Imaginea plana a unui obiect 3D

Imaginea plana a unui obiect 3D

Imaginea plana a unui obiect 3D se poate obtine in patru etape. Obiectul privit se gaseste intrun sistem de coordonate real (X,Y,Z) avand centrul in O. Observatorul se afla in punctul O si are coordonatele carteziene (M,N,P). Punctului O' i se pot asocia coordonatele sferice (R,q j

Sistemul de coordonate observator este notat cu (XO,YO,ZO) si este orientat cu axa pozitiva ZO in directia centrului O al sistemului de coordonate real. Sistemul de coordonate (XO,YO,ZO) este unul direct in timp ce sistemul (X,Y,Z) este unul direct.

Cele patru etape in care se poate obtine imaginea plana a unui obiect 3D corespund la cele patru transformari fundamentale pe care trebuie sa le suporte sistemul coordonatelor reale pentru a se suprapune pe sistemul coordonatelor observator. Fiecare din cele patru etape transforma partial sistemul (X,Y,Z) in sistemul (XO,YO,ZO). Un obiect aflat in sistemul de coordonate (X,Y,Z) va suferi aceleasi transformari pentru a putea fi perceput corect in sistemul (XO,YO,ZO).

Etapa 1.

Translatia sistemului (X,Y,Z) de la originea O la originea O' a sistemului (XO,YO,ZO). Matricea de transformare aplicata este:

A = , care, datorita relatiilor dintre coordonatele carteziene si coordonatele sferice ale punctului O' devine

A =

Observatie. Se aplica matricea inversa deoarece transformarea se aplica sistemului de coordonate si nu obiectului. Aceasta observatie este valabila si pentru transformarile urmatoare.

În urma transformarii rezulta sistemul de coordonate intermediar (X1,Y1,Z1):

Etapa 2.

Rotatia sistemului de coordonate (X1,Y1,Z1) cu un unghi -(90-q) in jurul axei Z1.

Inversa matricei de rotatie cu un unghi oarecare a in jurul axei OZ a unui sistem de coordonate oarecare (X,Y,Z) este .

Unghiul a in acest caz este 90-q iar matricea de transformare aplicata este:

B = , deoarece cos(q = sinq, iar sin(q-90) = -cosq

În urma rotatiei rezulta sistemul de coordonate intermediar (X2,Y2,Z2):

Etapa 3.

Rotatia sistemului (X2,Y2,Z2) cu un unghi 90+j in jurul axei X2.

Inversa matricei generale de rotatie cu un unghi a in jurul axei OX este:

În cazul de fata a j, si tinand cont de relatiile:

cos(90+j) = -sinj

sin(90+j) = cosj

rezulta matricea de transformare

C =

În urma transformarii rezulta sistemul de coordonate intermediar (X3,Y3,Z3):

Etapa 4.

Conversia sistemului de coordonate (X3,Y3,Z3) dintr-un sistem indirect intr-un sistem direct. Matricea de transformare aplicata este:

D =

În urma acestei ultime transformari rezulta sistemul de coordonate (X4,Y4,Z4) care este echivalent cu sistemul de coordonate observator (XO,YO,ZO).

Concluzie. Fiecare punct al unui obiect aflat in sistemul de coordonate reale (X,Y,Z) poate fi perceput de observator in sistemul de coordonate propriu (XO,YO,ZO) aplicand cele patru transformari prezentate.

Astfel, daca un punct oarecare din componenta obiectului are coordonatele reale omogene (x,y,z,1), coordonatele sale in sistemul observatorului sunt:

(xo,yo,zo,1) = (x,y,z,1)×T,

unde T este matricea compusa a celor patru transformari.

T = A´B´C´D = .