Puterea unui punct fata de un cerc

Puterea unui punct fata de un cerc

Aceasta nota aduce in atentie chestiuni geometrice deloc noi,dar care adunate cu grija poate ca aduc un mic ajutor celor care se pregatesc pentru diverse concursuri scolare si un pic de bucurie tuturor celor care nu au uitat frumusetea geometriei sintetice la ale carei nestemate , prea usor parca , am renuntat in matematica de liceu.

Teorema : Daca sunt patru puncte distincte situate pe un cerc astfel incat ,atunci .

Demonstratie : Evident , deosebim cazurile :

1)

Deoarece (subantind acelasi arc) si (opuse la varf),deducem , de unde sau . Observatie:E util sa

C   B   A

reformulam: daca atunci pentru orice coarda care contine punctul M , produsul este constant.Valoarea constanta a acestui produs inmultita cu se noteaza cu si se numeste puterea punctului interior M fata de cercul dat .

2)

Din obtinem ,de unde aceeasi egalitate

M

Valoarea constanta a acestui produs se noteaza cu si se numeste puterea punctului exterior M fata de cerc.

Daca M este un punct fixat ne propunem acum sa determinam in functie de elemente cunoscute , expresia puterii sale fata de cerc.

1)

E suficient sa consideram coarda (AB) ca fiind diametru si deci

2)

La fel , consideram A , O , M , B coliniare ( in aceasta ordine) astfel incat (AB) este diametru si astfel avem : .

Observatie : Daca , ,iar daca MT e tangenta la cerc, punctul T fiind punctul de tangenta , avem . Asadar pentru orice punct M din planul cercului avem : .

În continuare va propunem unele aplicatii ( mai mult sau mai putin cunoscute,unele deosebit de frumoase).

Problema 1 . Daca si sunt cercul circumscris , respectiv cercul inscris pentru un triunghi ABC , atunci

Solutie :

Notam cu D intersectia bisectoarei cu ,asadar D este mijlocului arcului .Deoarece si , in obtinem

A

, adica triunghiul BID este isoscel cu .

Folosind teorema sinusurilor in avem si

.

Notam acum E piciorul perpendicularei din I pe CA si avem : , iar din

( dreptunghic in E ) , deducem : .

Este suficient acum sa scriem puterea punctului I fata de cercul si obtinem : sau , folosind relatiile (1) , (2) , (3) , , de unde

( Observatie : conduce acum la inegalitatea lui Euler , anume . ) ■

Problema 2 Daca este cercul circumscris triunghiului ABC in care G si H sunt centrul de greutate , respectiv ortocentrul , iar , atunci :

Solutie :

Folosind acum puterea punctului E fata de cercul ,avem :

,adica si , revenind,ajungem la :

. E suficient acum sa folosim un alt rezultat cunoscut,anume teorema medianei,conform careia avem :

. Din acest moment urmeaza efectiv calcule fara nici o dificultate.

Observatie: Egalitatea propusa se poate obtine si folosind,de exemplu, relatia ( Leibniz ) ,adevarata pentru orice punct M din planul triunghiului ABC.E suficient sa luam

Propunere : Daca tot am vazut cum se calculeaza OI , OG , incercati sa aratati ( si sa retineti ) cum se poate ajunge si la OH :

■

Problema 3 Se considera doua puncte fixe A si B pe diametrul unui semicerc , egal departate de centru , iar M si N doua puncte variabile pe semicerc astfel incat Sa se arate ca produsul este constant .

(Admitere facultate,1986)

Solutie :

Deducem acum ( coarde egal departate de centru ) si astfel : Cum , ajungem la Puterea punctului A fata de cerc conduce la , adica

( constant ) . ■

Problema 4 . Se noteaza cu M , N , P mijloacele laturilor (BC),(CA),respectiv (AB) ale unui triunghi ABC. Dreptele AM , BN , CP intersecteaza cercul circumscris triunghiului ABC in Q , S , respectiv T. Sa se demonstreze inegalitatea :

(Admitere facultate,1987)

Solutie : Folosind puterea punctelor M , N , P fata de cerc obtinem : . Suma din membrul stang al inegalitatii propuse se poate acum scrie :

Folosim acum teorema medianei ,adica

si analoagele .Urmeaza calcule imediate,grupari convenabile,folosirea in final a inegalitatilor de tipul si concluzia va este la indemana. ■

Problema 5 . Se considera un cerc in care este inscris triunghiul isoscel ABC ( ). Prin A se duce o coarda care intersecteaza ( BC ) in E si cercul in F. Sa se arate ca AB este tangenta cercului circumscris triunghiului BEF .

(Mihail St.Botez)

Solutie : Deoarece este comun si ( subantind coarde egale ) deducem ca : , de unde : sau . Folosind puterea punctului A exterior cercului circumscris triunghiului BEF obtinem ca AB este tangenta la acest cerc. ■

Problema 6 . Daca H este ortocentrul triunghiului ABC si D , E , F sunt picioarele inaltimilor acestuia ( ), sa se arate ca :

Solutie : Puterea punctului H fata de cercul circumscris patrulaterului inscriptibil ABDE

( unghiuri formate de diagonale cu laturi opuse sunt congruente - sunt chiar unghiuri drepte ) conduce la . Analog pentru alt patrulater inscriptibil. ■

Problema 7 . Se considera doua cercuri . Sa se determine locul geometric al punctelor din plan care au puteri egale fata de cele doua cercuri .

Solutie : Avem asadar de gasit multimea punctelor M din plan pentru care ( # ) .

Fara a restrange generalitatea problemei putem considera si notand , conditia ( # ) devine .

Avem acum alta problema ( destul de cunoscuta ) : Sa se determine locul geometric al punctelor M din plan pentru care diferenta patratelor distantelor la doua puncte fixe este constanta.

E suficient sa folosim,de exemplu , teorema lui Pitagora generalizata in triunghiul ( sau teorema cosinusului ? ) si obtinem imediat , daca N este proiectia lui M pe ,ca punctul N este fix , adica locul lui M este o dreapta perpendiculara pe .■

Observatii :

Locul astfel determinat se numeste axa radicala a cercurilor

( si este deci o dreapta perpendiculara pe linia centrelor ) ;

Daca , atunci axa radicala a cercurilor este chiar dreapta AB , iar daca MN este tangenta comuna cercurilor si , atunci AB intersecteaza (MN) in mijlocul acestuia .

Problema 8 . Se considera un triunghi ABC si se noteaza cu mijloacele laturilor (AC) , respectiv (AB ) , iar cu H piciorul inaltimii din A. Sa se arate ca cercul circumscris triunghiurilor si au un punct comun I , iar HI intersecteaza in mijlocul sau.

(Short list,OIM,1970)

Solutie : Consideram D ca fiind al doilea punct de intersectie a cercurilor circumscrise triunghiurilor si ; deducem acum : , de unde avem ca patrulaterul este inscriptibil , deci I este de fapt punctul D . În continuare , deoarece triunghiurile si sunt isoscele ( si - mediane corespunzatoare ipotenuzelor . ) , iar , deducem ca este tangenta comuna celor doua cercuri ( tangenta in ) . Cum HD ( sau HI ) este axa radicala a cercurilor respective , obtinem ca HI intersecteaza in mijlocul acestuia . ■

Problema 9. În triunghiul ABC se noteaza . Cercurile cu centrele in A , B si C de raze respectiv intersecteaza laturile triunghiului in sase puncte ( discurile respective sunt doua cate doua disjuncte).Demonstrati ca cele sase puncte sunt conciclice daca si numai daca exista egalitatile :

si .

(I.V.Maftei,A.Ghioca,ONM 1983)

Solutie : Notam

Presupunem ca M,N,P,Q,R,S sunt conciclice.Folosind puterea punctului A fata de cercul ce contine cele sase puncte avem :

, adica ;analog,cu puterea punctului C fata de acelasi cerc,avem . Reciproc,presupunand adevarate egalitatile si , vom arata ca hexagonul MNPQRS este inscriptibil; vom demonstra asadar ca mediatoarele laturilor sale sunt concurente.În primul rand,sa observam ca mediatoarele laturilorsunt concurente , fiind bisectoarele unghiurilor triunghiului ABC;notam punctul de concurenta cu O si aratam ca O este situat si pe celelalte mediatoare. Notam cu K , L , I proiectiile lui O pe dreptele BC , CA , AB. Cum O este pe mediatoarea lui ,avem : si deoarece aceasta mediatoare este si bisectoarea unghiului ,deducem : Obtinem astfel : si , analog , .Ajungem acum la : . Folosind ipoteza ,deducem si apoi Analog,din ipoteza , ajungem la Din (1) si (2) avem , adica sunt mediatoarele laturilor ale hexagonului . ■

Problema 10.Fie tangenta comuna a doua cercuri de centre si , secante in A si B . Dreapta AB intersecteaza a doua oara cercul circumscris triunghiului in M . Sa se stabileasca natura patrulaterului

(C.Cosnita , Rev.Pitagora,1939)

Solutie : Folosim observatia 2 , Problema 7 si astfel punctul N de intersectie dintre axa radicala a cercurilor si tangenta comuna are proprietatea ca .Observam ca si , asadar . Cum insa ,deducem si , asadar este paralelogram. ■

Problema 11. În triunghiul ABC , bisectoarea unghiului intersecteaza latura (BC) in D. Se considera cercul ω tangent la BC in D , care trece prin A , si se noteaza cu M al doilea punct de intersectie al lui AC cu ω. Se noteaza cu P al doilea punct de intersectie al lui BM cu ω. Sa se arate ca P este situat pe una din medianele triunghiului ABD.

(Concurs Iran , 1998)

Solutie : Notam cu .Evident,.

Deoarece APDM este patrulater inscriptibil,avem imediat :

. Cum insa DC este tangenta la ω in D , deducem : Acum , din

ajungem la : . Asadar :

Obtinem acum : .

Asadar si astfel BC este tangenta la cercul circumscris triunghiului APB.Deducem acum ca AP este axa radicala a celor doua cercuri ( ω si cercul circumscris triunghiului APB ) , care intersecteaza tangenta comuna in punctul T. Deoarece T este pa axa radicala,el are puteri egale fata de cele doua cercuri,adica : , deci P se afla pe mediana din A a triunghiului APB. ■

Problema 12. Se considera un triunghi ABC si astfel incat iar P un punct in interiorul triunghiului ADE.Se noteaza Daca O este centrul cercului circumscris triunghiului PDG , iar Q centrul cercului circumscris triunghiului PEF , sa se arate ca

Solutie : Deoarece cele doua cercuri se intersecteaza in P , este suficient sa aratam ca AP este axa lor radicala.Notam Din si astfel , adica H se afla pe axa radicala.Cum ,concluzia este imediata. ■

În incheiere,va propunem sa va incercati puterile cu urmatoarea problema :

Fie ABC un triunghi si in interiorul sau doua cercuri si care se intersecteaza in punctele M si N si astfel incat este tangent dreptelor AB si BC , iar este tangent dreptelor AC si BC. Sa se arate ca daca M si N sunt situate pe mediana din A a triunghiului ABC , atunci ABC este triunghi isoscel. Reciproca este adevarata ?

(Lucian Dragomir , G.M.)

Bibliografie :

D.M.Batinetu-Giurgiu si colectiv - Probleme date la olimpiadele de matematica pentru licee(1950-1990),Ed. Stiintifica, Bucuresti,1992

M.St.Botez - Probleme de geometrie , Ed. Tehnica , Bucuresti , 1976

A.Cota si colectiv - Matematica pentru clasa a IX a , manual , E.D.P. 1988

A.Leonte,R.Trandafir - Principii si structuri fundamentale in matematica de liceu , Ed. Albatros , Bucuresti , 1986

L.Nicolescu , V. Boskoff - Probleme practice de geometrie , Ed. Tehnica , Bucuresti , 1990

Gazeta Matematica , colectia 1983- 2006