Simplitatea lucrurilor complicate - Referate profesionale unice

Acasa » scoala » matematica
FUNCTII DE MAI MULTE VARIABILE

FUNCTII DE MAI MULTE VARIABILE

FUNCTII DE MAI MULTE VARIABILE

Fie o functie pe care o numim functie reala, de n variabile reale. Valoarea functiei intr-un punct x de forma , o notam cu

In cele ce urmeaza, cele mai multe exemple se vor referi la functii de doua variabile. Prin urmare, vom prezenta cele mai multe elemente de teorie doar pentru functii de doua variabile.

De exemplu, este o functie de n variabile si cu valori reale.

Fie un sir de puncte din pe care il notam si un punct .

Definitia 1. Spunem ca sirul este convergent si are limita a ddaca fiecare din sirurile sunt convergente si au limita x, respectiv y. Notam aceasta prin:

Definitia 2. Fie . Fie punctul (a, b) un punct de acumulare pentru multimea A. Spunem ca numarul real R este limita pentru functia f in punctul (a, b) daca:

Notam .

Fie . Fie . Spunem ca f este continua in punctul (a, b) daca exista si este finita limita lui f in acest punct si are loc egalitatea

Definitia 3. In ipotezele de mai sus, spunem ca f este continua in punctul (a, b) ddaca:

1. Folosind definitia limitei, sa se demonstreze ca

Solutie:

Trebuie demonstrat ca, astfel incat:

Transformam ultima inegalitate:

Putem considera si definitia limitei se verifica.

2. Folosind definitia cu siruri a limitei, demonstrati ca limita de mai jos nu exista:

Solutie:

Evident, functia careia trebuie sa-i calculam limita,adica , este definita pe intreg planul , mai putin punctul x = 0, y = 0. Fie atunci sirurile particulare:

Avem:

Cum cele doua limite obtinute au valori diferite, rezulta ca nu exista limita din ipoteza.

Derivate partiale. Diferentiala unei functii.

Fie si fie .

Definitia 4. Daca exista si este finita limita , spunem ca f admite derivata partiala de ordinul I in raport cu variabila x, in punctul (a, b). Vom nota:

Analog se poate defini derivata partiala de ordinul I a functiei f in raport cu variabila y:

Din definitiile de mai sus, observam imediat ca atunci cand calculam derivata partiala a lui f in raport cu variabila x, consideram variabila y constanta si atunci cand calculam derivata partiala a lui f in raport cu y, consideram variabila x constanta. De fiecare data, derivarea se face ca si cand functia ar avea o singura variabila, x sau y, dupa fiecare caz. Aceasta observatie se mentine si atunci cand calculam derivatele partiale ale unei functii de mai mult de doua variabile. In cele ce urmeaza, vom folosi in egala masura cele doua notatii pentru o derivata partiala.

3. Fie functia . Sa se calculeze derivatele partiale de ordinul I ale acestei functii.

Solutie:

4. Fie functia .

Sa se calculeze derivatele partiale de ordinul I ale acestei functii.

Solutie:

Fie o functie derivabila partial in functie de x si y intr-un punct oarecare (x, y) al multimii A. Daca derivatele partiale de ordinul I ,, definite pe A, sunt la randul lor functii derivabile partial in raport cu x si cu y, derivatele lor partiale se numesc derivatele partiale de ordinul al doilea ale functiei f.

Le vom nota astfel:

4. Sa se calculeze derivatele partiale de ordinul al doilea pentru functia , data de .

Solutie:

Formula de calcul pentru diferentiala de ordinul I pentru o functie este data de: ,iar pentru o functie este data de: .

5. Diferentiala de ordinul I pentru functia de la exemplul 5 este:

Formula de calcul pentru diferentiala de ordinul al doilea a unei functii f de doua variabile este:

6. Fie . Sa se calculeze diferentialele de ordinul I si al doilea pentru functia data.

Solutie:

Calculam derivatele partiale de ordinul al doilea:

Functii omogene. Relatia lui Euler.

Fie functia de n variabile, pe care o scriem intr-un punct ca . Inlocuim cele n variabile, in ordine, cu .

Definitia 5. O functie definita ca mai sus se numeste omogena de grad m, daca avem satisfacuta relatia:

Daca aceasta relatie se definitie se deriveaza partial in raport cu t si apoi se considera pentru t valoarea 1, se obtine relatia lui Euler:

Relatia lui Euler: O functie omogena de grad m si de n variabile, satisface relatia lui Euler:

7. Sa se verifice relatia lui Euler pentru functia

Solutie:

Pentru a verifica relatia lui Euler, trebuie sa verificam mai intai ca functia data este o functie omogena si sa determinam gradul ei in acest sens. Calculam:

Din definitie, rezulta ca f este functie omogena de grad -1. Calculam derivatele partiale de ordinul I:

Inlocuim in relatia lui Euler si rezulta:

Extremele functiilor de mai multe variabile.

A) Extremele functiilor de doua variabile:

Fie functia de doua variabile, . Notiunea de extrem al unei functii de o variabila, asa cum a fost introdusa in clasa a XI-a odata cu teorema lui Fermat, se poate generaliza pentru functii de mai multe variabile. La fel ca in cazul unei functii de un argument, o functie de mai multe variabile poate avea sau nu puncte de extrem. Algoritmul de parcurs pentru determinarea extremelor unei functii de doua variabile este prezentat mai jos:

1) Construim urmatorul sistem de ecuatii algebrice:

(1)

Solutiile acestui sistem, daca exista, se numesc puncte stationare pentru functia f. Printre aceste puncte stationare vom cauta eventualele extreme ale lui f. Fie un astfel de punct, ale carui coordonate sunt o solutie a sistemului (1). Trebuie, de la inceput, sa precizam ca nu intotdeauna un punct stationar este extrem al functiei.

2) Se determina derivatele partiale de ordinul al doilea pentru functia f, cu care se construieste matricea:

Aceasta matrice poarta numele de matrice hessiana a functiei f. Se scrie matricea hessiana pentru fiecare punct critic determinat la pasul anterior:

Se calculeaza:

3) Decizia:

Daca punctul critic este punct de minim.

Daca punctul critic este punct de maxim.

Daca punctul critic nu este punct de extrem.

Daca nu putem decide asupra naturii punctului critic .

8. Sa se determine punctele de extrem pentru functia de doua variabile data de

Solutie:

Calculam derivatele partiale de ordinul I:

Rezolvam sistemul de ecuatii obtinut prin egalarea cu 0 a derivatelor partiale de mai sus:

Sistemul conduce la urmatoarele puncte stationare:

Aceste patru puncte stationare obtinute, sunt sau nu puncte de extrem. Pentru a stabili natura lor, construim hessiana functiei f:

Pentru primul punct stationar determinat, obtinem:

Celelalte puncte stationare se trateaza analog.

Trebuie facuta diferenta dintre un punct de minim si minimul functiei. Minimul unei functii este o valoare, cea mai mica pe care o poate lua functia in discutie, iar punctul de minim este punctul in care functia ia o astfel de valoare. Acest comentariu este valabil si pentru maxim si puncte de maxim.

9. Determinati extremele libere ale urmatoarelor functii de doua variabile:

a) f(x,y) = (x - 1)² + 2y²

b) f(x,y) = x² + xy + y²- 2x - y

c) f(x,y) = x³y²(6 - x - y), x > 0, y > 0

Solutie:

a) Scriem derivatele partiale de ordinul I pentru f:

Egalam aceste derivate partiale cu 0 si rezolvam sistemul obtinut:

= P(1,0) - punct critic

Construim derivatele partiale de ordinul al doilea pentru f si, cu ajutorul lor, construim hessiana lui f:

Exprimam Hf(x,y) in punctul critic determinat, adica Hf(1,0).

Deoarece elementele hessianei sunt constante, Hf(1,0) este tot

Hf(x,y) =

Exprimam d₁ = primul element al lui Hf(1,0) si d₂ = det Hf(1,0)

D = 2 > 0 si D = = 8 > 0

Deoarece D > 0, din elementele de teorie stim ca punctul critic P, determinat anterior, este punct de extrem local pentru f. Din D>0, tot elementele de teorie ne spun ca P este punct de minim.

b) Scriem derivatele partiale de ordinul I pentru f:

= 2x + y - 2 si x + 2y - 1

Rezolvam sistemul:

P(1,0) - punct critic.

Construim hessiana lui f, deci matricea derivatelor partiale de ordinul al doilea:

Hf(x,y) =

Exprimam Hf(x,y) in punctul critic determinat:

Hf(x,y) = Hf(1,0) =

Avem:

D = 2 > 0 si D = = 4 - 1 = 3 > 0

Deci, P este punct de minim local pentru f, conform cu observatiile teoretice de la punctul anterior.

c) Aducem f la o forma mai simpla, deci desfacem paranteza pentru a evita sa derivam ca produs:

Calculam derivatele partiale de ordinul I:

Rezolvam sistemul:

Din fiecare din ecuatii, excludem varianta x = 0, sau y = 0, deoarece conditia din ipoteza este x > 0, y > 0. Sistemul de mai sus devine, urmarea impartirii fiecarei ecuatii cu x²y², respectiv x³y:

Scazand ecuatiile, avem: 6 - 2x = 0

12 - 6 - 3y = 0

Deci P(3,2) este punct critic.

Construim matricea hessiana:

Hf(x,y) =

Decizia cu privire la natura punctului critic o vom lasa pe seama cititorului.

B) Extremele functiilor de trei variabile.

Se considera functia . Se pune problema determinarii extremelor acestei functii, in situatia in care ele exista. Algoritmul de lucru este asemanator cu cel prezentat la functii de doua variabile, dar are cateva particularitati in ceea ce priveste decizia finala.