ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR

ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR

Capitolul 1 Notiuni Introductive

1.1. Camp de evenimente

Se numeste experienta orice realizare a unui complex de conditii, a, bine precizat. Prin efectuarea unei experiente se intelege alegerea unui element dintr-o multime data, printr-un procedeu susceptibil de a fi repetat.

O anumita realizare efectuata sau viitoare, a unei experiente, se numeste proba. Deci, proba nu se confunda cu experienta insasi ci cu unul din rezultatele sale previzibile. Uneori, in loc de probe ale unei experiente, vom spune cazuri posibile ale experientei.

In legatura cu o experienta aleatoare (intamplatoare) ne putem pune o serie de intrebari ale caror raspunsuri nu le putem cunoaste decat dupa efectuarea experientei. Toate situatiile legate de o experienta aleatoare si despre care putem afirma cu certitudine ca s-au produs sau nu dupa efectuarea experientei, le vom numi evenimente.

Evenimentul care poate fi realizat de o proba si numai de una se numeste eveniment elementar. Celelalte evenimente (care nu sunt elementare) le vom numi evenimente compuse.

Experientele se impart in doua categorii : cu un numar finit de rezultate posibile (sau probe) si cu o infinitate de cazuri posibile. De exemplu, aruncarea zarului este o experienta cu un numar finit de cazuri posibile (6). Are sase evenimente elementare, dar poate avea si altele (de pilda sau fata 6 sau fata 3, sau una din fetele 2, 3, 5, etc.). Numarul total de evenimente este C₆° C C₆⁶

O multime de evenimente care pot aparea intr-o anumita experienta, se numeste sistem de evenimente si poate fi finit sau infinit, dupa cum contine un numar finit sau infinit de evenimente.

Evenimentul poate fi sigur (total) daca se realizeaza cu certitudine la fiecare efectuare a experientei sau imposibil daca nu se realizeaza la nici o efectuare a experientei. Evenimentele se noteaza de obicei cu litere mari ale alfabetului latin : A, B, C, . Evenimentul sigur se noteaza cu E, iar evenimentul imposibil cu O.

Fiecarui eveniment A ii corespunde evenimentul contrar (opus sau complementar) notat A sau CA. Evident ca E = O si O = E. Daca B A atunci si A B

Implicatia unui eveniment de catre alt eveniment. Zicem ca evenimentul A implica evenimentul B (AeB) daca B se realizeaza de fiecare data cand se realizeaza A. In caz contrar se va scrie : A(£B.

experienta, atunci AoB este evenimentul care consta in realizarea cel putin a unuia din cele doua evenimente (se citeste : A sau B).

Proprietatile reuniunii

AoB=BoA (comutativitate)

(A^B) ^C=A^(B^C) (asociativitate)

AeA^B, BeA^B

AuA=A (idempotenta)

AoE=E (proprietatile ultimului element)

AoO=A (proprietatile primului element)

Intersectia a doua evenimente : AnB este evenimentul care consta in realizarea ambelor evenimente (se citeste A si B).

Evenimente compatibile. Doua evenimente A si B sunt compatibile daca se pot realiza simultan, adica daca exista probe comune care realizeaza atat pe A cat si pe B (AnB^O). In caz contrar evenimentele sunt incompatibile (AnB=O, adica sunt disjuncte).

Proprietatile intersectiei

AnB=BnA (comutativitate)

(AnB) nC=An(BnC) (asociativitate)

An(B^C)=(AnB) ^(AnC) (distributivitate)

Definitia 1. Fie E o multime nevida. (E^O) si N o familie nevida de parti ale lui E. Cuplul (E,N) se numeste camp de evenimente (finit sau infinit) daca N verifica axiomele unui trib (algebra) respectiv a unui trib borelian (a- algebra)

a)    EgN Og N

b)   (V)A g N A g N

c)    A, Bg N A^jBg N, AhBg N

d)   A, Bg N Ac:B >BAg N unde B A = B n A (diferenta)

00

^{e) Daca N este infinit si Ag N, igN=> U Ai g N I Ai g N}

i

Definitia 2. Sistemul de evenimente , i = 1,n, B_i g N , se numeste sistem complet

n

de evenimente daca : B_i 0, B_i I B_j = O (i j), U B_i E.

i

Definitia 3. Un eveniment Ag N se numeste eveniment compus daca exista doua evenimente B, Cg N diferite de A astfel incat A=BoC. Un eveniment care nu este compus si nu este imposibil, se numeste eveniment elementar sau atom.

1.2. Notiunea de probabilitate

Vom caracteriza printr-un numar rational 0<p<1, gradul de realizare (sansa realizarii) al fiecarui eveniment A dintr-un camp de evenimente N. Un astfel de numar notat P(A) se va numi probabilitatea evenimentului A.

n_A

Definitia statistica P(A) = lim f_n (A), unde f_n (A) = - se numeste frecventa

n->oo  n

relativa a evenimentului A intr-o serie de n repetari a unei experiente ; n_A este numarul aparitiei evenimentului A in cele n incercari.

m

Definitia clasica P(A) = - ; m este numarul de cazuri favorabile producerii

n

evenimentului A iar n este numarul cazurilor posibile, in ipoteza ca toate cazurile sunt posibile.

Aceasta definitie reduce notiunea de probabilitate la notiunea de egal probabilitate de aparitie a evenimentelor elementare, care fiind admisa ca notiune primara nu poate fi definita riguros matematic. Se presupune ca multimea evenimentelor atasate unei experiente poate fi construita prin operatia de reuniune a unor evenimente egal posibile.

Definitia clasica este insuficienta deoarece se aplica numai pentru campuri finite de evenimente, unde chiar si pentru acestea nu intotdeauna se poate vorbi de cazuri egal posibile (de exemplu zarul nu este perfect simetric).

Definitia geometrica extinde notiunea de probabilitate in cazul campurilor infinite.
Astfel, fie Q o multime masurabila a unui spatiu euclidian n-dimensional, a carei masura
Lebesgue n-dimensionala este pozitiva si finita. Notam OnQ clasa de parti masurabile ale
lui Q si h(A) masura Lebesgue a multimii masurabile Ag OnQ. Se arunca la intamplare
un punct in multimea Q si se cere sa se determine probabilitatea ca punctul respectiv sa
cada in multimea A. Se intuieste ca probabilitatea cautata este proportionala cu masura
multimii u(A) - masura multimii A si nu depinde de forma si asezarea lui A, adica prin
definitie :

p(A)= ^TQ

Aceasta probabilitate verifica proprietatile observate atat la frecventa relativa cat si la probabilitatea data prin definitia clasica. De multe ori se considera in aplicatii cazul cand Q=[a,b] al dreptei reale, iar A este un subinterval inchis [a',b']. Atunci :

b'-a'

P(A)=t- b-a

Definitia axiomatica. Kolmogorov in anul 1931 pune bazele axiomatice ale teoriei
probabilitatilor, in stransa legatura cu teoria masurii si teoria functiilor de variabile
reale.

Numim probabilitate pe un camp de evenimente (E,N), o functie P:N-[0,1] cu proprietatile :

P(E)=1

An g N, n g N = O, m n PJIKJ = >(An)

Din definitie rezulta ca o probabilitate nu este altceva decat o masura pozitiva normata (ia valori numai in [0,1]) definita pe un trib (respectiv trib borelian). Daca E este o multime finita, rolul lui N este jucat de S(E) - multimea partilor lui E, pentru ca de

obicei in tratarea ansamblista atomii se reduc la elementele eeE numite evenimente elementare.

Daca (E,N) este un camp finit de evenimente, ale carui evenimente elementare sunt =E, din definitia axiomatica rezulta

n

P(ei) > 0, i = 1,n; £Pfe) P(E) = 1

Daca P(e₁)=P(e₂)=^=P(e_n) spunem ca evenimentele elementare e_i sunt egal

-

probabile si in acest caz deducem : P(e_i) = -, i = 1,n

^{Daca Ag N oarecare, A = ei1 JJei2J)---Uei ,}

avem :

adica raportul dintre numarul evenimentelor elementare favorabile evenimentului dat si numarul total de evenimente elementare ale campului.

Astfel definitia clasica a probabilitatii este continuta, ca un caz particular, in definitia axiomatica.