Tehnologie Afaceri Scoala Didactica Legislatie Familie

 

Fig. 1. Modele folosite la compensarea masuratorilor

1. Modelul functional

1.1. Modelul functional neliniarizat

Conform celor specificate anterior dependenta functionala dintre masuratori si necunoscute este de forma:

(1)

Relatia (1) defineste modelul functional si reprezinta un sistem de n ecuatii si h necunoscute.

Discutie privind dimensiunea sistemului (1):

Daca n < h atunci, din punct de vedere matematic, sistemul este compatibil nedeterminat, din punct de vedere geodezic, numarul de masuratori este insuficient pentru rezolvarea problemei.

Daca n = h atunci, din punct de vedere matematic sistemul este compatibil determinat, din punct de vedere geodezic, se masoara numai strictul necesar de elemente pentru rezolvarea problemei.

Daca n > h atunci, din punct de vedere matematic sistemul este incompatibil, iar din punct de vedere geodezic, sistemul intereseaza pentru ca reprezinta cazul in care in retea s-au efectuat mai multe masuratori decat necunoscute, deci putem pune problema compensarii.

Daca valorile masurate direct ar fi neafectate de erori, atunci sistemul (1) ar fi compatibil si rezolvabil in raport cu necunoscutele . In acest caz ecuatiile suplimentare in numar de (n-h) ar fi simple consecinte ale celorlalte h iar operatiile de masurare s-ar reduce la atatea masuratori cate necunoscute sunt.

Datorita erorilor de masurare sistemul (1) este incompatibil, astfel marimilor masurate trebuie sa li se aplice niste corectii astfel incat sistemul sa devina compatibil.

(2)

(3)

1.2. Liniarizarea ecuatiilor

Deoarece in majoritatea cazurilor functiile din relatia (3) sunt neliniare, si avand in vedere ca prelucrarea observatiilor prin metoda masuratorilor indirecte presupune un model functional liniar, aceste ecuatii se aproximeaza cu ecuatiile liniare ce se obtin prin dezvoltarea in serie Taylor, in jurul unor valori aproximative ale necunoscutelor, , si retinand din dezvoltare doar termenii de ordinul I.

(4)

In relatia (4) am adoptat urmatoarele notatii:

- valoarea cea mai probabila a necunoscutei.

- valoare aproximativa (provizorie).

- corectia ce trebuie aplicata valorii aproximative.

Aceste corectii trebuie sa fie suficient de mici, astfel ca in dezvoltarea in serie sa putem neglija termenii de ordinul II si mai mari.

Din relatiile (4) si (3), dezvoltand in serie Taylor obtinem:

(5)

In relatia (5) vom considera urmatoarele notatii:

(6)

(7)

unde

- coeficientii necunoscutelor din ecuatia i.

- termenul liber al ecuatiei de corectie i.

Observatie: Termenul liber al ecuatiei de corectie se obtine ca diferenta dintre valoarea calculata si valoarea masurata. 

Relatiile (5) vor deveni prin notatiile (6) si (7):

(8)

Aceasta relatie reprezinta forma generala a sistemului liniar al ecuatiilor de corectii. Scrisa desfasurat relatia (8) are urmatoarea forma:

(9)

Observatii cu privire la sistemul liniar al ecuatiilor de corectii:

Pentru fiecare marime masurata se intocmeste cate o ecuatie.

Conform relatiei (7) marimea masurata intervine numai in termenul liber, deci termenul liber contine erori.

Coeficientii sunt marimi lipsite de erori (constante).

Ordinul de marime sau unitatea de masura a corectiei este data de ordinul de marime si unitatea de masura a termenului liber.

2. Modelul stochastic

2.1. Matricea de varianta-covarianta a masuratorilor

Asa cum s-a specificat in paragraful (2.1) modelul stochastic descrie proprietatile stochastice ale masuratorilor prin matricea de varianta-covarianta :

(10)

In relatia (10) s-au folosit notatiile:

- varianta masuratorii .

- covarianta masuratorilor si .

Proprietatile matricei de varianta-covarianta:

Matricea de varianta-covarianta este matrice patratica (numarul de linii este egal cu numarul de coloane).

Matricea este simetrica fata de diagonala principala.

Matricea de varianta-covarianta este pozitiv definita (determinantii dezvoltati pe diagonala principala sunt pozitivi).

Consecinta: , deci .

2.2. Determinarea matricei ponderilor

Ponderea reprezinta un numar pozitiv prin care se exprima gradul de incredere intr-o marime masurata.

In general ponderea unei masuratori se defineste astfel:

(11)

- constanta arbitrar aleasa pentru a obtine valori ale ponderilor convenabile.

Uneori consideram , astfel

(12)

- abatere standard a unitatii de pondere apriori (dependenta de instrument).

Notiunea de pondere prezentata in formulele (11) si (12) o putem generaliza pentru intreaga matrice de varianta-covarianta, obtinand astfel matricea ponderilor:

, sau (13)

(14)

De asemenea la modelul stochastic trebuie adaugata conditia care va dirija intreaga prelucrare prin metoda masuratorilor indirecte:

Observatii cu privire la matricea de varianta-covarianta si matricea ponderilor:

In cazul masuratorilor corelate atat matricea de varianta-covarianta , cat si matricea ponderilor sunt matrice pline.

In cazul masuratorilor independente matricea de varianta-covarianta si matricea ponderilor sunt matrice diagonale.

In cazul masuratorilor independente de aceeasi precizie elementele de pe diagonala principala a matricei de varianta-covarianta sunt egale, iar matricea ponderilor devine matricea unitate ().

Estimarea parametrilor necunoscuti

1. Cazul masuratorilor de precizii diferite. Tratarea matriceala

Fie sistemul liniar al ecuatiilor de corectii:

(16)

De asemenea vom considera matricea ponderilor care in general este

, cu observatiile facute in paragraful (2.1) (17)

In sistemul (16) vom considera urmatoarele notatii:

(18)

Matricele de mai sus au urmatoarele semnificatii:

- matricea coeficientilor ecuatiilor de corectie.

- vectorul corectiilor.

- vectorul parametrilor.

- vectorul termenilor liberi.

Cu ajutorul notatiilor (18), din relatia (16) rezulta ca forma generala a sistemului de ecuatii de corectie va fi:

(19)

Sistemul (19) este compatibil nedeterminat. Pentru a ridica nedeterminarea sistemului vom pune suplimentar conditia de minim (metoda celor mai mici patrate) reprezentata prin relatia (15), care matriceal ia urmatoarea forma:

(20)

Inlocuind relatia (19) in (20) rezulta:

(21)

Cunoastem din analiza matematica faptul ca punctele de extrem (maxim sau minim) ale unei functii sunt punctele in care prima derivata a functiei este nula. Deci conditia (20) se exprima matematic astfel:

(22)

Tinand cont de (21) in (22) si derivand in functie de , obtinem

(23)

Efectuand calcule in relatia (23) vom obtine

(24)

(25)

Relatia (25) reprezinta sistemul normal in cazul masuratorilor indirecte de precizii diferite. 

Notatie: (26)

- matricea sistemului normal.

Cu notatia (26) sistemul normal (25) devine

(27)

Pentru a afla necunoscutele , corectiile ce se aplica valorilor provizorii, vom inmulti relatia (27) la stanga cu , obtinand

(28)

Matricea notata si cu se numeste matricea cofactorilor parametrilor.

Astfel din relatia (28) vectorul va fi:

(29)

Relatia (29) reprezinta rezolvarea sistemului normal in cazul masuratorilor indirecte de precizii diferite.

Valorile ce se vor regasii in vectorul parametrilor necunoscuti sunt corectii pe care le vom aplica valorilor provizorii pentru a determina valorile cele mai probabile:

(30)

Cu ajutorul valorilor determinate in relatia (29) se determina vectorul corectiilor cu relatia (19). Aceste corectii se aplica marimilor masurate , obtinand valorile cele mai probabile ale masuratorilor:

(31)

2. Cazul compensarii masuratorilor eterogene

In foarte multe situatii la compensarea retelelor geodezice prin metoda patratelor minime apare situatia in care se masoara marimi de natura diferita. In acest caz se pune problema compensarii masuratorilor de natura diferita sau eterogene. Asadar prin masuratori eterogene intelegem masuratori de natura diferita (ex. distante, directii orizontale, unghiuri zenitale, diferente de nivel)

Fie o retea geodezica in care s-au masurat direct distante si directii.

- directii masurate.

- distante masurate.

Daca se doreste o prelucrare sau compensare in bloc a acestor observatii, valorile cele mai probabile ale parametrilor necunoscuti, conform metodei patratelor minime se obtin sub conditia:

(32)

Relatia (32) poate fi scrisa efectuand un artificiu de calcul sub urmatoarea forma:

(33)

Ponderile directiilor si respectiv distantelor se calculeaza cu relatiile:

(34)

Deci:

(35)

Tinand cont de (35), relatia (33) devine:

(36)

In relatiile (36) vom efectua urmatoarele notatii:

(37)

Observatie: Marimile din relatiile (37) sunt adimensionale. Marimile se numesc corectii fictive pentru directii sau distante.

Inlocuind relatiile (37) in (36) vom obtine:

(38)

Observatie: Masuratorile s-au transformat in masuratori de aceeasi precizie.

Concluzie: Prin prelucrarea in bloc ecuatiile de corectie pe directii si pe distante se omogenizeaza prin intermediul ponderilor.

Determinarea matricei ponderilor

In general matricea ponderilor se determina cu formula (13). Astfel este de observat ca in cazul retelelor geodezice in care se executa si masuratori de directii si masuratori de distante matricea de varianta-covarianta a masuratorilor, , este de urmatoarea forma:

directii

(39)

distante

Deci matricea ponderilor devine conform formulei (13):

directii

(40)

distante

Avand in vedere ca intr-o retea geodezica numarul directilor masurate este mai mare decat numarul distantelor si de asemenea considerand ca directiile au fost masurate cu aceeasi precizie, in relatia (40) putem scoate factor comun si alege . Astfel vom obtine:

directii

(41)

distante

In cazul retelelor geodezice in care se masoara deopotriva si directii si distante (masuratori eterogene), matricea ponderilor se poate calcula cu relatia (41).

Restul algoritmului de compensare in cazul masuratorilor eterogene este similar algoritmului prezentat in paragraful (1).

Cazul compensarii masuratorilor corelate

a) Corelatia fizica si corelatia matematica

Dependenta (corelatia) dintre marimile care intervin intr-o compensare este de doua feluri:

Corelatie matematica.

Corelatie fizica.

In cazul corelatiei matematice se disting de asemenea doua aspecte, si anume:

Cand intr-o compensare intervin marimi sau functii dintr-o compensare anterioara. Aceste marimi sunt dependente, corelatia dintre ele putand fi usor determinata cu ajutorul matricei de varianta-covarianta.

Cand se introduc in compensare nu elemente initiale masurate si care sunt considerate independente, ci o combinatie a acestora (ex. se folosesc unghiuri deduse cu ajutorul directiilor), corelatia si in acest caz este usor de stabilit deoarece se cunoaste dependenta functionala.

In cazul corelatiei fizice se presupune ca in timpul procesului de masurare rezultatele masuratorilor sunt influentate in comun de anumiti factori exteriori. In acest caz dependenta masuratorilor este data de matricea de varianta-covarianta care contine informatii despre corelatia fizica dintre marimi.

Exemplu de corelatie matematica: Fie unghiurile si obtinute din directiile masurate , si conform figurii de mai jos.

Fig. 2. Corelatia unghiurilor din directii masurate

Din figura putem scrie:

Observam ca unghiurile si sunt corelate pentru ca ambele depind de .

b) Compensarea masuratorilor corelate

Vom prezenta modelul de compensare a masuratorilor corelate comparativ cu modelul de compensare a masuratorilor independente intr-un tabel centralizator.

Tab. 1. Compensarea masuratorilor independente si a masuratorilor corelate

Observatie: In cazul masuratorilor corelate se observa ca modelul functional ramane acelasi. Ceea ce se modifica este modelul stochastic.

4. Controlul compensarii

In urma compensarii prin metoda masuratorilor indirecte este necesar sa se efectueze controlul calculelor. Pentru aceasta vom inlocui marimile determinate cu relatiile (30) si (31) in relatia (3) pe care acestea trebuie sa o satisfaca in limita preciziei de calcul.

Deci in concluzie putem spune ca in urma compensarii marimile compensate trebuie sa satisfaca modelul functional neliniarizat.

(42)

4 Estimarea preciziilor

Orice prelucrare a observatiilor efectuate intr-o retea geodezica se incheie cu calculele de evaluare a indicatorilor de precizie

4.1 Abaterea standard a unitatii de pondere

(43)

Se observa ca in acest caz trebuie sa se evalueze valoarea:

(44)

Aceasta valoare se poate calcula si cu relatia:

(45)

Relatia (44) scrisa matriceal are urmatoarea forma:

(46)

Avand in vedere importanta deosebita pe care o are valoarea pentru calculul indicatorilor de precizie este recomandat ca aceasta valoare sa se calculeze prin doua metode diferite cu relatiile (44) si (46).

4.2 Estimarea preciziei necunoscutelor

Abaterea standard a necunoscutelor o vom obtine aplicand dispersia unei transformari liniare. Fie o transformare liniara de forma:

(47)

Atunci matricea de varianta-covarianta a vectorului este de forma:

(48)

Necunoscutele in cazul masuratorilor indirecte se obtin printr-o transformare liniara de forma (29). Deci conform relatiei (48) putem determina matricea de varianta-covarianta a necunoscutelor cu formula:

(49)

Dupa cum bine stim erorile de masurare sunt continute in termenul liber, deci putem spune ca:

(50)

Inlocuind (50) in (49) si efectuand calcule obtinem:

(51)

Efectuand in continuare calcule in relatia (49) vom ajunge la:

(52)

Stiind ca in matricea de varianta-covarianta, valorile dispersiei marimilor se afla pe diagonala principala putem scrie ca:

(53)

Din relatia de mai sus rezulta formula pentru abaterea standard a unei necunoscute:

(54)

5. Elipsa erorilor

5.1. Elipsa absoluta

Pozitia planimetrica a unui punct determinat prin metoda patratelor minime depinde de doi parametrii N si E. Deoarece erorile medii patratice si , isi modifica valorile la o schimbare de reper (o rotatie a axelor), ceea ce produce o neuniformitate in estimarea preciziei, se impune introducerea unui invariant care sa nu depinda de reper, ci numai de precizia de masurare a elementelor retelei si de configuratia acesteia. Acest invariant este elipsa erorilor.

Fie o retea geodezica compensata prin metoda patratelor minime in care s-au obtinut coordonatele punctelor noi si matricea cofactorilor

unde:

- blocul bidimensional aferent punctului, extras din matricea cofactorilor .

Pentru a determina domeniul de incredere in pozitia planimetrica a unui punct vom considera o schimbare de reper (o rotatie a axelor) ca in fig.

Fig. Schimbare a sistemului de referinta

Pozitia punctului P in noul sistem (u,v) o obtinem aplicand matricea de rotatie coordonatelor sale planimetrice N si E

Relatia (62) reprezinta o transformare liniara de forma (47).

Pentru a determina blocul bidimensional aferent punctului P in ipoteza unei rotatii a axelor vom aplica dispersia unei transformari liniare, data de relatia (48), in relatia (56).

Efectuand calcule in relatia (57) obtinem:

(58)

Relatia (58) reprezinta formula unei conice. Mai precis aceasta conica reprezinta o elipsa reala.

Punand conditia de extrem in (58) obtinem orientarea semiaxei mari a elipsei:

Reducerea la primul cadran a orientarii elipsei se face conform urmatorului tabel:

Tab. 2. Stabilirea cadranului orientarii elipsei

Pentru a calcula semiaxele elipsei vom determina initial valorile proprii , ale acesteia. Astfel din relatia (58) va rezulta:

(60)

Deci semiaxele elipselor vor fi:

Observatie: Primul factor , are semnificatia unui factor de scara in timp ce depinde de geometria retelei.

Deci in cazul masuratorilor repetate vom obtine elipse asemenea.

Fig. 4. Elipsa absoluta a erorilor

Folosim elipsa erorilor pentru:

Determinarea directiilor dupa care erorile sunt maxime respectiv minime.

Pentru calculul erorii pe orice directie:

(62)

Se introduce notiunea de eroare totala sau eroare Helmert:

(63)

Interpretarea geometrica: eroarea Helmert reprezinta semidiagonala dreptunghiului in care este inscrisa elipsa.

Aceasta eroare este folosita in studii comparative.

Elipsa erorilor este de asemenea utilizata in probleme de optimizare (studiul geometriei retelei) sau design. Din acest punct de vedere vorbim despre:

Retele omogene in care avem elipse cu aceeasi dimensiune.

Retele izotrope in care eroarea pe orice directie intr-un punct este aceeasi.

5.2 Elipsa relativa

Pentru unele retele este posibil sa intereseze precizia pozitiei relative a doua puncte oarecare I si J din retea. In acest caz este nevoie sa determinam elipsa relativa a erorilor.

Fie o retea geodezica in care cunoastem in urma compensarii matricea inversa a sistemului normal si coordonatele punctelor noi.

Fig. 5. Elipsa relativa a erorilor

Matriceal putem scrie urmatoarea relatie pentru determinarea coordonatelor relative dintre doua puncte noi I si J.

Relatia (64) reprezinta o transformare liniara de forma (47). Pentru a determina elementele matricei cofactorilor coordonatelor relative vom aplica dispersia unei transformari liniare data de relatia (48).

Efectuand calcule in relatia (65) obtinem:

(66)

Calculul elementelor elipsei relative se realizeaza similar cu cel al elementelor elipsei absolute, cu observatia ca in formulele (59) si (60) elementele blocului bidimensional aferent punctului vor fi inlocuite cu elementele matricei cofactorilor coordonatelor relative date de relatiile (65) sau (66). Astfel vor rezulta urmatoarele formule:

Orientarea elipsei:

Valorile proprii:

(68)

Semiaxele elipsei se vor calcula utilizand relatiile (61).

Elipsa relativa este folosita pentru:

Determinarea erorilor in pozitia relativa a doua puncte pe orice directie.

Determinarea erorilor longitudinale care indica precizia distantei de la I la J, .

Determinarea erorilor transversale care indica precizia orientarii directiei de la I la J, .

Concluzii referitoare la domeniile de incredere:

in spatiul unidimensional domeniul este intervalul de incredere.

in spatiul bidimensional domeniul de incredere este elipsa erorilor.

in spatiul tridimensional domeniul de incredere este elipsoidul de eroare.