Logica propozitiilor

Logica propozitiilor

Baza cunoasterii o formeaza notiunile. Exemple de notiuni sunt numarul, operatiile, obiectele.

Relatiile dintre notiuni sunt judecatile.

Se numeste propozitie o expresie verbala a unei judecati despre care se poate spune daca este adevarata sau falsa. Pentru a decide daca o propozitie este adevarata ea trebuie plasata intr-un univers U al discursului.

O forma propozitionala este o propozitie P(x) in care apare variabila x element al universului U.

Exemple

In universul U al domnitorilor Moldovei, forma propozitionala:

"x este fiul predecesorului sau"

-este adevarata pentru x = Petru Rares

-este falsa pentru x = Alexandru Lapusneanu

In universul U al cartilor din biblioteca , forma propozitionala:

" x este o carte scrisa de Mircea Eliade "

-este adevarata pentru x = Istoria religiilor

-este falsa pentru x = Pseudo-Kynegheticos.

Pentru a individualiza o submultime , este suficient sa precizam o forma propozitionala P(x) in U. Acestei forme i se asociaza multimea elementelor pentru care forma propozitionala este adevarata.

1. Principiile din logica matematica

Principiul celor doua valori. Vom considera ca propozitiile pot fi doar adevarate sau false. Acest principiu se stipuleaza in felul urmator:

a)     Principilul tertiului exclus: O propozitie este sau adevarata, sau falsa, alta varianta nu exista.

b)     Principiul noncontradictiei: O propozitie nu poate fi in acelasi timp si adevarata si falsa.

2. Formarea propozitiilor

Propozitiile elementare sunt de forma : " S este P". Interpretarea acestei propozitii: subiectul S este numele predicativ P. De exemplu: "Casa este verde". Aici S = "casa" iar P = "verde".

Propozitiile elementare se leaga prin conectivele logice care se mai chema si functori logici sau conectori logici:

Utilizand acesti functori obtinem propozitii compuse.

Exemplu:

Fie propozitiile p : "casa este verde" q: " gardul este stricat". pq este o noua propozitie : "casa este verde si gardul este stricat".

Valoarea unei propozitii

Valoarea unei propozitii asociaza numarul 1 propozitiilor adevarate si 0 propozitiilor false.

v(p)=1 , daca propozitia este adevarata

v(p)=0 , daca propozitia este falsa.

4. Scheme de construire a unor propozitii din alte propozitii

Pornind de la propozitia p se obtine propozitia care este adevarata cand p este falsa. Celor doua propozitii le putem atasa un tabel al valorilor de adevar:

Tabela de adevar pentru negatie:

Daca p si q sunt doua propzitii (sau doua forme propozitionale de aceeiasi variabila), atunci

este o noua propozitie, adevarata atunci cand si p si q sunt adevarate

este o noua propozitie, adevarata atunci cand este adevarata cel putin una dintre cele doua propozitii.

Tabela de adevar pentru conjunctie si disjunctie:

Obsevatie.

Sa consideram P(x), o forma propozitionala, si A multimea elementelor pentru care P(x) este adevarata. Sa notam cu B multimea pe care Q(x) este adevarata. Ca in figura 1. am reprezentat prin diagrame Venn multimile elementelor si valorile de adevar ale propozitiilor. Se vede imediat ca:

este adevarata pe multimea

este adevarata pentru

este adevarata pentru

Fig.1.

Implicatia : este o propozitie falsa cand p este adevarata si q este falsa.

Tabela de adevar pentru implicatie si echivalenta

Pe de alta parte, propozitia este adevarata indiferent de valorile propozitiilor p si q, asa cum rezulta din ultima coloana a tabelului de mai jos.

5. Construirea multimii propozitiilor.

Fie o multime nevida de propozitii elementare. Aplicatia de valuare este o functie surjectiva care atasaza unei propozitii valoarea sa de adevar.

Cu ajutorul functorilor se extinde la multimea tuturor propozitiilor P , iar functia de valuare se extinde la .

Putem defini inductiv aceasta extindere. Extinderea lui

(i)

(ii) daca se dau expresiile , atunci sunt expresii .

Extinderea lui v

(iii) Multimea P este formata numai din elementele definite prin (i)si (ii).

Am obtinut in acest mod o algebra generata de adica .

Elementele din P se numesc propozitii. sunt propozitii compuse obtinute din propozitiile elementare aplicand (ii).

Din cele discutate pana acum putem compune tabelul valorilor de adevar pentru functorii descrisi mai sus.

6. Ierarhizarea functorilor logici

Functorii logici sunt aplicati pe rand in expresii respectand urmatoarea ordine de prioritate: . Ordinea aplicarii functorilor poate fi modificata cu ajutorul parantezelor.

Functia de adevar pentru expresii este, asa cum am spus, . Doua expresii sunt semantic echivalente, , daca .

Se numeste tautologie o expresie universal valabila , adica pentu care .

Exemple de tautologii.

1) este o tautologie.

Demonstratia o vom face construind un tabel al valorilor de adevar.

Ultima coloana arata ca valoare propozitiei este 1 indiferent de valorile propozitiilor elementare.

2) este o tautologie. Intr-adevar, urmarind tabelul vedem ca valorile acestei propozitii sunt 1 indiferent de valorile variabilelor.

7. Formule propozitionale

Multimii propozitiilor elementare , i se adauga multimea variabilelor propozitionale . Astfel, multimea si formulele obtinute cu functorii alcatuiesc algebra , generata de F. Daca este o formula propozitionala care depinde de variabilele , notam formula propozitionala cu .

Inlocuind variabilele cu propozitiile se obtine o noua propozitie .

O formula se numeste tautologie, sau lege logica sau formula identic adevarata, daca , propozitia este adevarata.

Decidem daca este o tautologie pe baza tabelului valorilor pe care le poate lua conform cu .

Daca este o tautologie, atunci este o absurditate.

Daca nu este nici tautologie, nici absurditate, atunci se numeste formula realizabila.

Daca este o tautologie, atunci valoarea sa de adevar depinde numai de , nu si de .

Exemple de tautologii.

Ca exercitiu, sa demonstram tautologia . Construim in acest scop tabelul valorilor de adevar

Demonstratia tautologiei decurge in felul urmator

Demonstratia principiului tertiului exclus si respectiv :

Alte tautologii

Exercitiu.

Sa se demonstreze tautologia

Rezolvare.

8. Scheme cu contacte

Utilizarea logicii matematice in analiza si sinteza circuitelor electrice si electronice dateaza din primii ani ai proiectarii mecanismelor automate si apoi a calculatoarelor. Gr.C.Moisil s-a preocupat de teoria algebrica a mecanismelor automate, publicand in 1959 un curs asupra acestor probleme.

Intr-o schema distingem elementele de comanda (contacte normal deschise sau normal inchise), elementele intermediare si elementele de executie (becuri, dispozitive de semnalizare etc).

Vom nota in continuare cu litere mici a,b,,z, contactele normal inchise si cu contactele normal deschise.

Fig. 2. Contacte normal inchise si normal deschise

Dipoli cu contacte

a)     Circuitul deschis, respectiv circuitul inchs formeaza un dipol cu contacte

b)     Contactele normal inchise si normal deschise sunt dipoli cu contacte

c) Daca sunt dipoli , atunci dipolii obtinuti prin montarea in serie sau paralel a dipolilor , sunt dipoli cu contacte

Formulele de structura a unei scheme .

a,b,,z, contactele normal inchise

contactele normal deschise

X,,Z relee

U,W lampi

simbol pentru montarea in serie

simbol pentru montare in paralel

Pentru schema de mai jos

Fig.

formula de structura este

9. Functia de lucru a unui dipol cu contacte

Se considera o variabila k indicand starea de functionare a unui dipol. Daca k = 1, dipolul conduce, daca k = 0, dipolul nu conduce.

Conductibilitatea dipolului din figura de mai jos

Fig. 4.

Poate fi stabilita utlizand tabelul urmator:

Conductibilitatea dipolului din figura 5

Fig. 5.

Poate fi stabilita din tabelul

Pentru dipolul din figua 6

Fig. 6.

Formula de structura este

Functia de lucru a dipolului este data in tabelul urmator

10. Prima problema de analiza

Prima problema de analiza cere sa se determine valoarea functiei de lucru a unui dipol.

Exemplu. Se da dipolul de mai jos:

Fig. 7.

Se pune problema de a stabilii daca pentru a = b = 1, c = d = 0 dipolul conduce ?

Formula de structura a dipolului este

Functia de lucru primeste pentru a = b = 1, c = d = 0 valoarea

, deci dipolul conduce.

Probleme

Sa se scrie formulele de structura pentru schemele de mai jos.

Problema 1. Problema 2. Problema

Problema 4 Problema 5

Solutia problemei 1:

Solutia problemei 2:

Solutia problemei 3:

Solutia problemei 4:

Solutia problemei 5:

11. Inferete logice

Inferenta logica este o metoda de a obtine noi propozitii adevarate din propozitii despre care s-a stabilit deja ca sunt adevarate.

Orice tautologie conduce la o regula de inferenta.

Conditiile de aplicare a unei reguli precizeaza premisele inferentei si apoi concluzia. Se utilizeaza notatia

Daca S este un sistem de reguli de inferenta se introduce relatia

"A poate fi dedus din S", notata .

Exemple

1)

Inferenta corespunzatoare este urmatoarea:

Explicand cu cuvinte, notatia de mai sus inseamna: daca H poate fi dedus din S si poate fi dedus din S, atunci G poate fi dedus din S.

2)

Aceasta tautologie se poate scrie ca un lant de inferente

Citim astfel premisele: , implicatia poate fi dedusa din S si la randul ei, implicatia poate fi dedusa din S .

Concluzia este ca implicatia

poate fi dedusa din S.

Tautologia poate fi scrisa ca regula contrapozitiei:

Tautologia poate fi scrisa ca principiul contradictiei in felul urmator