarea vectorilor liberi: +=+= , () I V

Pentru orice vector I V, exista vectorul (-)IV astfel incat

+(-)=(-)+=

- se numeste opusul lui

2.3. Inmultirea unui vector liber cu un scalar

Definitie Fie rI R^*, I v, . Produsul dintre numarul real r si vectorul liber este vectorul notat r, care:

i)            are aceeasi directie cu

ii)          daca r >0 are acelasi sens cu

daca r <0 are sens contrar cu

iii)        are modulul egal cu produsul dintre |r| si || :

|r |=|r| ||

Daca r = 0 sau = , atunci r=

-3

Exemplu 2

In Fig.6 sunt reprezentati vectorii , -3, 2

Fig.6

2.4. Proprietati ale inmultirii unui vector cu un scalar

1) r (+) = r+r, () r I R, (), Iv

(Inmultirea cu scalari este distributiva fata de adunarea vectorilor)

2) (r + s) = r+ s , () r, s I R, () Iv

(Inmultirea cu scalari este distributiva fata de adunarea scalarilor)

3) r (s) = (rs) , () r, s I R, () Iv

(Asociativitatea scalarilor)

4) 1 = , () Iv

(Numarul 1 este element neutru pentru inmultirea cu scalari)

Demonstrarea acestor proprietati se face in mod similar cu demonstrarea proprietatilor de la adunarea vectorilor liberi.

2.5.Vectori colineari

Din definitie, rezulta ca doi vectori sunt colineari atunci cand au aceeasi dreapta suport sau drepte suport paralele.

Vectorilor necolineari le corespund drepte suport concurente.

In Fig.7 (a,b,c,d) sunt reprezentati vectori colineari.

a) b) c) d)

Fig.7

Vom caracteriza conditia de coliniaritate a doi vectori enuntand urmatoarea teorema:

Demonstratie Presupunem ca si sunt colineari. Distingem doua cazuri:

Cazul 1: Vectorii si au acelasi sens; In acest caz luam r = si avem ca = r (intrucat vectorii din cei doi membri au aceeasi directie, acelasi sens si |r| = |r||| = || = || ).

Cazul 2: Vectorii , au sensuri opuse. In acest caz luam r = - si observam ca = r (vectorii din cei doi membri au aceeasi directie, acelasi sens (r <0) si acelasi modul).

Reciproc presupunem ca = r

Intrucat vectorii si r au aceeasi directie, cum = r, rezulta ca si au aceeasi directie, deci sunt colineari.

Observatii

1) Colinearitatea a trei puncte

Fie A, B, C trei puncte. Ele sunt colineare (situate pe aceeasi dreapta) daca si numai daca , sunt vectori colineari, deci daca si numai daca, exista r I R astfel incat = r.

2) Paralelismul a doua drepte

Vectorii si sunt colineari daca si numai daca dreptele AB, CD sunt paralele sau coincid.

3) ,I v (vectori liberi nenuli) sunt colineari, daca si numai daca exista r, s I R nenule simultan astfel incat r + s =

Rezulta de aici ca daca ,I v sunt necolineari atunci r + s = daca si numai daca r = s = 0.

In cele ce urmeaza vom pune in evidenta o relatie vectoriala extrem de importanta, relatie ce va permite exprimarea vectorilor importanti intr-un triunghi. Enuntam aceasta proprietate sub forma de:

O

A M B

Fig.8

Demonstratie Aplicand de doua ori regula triunghiului, obtinem egalitatile vectoriale = + ; = +

Conform ipotezei, putem scrie + = k ( + ) sau - k = - + k , sau + k = + k , sau

(1 + k ) = + k de unde rezulta :

= +

Observatie In cazul in care M este mijlocul segmentului [AB] (k = 1), relatia demonstrata devine = ( ) si exprima in triunghiul OAB, vectorul mediana de origine O in functie de vectorii si care au originea comuna cu vectorul mediana.

2.6. Probleme rezolvate

Fie ABC un triunghi si G centrul sau de greutate. Sa se arate ca:

a) + + =

b) Pentru orice punct M din planul triunghiului: ++= 3

Solutie A

a) Fie A` mijlocul lui [BC].

Avem = ( +) iar

= G

= - = -( +) B A` C

Analog = -( +) si = -( +)

Rezulta + + = -( + + ) =

= -( + ) = - =

b) Fie M un punct oarecare din planul triunghiului

+ + = + + + + + =

= 3 + ( + + ) = 3 (s-a tinut cont de punctul a).

Observatie Se poate constata usor ca cele doua egalitati vectoriale de la a) si b) sunt echivalente.

Fie ABC un triunghi de laturi a, b, c si I centrul cercului inscris. Sa se arate ca:

a) a + b + c = ;

b) Pentru orice punct M din planul triunghiului: a+b+c= =(a+b+c)

Solutie A

a) Fie AA`, BB` bisectoarele unghiurilor A si B, b

iar I punctul lor de intersectie. Aplicand teorema B`

bisectoarei in triunghiul ABB`, obtinem = c I

si aplicand teorema bisectoarei in triunghiul ABC  B C

obtinem =sau =. Rezulta AB`= A` a

Prin urmare = . Conform teoremei 2, rezulta

=+ sau =+

Dar =, deci =+

Rezulta

=+ Analog

=+

=+

Atunci a + b + c = + + + + + = ( + ) + ( + ) + ( + ) =

b) Daca M este un punct oarecare din planul triunghiului ABC, putem scrie sirul de egalitati:

a + b + c = a( + ) + b( + ) + c( +) = = (a+b+c) + a + b + c = (a+b+c) (s-a tinut cont de punctul a)

Fie triunghiul oarecare ABC iar H ortocentrul sau. Demonstrati ca:

a) + + = (Relatia lui Sylvester)

b) + + = 2

Solutie

a) Exprimam + + in doua moduri:

i)( + ) + si

ii) + ( + ).

Evident ca cele doua exprimari sunt egale datorita

proprietatii de asociativitate a adunarii vectorilor. 

Fie M mijlocul segmentului [AB].

( + ) = , unde D este simetricul lui O fata de M si OD AB.

( + ) + = + = , unde P este al patrulea varf al paralelogramului ODPC construit pe laturile OC si OD.

Retinem deci ca i) (+)+ =, unde CP || OD deci CP AB, deci P se afla pe inaltimea din C a triunghiului ABC.

Fie N mijlocul segmentului [BC]. + = , unde E este simetricul lui O fata de N si ON BC.

+ ( + ) = + = , unde S este al patrulea varf al paralelogramului OASE construit pe laturile OA si OE.

Retinem deci ca ii)+(+)=, unde AS||ON, deci AS BC, deci S se afla pe inaltimea din A a triunghiului ABC.

Din i) si ii) rezulta = , deci punctele P si S coincid. Cum unul se afla pe inaltimea din C, iar celalalt pe inaltimea din A, rezulta ca + + este un vector de origine O si de extremitate punctul de intersectie a doua inaltimi ale triunghiului (ortocentrul triunghiului). Asadar am demonstrat ca + + = .

b) + + = + + + + + = 3 + = 3 - = 2.

Sa se arate ca in orice triunghi ABC, punctele O, G, H sunt colineare (dreapta care le uneste se numeste dreapta lui Euler).

Solutie

Conform problemei rezolvate nr.1, putem scrie ca = ( + + ), iar conform problemei rezolvate nr.3, = + + ).

Din cele doua egalitati vectoriale deducem ca = , deci ca vectorii si sunt colineari, si cum au originea comuna, rezulta ca punctele O, G, H sunt colineare.

Sa se demonstreze ca in orice trapez, dreapta care uneste mijloacele diagonalelor este paralela cu bazele trapezului.

Solutie

Fie M, N mijloacele diagonalelor AC,  D C

respectiv BD. vom arata ca vectorii

si sunt colineari. M N

A B

= - = ( + ) - = ( + ) - ( + ) = ( - ). Dar vectorii si sunt colineari, prin urmare, exista r I R a.i. = r, asa incat = ( - r) = , deci vectorii si sunt colineari, adica MN || AB || CD.

Sa se arate ca in orice trapez, mijloacele bazelor, punctul de intersectie al diagonalelor si punctul de intersectie al laturilor neparalele sunt patru puncte colineare.

Solutie

a) Aratam pentru inceput ca punctele O, H, E sunt colineare.

= ( + ) O

= ( + )

Din DC || AB T = k T D H C

T OD = k OA si OC = kOB deci F

= k si = k

Atunci = (k + k) = A E B

( + ) = k ceea ce exprima faptul ca vectorii , sunt colineari si cum au originea comuna rezulta ca punctele O, H, E sunt colineare.

b) Aratam acum ca punctele O, H, F sunt colineare (vectorii si sunt colineari)

= ( + ). Am vazut la a) ca = = k, deci si = k si cum triunghiurile DFC si AFB sunt asemenea, rezulta ca = k. In aceste conditii = + si intrucat = k rezulta: OB = OC, deci = . Atunci = + = ( +) = , deci = ceea ce probeaza faptul ca vectorii si sunt colineari si cum au aceeasi origine rezulta ca punctele O, F, H sunt colineare.

Fie triunghiul ABC de laturi a, b, c, G centrul de greutate, I centrul cercului inscris. Notam= a + b +c si= + +.

Demonstrati ca vectorii si sunt colineari si ca 3|| = (a+b+c)| |.

Solutie

Conform problemei rezolvate 2) avem relatia a + b + c = (a+b+c) valabila pentru orice punct M din planul triunghiului. Pentru MG, rezulta: a + b +c = (a+b+c), deci = (a+b+c). De asemenea, conform problemei rezolvate 1) avem relatia + + = 3, valabila pentru orice punct M din planul triunghiului. Pentru M I, avem + + = 3 deci = 3 = -3 = -. Prin urmare = -, relatie ce demonstreaza faptul ca vectorii si sunt colineari. De asemenea ||=||, deci ||=||.

2.7. Probleme propuse

Fie patrulaterul convex ABCD si M, N mijloacele segmentelor [AB] si [CD]. Demonstrati ca:

a) + = 2;

b) + = 2.

Fie paralelogramul ABCD iar O punctul de intersectie al diagonalelor sale. Demonstrati ca:

a) + + + =;

b) Pentru orice punct M din planul paralelogramului:

+ + + = 4.

Coardele [AB] si [CD] ale cercului de centru O se intersecteaza in punctul P si sunt perpendiculare. Sa se arate ca + + + = 2 .

In triunghiul ABC semidreapta [AD este bisectoarea unghiului , DI(BC). Sa se demonstreze ca = .

In triunghiul ABC, semidreptele [AA₁, [BB₁, [CC₁ sunt bisectoare interioare. Sa se arate ca pentru orice punct M din planul triunghiului:

= ; = ; = .

Triunghiurile ABC si A₁B₁C₁ au centrele de greutate G, respectiv G₁. Demonstrati ca = ( + +). Deduceti conditia necesara si suficienta ca doua triunghiuri sa aiba acelasi centru de greutate.

Se considera triunghiul ABC si punctele M I (AB), N I (BC), P I (CA) astfel incat = = . Aratati ca triunghiurile ABC si MNP au acelasi centru de greutate.

Fie ABCD un patrulater fixat si M un punct variabil in plan. Demonstrati ca vectorul + + + trece printr-un punct fix.

Fie ABCDEF un hexagon regulat de latura 1. Sa se calculeze modulul vectorului = + + + + .

Fie ABC un triunghi, I centrul cercului inscris iar H ortocentrul.

a) Daca + + = 3, oricare ar fi M in planul triunghiului, atunci triunghiul este echilateral;

b) Daca + + = 3, oricare ar fi M in planul triunghiului, atunci triunghiul este echilateral.

Fie AA₁, BB₁, CC₁ bisectoarele unghiurilor triunghiului ABC. Aratati ca vectorii , , pot forma un triunghi daca si numai daca triunghiul ABC este echilateral (vezi problema 4).

Fie ABC un triunghi, iar O centrul cercului circumscris. Demonstrati ca triunghiul ABC este echilateral daca si numai daca + + =.

2.8.Descompunerea unui vector dupa doi vectori necolineari,nenuli datti

Notiunea de baza pentru multimea vectorilor liberi din plan se defineste astfel:

Definitie

Cuplul format din doi vectori liberi necolineari si nenuli se numeste baza pentru v

Componentele unui vector intr-o baza

Fie doi vectori fixati necolineari,nenuli si un vector arbitrar (fig.9)

 

Consideram reprezentantii si

Prin punctual M, extremitatea lui ducem paralele a OB respective OA care intersecteaza OA in M₁ si OB in M₂

B  M

M₂

u

O M₁ A

Fig 9

Avem (1)

Vectorii si sunt colineari, deci exista a.i.

Vectorii si sunt colineari, deci exista a.i.

Atunci (1) devine relatii intre vectori legati , sau relatii intre vectori liberi.

Vectorii se numesc componentele vectorului dupa directiile vectorilor si

Spunem ca am descompus vectorul dupa directiile a doi vectori si

In egalitatea , numerele reale x, y se numesc coordonatele vectorului liber in raport cu baza

Scrierea a lui este unica. Intr-adevar daca , atunci prin scaderea celor doua egalitati se obtine: . Daca am avea atunci , relatie ce arata ca vectorii liberi si sunt colineari, fals. Prin urmare si apoi si cum nu este vector nul rezulta

Prin urmare am demonstrat urmatoarea:

TEOREMA 3

Aceasta scriere se numeste scrierea analitica a vectorului liber .

Numerele reale x, y se numesc coordonatele vectorului in baza . Notam sau .

2.9. Probleme rezolvate

1) Se considera triunghiul ABC si M, N, P mijloacele laturilor [BC], [AC], [AB]. Sa se descompuna vectorul dupa directiile vectorilor si .

Solutie:

Va trebui sa gasim x, yIR a.i.

= x+ y

Rezulta =+=, deci = --

(x=y=-1)

2) Se considera patratul ABCD si punctele M, N mijloacele laturilor [BC] si [CD]. Sa se descompuna vectorul dupa directiile vectorilor si .

Solutie:

Avem urmatoarele egalitati vectoriale (deduse din regula triunghiului)

Din prima rezulta , iar din cea de-a doua .

Prin urmare, , adica

(In baza (), vectorul are coordonatele ).

2.10. Probleme propuse

1) Fie triunghiul ABC si punctele M, N I(BC), PQI(AB) a.i.

Sa se descompuna vectorii dupa vectorii necolineari si .

2) Fie paralelogramul ABCD de centu O si punctele MI(AB), NI(AD) a.i. si .

Notam si . Descompuneti vectorii dupa vectorii necoliniari si .