METODA INDUCTIEI MATEMATICE COMPLETE, ANALIZA COMBINATORIE, BINOMUL LUI NEWTON, SUME

METODA INDUCTIEI MATEMATICE COMPLETE, ANALIZA COMBINATORIE, BINOMUL LUI NEWTON, SUME

Inductie matematica

1. Inductie

a) 1³ + 3³ + 5³ + + (2n - 1)³ = n²(2n² - 1)

b) 1² - 2² + 3² - 4² + + (-1)^n-1 n² =

c)

d)

e)

.2. Inductie

a) x I Z a.i. 3x + 1 < 2log₂(x + 4) ; b)

c) n ;

d) a, b I R, a + b > 0, a b, n

e) f)

g)

h)

i)

j) n ,

3 Inductie

a) a₁ a_n & b₁ b_nI R

b) n 2, a₁ a_n > si a₁ a₂ a_n = 1, atunci a₁ + a₂ + + a_n n

c) 2ⁿ n² + 1, n 5; d) n 3, nⁿ⁺¹ > (n + 1)ⁿ , n

e) 3²ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺² n I N* ; f) 9ⁿ⁺¹ + 8n - 9 n I N*

g) n³ + 11n n I N*

4 Sa se calculeze:  5. Sa se rezolve ecuatiile:

6 Sa se rezolve ecuatiile:

7 a) Fie f: D R, f(x) =

Daca , atunci A = ?

b) Sa se determine x pentru care nr. este definit; x I Z.

c) Sa se rezolve ecuatiile:

8. Rezolvati:

este patrat perfect

f) Sa se demonstreze ca n 2 avem

9. a) Sa se rezolve ecuatia:

b) 1. Sa se rezolve ecuatia:

2. Sa se arate ca nu se divide cu 7.

3. Sa se arate ca a, b I N, a!b! divide pe (a + b)!

c) 1. Sa se rezolve in c ecuatia:

2. Sa se arate ca:

a) ; b)

c) ; d)

e) ; f)

3. Sa se arate ca pentru n par atunci:

4. Sa se calculeze, pentru n

5. Sa se calculeze: ; 6. Sa se arate ca:

d) 1. Rezolvati ecuatia: , n, k I N

2. Sa se arate ca numerele si sunt numere naturale,

n,p I N

10 Sa se determine:

1. a) T₈ al dezvoltarii (2x + a)^{10 ;} b) T mijloc al dezvoltarii

c) T_k al dezvoltarii care il contine pe x⁰ (in care nu apare x)

d) rangul termenului din dezvoltarea in care x si y au puteri egale

2. Se considera dezvoltarea . Sa se determine:

a) termenul care contine pe x⁵; b) termenul care contine pe a²⁰

c) termenul in care x si a au puteri egal ; d) termenul care nu contine pe x

e) termenul care contine pe a ; f) termenul din mijloc al dezvoltarii

3. In dezvoltarea suma coeficientilor binomiali de rang par este 4096. Sa se calculeze:

a) termenul care nu contine pe x

b) termenul care nu-l contine pe a

c) termenul in care x si a au puteri egale

d) termenul care contine pe a

e) termenul care contine pe x

4. a) Sa se determine n, daca coeficientul binomial al termenului de rang 3 al dezvoltarii este 190.

b) In dezvoltarea suma coeficientilor binomiali de rang impar este egala cu 256. Sa se gaseasca termenul care contine pe 1/a.

c) Sa se determine m.m.p. a.i. in dezvoltarea termenii de rang 12 si 24 sa contina pe x, respectiv pe x⁵ si, aceasta dezvoltare sa aiba termen liber.

d) Fie dezvoltarea . Sa se afle x stiind ca al patrulea termen al dezvoltarii este egal cu 200.

e) Sa se determine n si x daca, in dezvoltarea suma coeficientilor binomiali ai primilor 3 termeni este egala cu 22, iar suma dintre termenul al treilea si termenul al cincilea este 420.

5. Sa se gaseasca rangul termenului cel mai mare:

6. Fie dezvoltarea (2 + m)^m, m I N, m 2. Sa se determine m astfel incat termenul:

a) T₃ sa fie cel mai mare din dezvoltare

b) T₁₀ sa fie cel mai mare din dezvoltare

c) T₅₀ sa fie cel mai mare din dezvoltare

7. Sa se gaseasca suma coeficientilor din dezvoltarea:

11 1. Sa se determine termenii rationali ai dezvoltarilor urmatoare:

2. Sa se determine termenii rationali ai dezvoltarilor:

3. Sa se determine x, y, n I N daca in dezvoltarea:

a) b)

c) d)

e)

4. Sa se gaseasca coeficientii lui:

a) x³ din dezvoltarea (1 + x + x²)¹⁰

b) x⁶ din dezvoltarea (2 - 3x + x²)⁶

c) x¹⁰ din dezvoltarea (1 - x + x² - x³)¹⁰

d) x⁸ din dezvoltarea (1 - 2x + 3x² - 4x³)⁴

5. Sa se determine coeficientii termenului care contine pe:

a) x³ in produsul (1 + x)⁴(1 - x)⁷

b) x⁴ in produsul (1 + x)⁵(1 - x)³

c) x⁵ in produsul (2 - 3x)⁴(5 - 7 x²)¹⁰

6. Sa se determine termenii care nu contine pe a, din dezvoltarea:

7. Sa se determine x daca in dezvoltarea:

a) avem T₄ = 200

b) avem T₃ = 10⁶

c) avem T₃ = 36000

8. a) Sa se determine termenul care nu-l contine pe x din dezvoltarea:

b) Se considera , p I N, x > 0. Sa se determine termenul care nu contine pe x.

c) Sa se determine termenii irationali ai dezvoltarii

d) Sa se determine numarul termenilor rationali ai dezvoltarii

e) In dezvoltarea suma coeficientilor binomiali de rang par este egala cu 128. Sa se determine termenul care contine pe a³.

f) Sa se afle T₁₀ al dezvoltarii

9. a) Sa se determine n, daca in dezvoltarea (1 + x)ⁿ coeficientii lui x⁵ si x¹² sunt egali.

b) Sa se arate ca n 2 si avem (1 + x)ⁿ + (1 - x)ⁿ 2ⁿ

c) Sa se arate ca

Progresii aritmetice si geometrice

1. Sa se scrie primii 5 termeni ai (a_n) daca:

a) a₁ = 2, r = - 3; b) a₁₀ = 131, r = 12; c) a₅ = 27, a₂₇ = 6; d) a₃ = 11, a₅ = 19

Sa se scrie formula pentru (a_n)_n

2. a) Sa se determine a₁, a₃, a₅, a₆ pentru urmatoarea ordine a₁, - 7, a₃, -1, a₅, a₆, 8,

b) Sa se gaseasca a₁ si r daca:

c) Se da (a + b)ⁿ, si

Sa se determine x stiind ca termenul dezvoltarii care contine pe b⁵ este 21, iar coeficientii binominali ai celui de-al doilea, al treilea si al patrulea termen al dezvoltarii binomului sunt in

3. Cunoscand suma S_n, sa se determine:

a) primii S termeni ai , daca

b) primul termen si ratia , daca S_n = 2n² + 3n

c) ratia si a_n, daca S_n = 3n² + 4n

4. a) Fie (a_n)_n , S_n = a₁ + a₂ + + a_n, n > 0. Sa se arate ca daca S_n = a n² + b n unde a, b sunt numere reale date atunci sirul a_n formeaza

b) Fie S_n = a₁ + a₂ + + a_n, n 1. Sa se arate ca S_n = a n² + b n + c, unde a, b, c I R atunci (a_n), c =

c) Fie (a_n), . Daca a_m = n si a_n = m, m n sa se calculeze a_p, p I N*

d) Daca a_n , sa se calculeze a_p, S_p, p I N

5. a) Fie (a_n) n , S_k suma primilor k termeni ai sai. Daca S_m = m si S_n = n, m n atunci: S_p = p, p I N.

b) Intr-o (a_n)_n , a₁ = 1 si . Sa se determine progresia.

c) Fie (a_n)_n , S_k suma primilor k termeni ai sai. Sa se arate ca daca atunci , m n.

d) Sa se gaseasca suma primilor 20 termeni ai unei daca:

a₆ + a₉ + a₁₂ + a₁₅ = 20.

e) Intr-o progresie aritmetica avem S₁₀ = 100, S₃₀ = 900. Sa se determine S₅₀.

f) Sa se rezolve ecuatiile:

1 + 7 + 13 + + x = 280

(x + 1) + (x + 4) +(x + 7) + + (x + 28) = 155

6. A. Sa se demonstreze ca numerele sunt in

a)

b)

B. Sa se demonstreze ca daca a, b, c atunci si numerele urmatoare sunt in

a) a² - bc, b² - ca, c² - ab

b) b² + c² + bc, c² + ac + a², a² + ab + b²

Sa se arate ca daca a + b + c atunci este adevarata si reciproca.

c. Sa se demonstreze ca daca a², b², c² atunci:

a)

b) sunt in

C.a) Fie x₁, x₂, , x_n un sir de numere reale nenule.

Sa se arate ca acest sir este o progresie aritmetica daca si numai daca pentru n 2 avem relatia:

b) Sa se arate ca daca lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic sunt in atunci ele sunt proportionale cu numerele 3, 4, 5.

c) Fie (a_n) si (b_n) astfel incat a₁ + a₂ + + a₁₀ = 155, b₁ + b₂ = 9. Sa se determine progresiile, daca a₁ este ratia iar b₁ este ratia

d) Fie (a_n) si (b_n) astfel incat a₁ = b₁, a₂ = b₂, a₃ = b₃ - 8. Sa se determine progresiile.

e) Sa se arate ca daca n si k sunt numere naturale cu n k + 3 atunci nu pot fi termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.

7. A. Sa se gaseasca primul termen si ratia unei (a_n)_n , daca:

B. Sa se scrie primii 5 termeni ai (b_n) daca:

a) b₁ = 3, q = - 2

b) b₈ = 384, q = 2

c) b₆ = 25, b₈ = 9

d) b₃ = 20, b₉ = 1280

C. Sa se gaseasca termenii b₂, b₃, b₅, b₆ ai urmatoare: , b₂, b₃, 12, b₅, b₆, 216

D. Sa se determine (b_n)_n date prin:

a) b₁ = 2, b_n+1 = 3b_n

b) b₁ = 4, b_n+1 = - 3b_n

c) b₁ = 9, b_n+1 = 2b_n

d) b₁ = 10, b_n+1 = b_n

E. Fie a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ astfel incat suma logaritmilor in baza 3 a acestor numere sa fie egala cu 2. Sa se gaseasca aceste numere stiind ca:

8. a) Suma a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ = 62, a₁, a₂, a₃, a₄, a₅

Daca termenii al 5-lea, al 8-lea si al 11-lea ai acestei progresii sunt primul, al 2-lea si al 10-lea termen pentru o progresie ˜, sa se gaseasca primul termen al

b) Fie a, b, c ai a + b + c = 124 astfel incat sa fie termenii consecutivi a.i. . Daca a, b, c sunt al 3-lea, al 13-lea si al 15-lea termen al , sa se determine a, b, c.

c) Fie a₁ + a₂ + + a₁₃ = 130, a₁, a₂, , a₁₃

Presupunem ca termenii: al 4-lea, al 10-lea, al saptelea sunt 3 termeni consecutivi ai unei , sa se determine primul termen al

d) Fie (a_n) cu termeni pozitivi a.i. . Sa se demonstreze ca a₄, a₆, a₉ . Sa se determine ratia.

e) Fie a₁, a₂, ., a_2n+2 descrescatoare. Sa se demonstreze ca:

<

f) Fie y_n a.i. suma S_n = 2(5ⁿ - 1). Sa se determine S_n, y₁, y₂.

g) Nr. a, b, c cu ratia r iar nr. a, b + 1, c + 6 cu ratia r + 2. Sa se determine

9.A) Daca a₁, a₂, ., a_n de ratie r, sa se calculeze:

a)

b)

c)

d)

e)

B) Sa se determine a₁, a₂, ., a_n a. i.

a)

b)

C) Daca a₁, a₂, ., a_n de ratie r, are loc egalitatea:

D) Daca a₀, a₁, a₂, ., a_k sa se calculeze:

a) S = a² + a⁴ + a⁶ + . + a²ⁿ

b)

c)

1. a) Fie a₁, a₂, ., a_n si S₁ = a₁+ a₂+ .+ a_n

. Sa se determine, in functie de S₁ si S₂, produsul

P = a₁ a₂ a_n.

b) Daca a₁, a₂, ., a_n , sa se arate ca:

c) Fie nr. pozitive a₁, a₂, ., a_n , p I N*.

Sa se arate ca raportul sumelor:

si

nu depinde de n.

d) Sa se rezolve ecuatia:

1 + x + x² + . + x⁹⁹ = 0

e) Sa se determine x a.i. nr. a + x, b + x, c + x sa fie in

2. Se dau nr. a si b. Sa se determine x, y, z a.i. sa fie satisfacute simultan conditiile:

a) x, y, z ; b) x, y + a, z c) x, y + a, z + b

Caz particular: a = 4, b = 82.

3. a) Aflati x, y a. i.

b) Aratati ca

c) Daca a, b, c atunci abcd + (b - a)⁴ este patrat perfect.

d) Fie a₁, a₂, ., a₅. Aflati a₁ daca:

si

e) Fie x, y, z . Stiind ca suma lor este 30 si ca succesiunea x - 5, y - 4, z , sa se determine x, y, z.

f) Fie a, b, c nr. . Stiind ca a - 2, b - 6, c - 7, d - 2 , determinati a, b, c, d.

g) Determinati egalitatea:

Calculul sumelor

I. Folosind sumele elementare (S₁, S₂, S₃, S₄)

Sa se calculeze S si sa se verifice prin inductie:

a)

b)

c) d)

e)

f)

II. Folosind metoda desfacerii in fractii simple

1. Sa se calculeze S si sa se verifice prin inductie

a)

b)

c)

d)

e)

f)

2. a) Sa se calculeze:

b) Sa se calculeze:

III. Folosind artificii de calcul

1. Sa se calculeze:

a) ; b) ; c) ;

d) ; e) ; f)

g) ; h) ; i)

2. Sa se calculeze sumele urmatoare:

a) ; b) ; c)

d) ; e) ; f)

IV. Folosind derivate pentru sume de combinari

1. Sa se calculeze sumele urmatoare:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

2. Sa se calculeze:

a) ; b)

c) ; d)

e)

f)

V. Folosind integrale pentru sume de combinari

Sa se calculeze: a)

b) ; c)

d)

e)

VI. Folosind nr. complexe sub forma trigonometrica si identitatea a doua nr. complexe

1. Sa se calculeze:

a)

b)

c)

d)

2. Sa se calculeze sumele:

a)

b)

a)

d)

e)

f)

g)

VII. Folosind progresii aritmetice & geometrice si folosind sumele

Sa se calculeze sumele:

a)

b)

c)

d)

e)

VIII. Folosind binomul lui Newton

Sa se calculeze:

a)

b)

c)