Tetraedre izodinamice si izofaciale

Tetraedre izodinamice si izofaciale

Definitie : Tetraedrul izodinamic este tetraedrul pentru care produsul lungimilor muchiilor opuse este constant.

Teorema 50:

Fiind dat un tetraedru [ABCD] si un punct MIInt(ABC) conditia necesara si suficienta ca dreptele AN_A, BN_B, CN_C, DN_D( AM (BCD)=; g_A(MA)=N_A) sa fie concurente este:

AB CD=AC BD=AD BC.

Demonstratie :

Se considera pentru inceput varfurile Asi B.

Fie QICD (ABM), PI(MN_A) CD, P I(AN_B) CD.

Evident dreptele AN_A si BN_B sunt secante daca si numai

daca punctele P si P coincid.

Aplicand teorema lui Steiner a izogonalelor in DBCD

si DACD se obtine

; . Se constata imediat ca punctele P si P coincid daca si numai daca sunt egali membrii secunzi ai egalitatilor evidentiale, adica: BC AD=AC BD.

Inlocuind B cu C se constata , analog, ca dreptele AN_{A ,}BN_B, CN_C si DN_D sunt secante doua cate doua , atunci are loc(1) si reciproc.

Un caz particular de tetraedru izodinamic [ABCD] este tetraedrul in acre una din fete este triunghi echilateral. Presupunand ca aceasta fata este (ABC) , in afara egalitatii (1) vor avea loc

(AB)s(BC)s(CA) (2) si (AD)s(BD)s(CD) (3).

Un astfel de tetraedru se numeste izofacial sau mai frecvent piramida triunghiulara regulata.

Teorema 51:

Un tetraedru izodinamic [ABCD] este izofacial daca si numai daca este ortocentric.

Demonstratie :

Ipoteza ca [ABCD] este izodinamic asigura ca, dup[a fixarea etalonului pentru masurarea lungimilor , exista un numar real pozitiv p, astfel incat pentru orice pereche de mucii opuse lungimilor lor x,y sa satisfaca egalitatea x y=p.

Conform relatiilor tetraedrului ortocentric AC² + BD² = CD² +AB² = BC² +AD² revine la existenta lui k in R astfel incat x² + y²=k . Asadar x si y sunt solutiile ecuatiei de gradul al II-lea

.

Daca aceasta ecuatie are radacini confundate se obtine imediat ca [ABCD] are toate muchiile congruente, deci este si izofacial.

Daca ecuatia considerata are radacini distincte t₁ si t₂ urmeaza =. Se poate presupune ca notarea tetraedrului s-a facut astfel incat (AB)s(BC)=t₁ si (AD)s(CD)=t₂.

Urmeaza explicitarea egalitatii de multimi =.

Daca AC=t₁ si BD=t₂ atunci se obtin egalitatile (2) si (3). Daca AC=t₂ si BD=t₁ se constata imediat ca au loc relatiile :

(AD)s(DC)s(CA) si (3 (AB)s(BC)s(BD) ce difera de (2) si (3) doar prin modul de notare.

Deci , daca tetraedrul izodinamic [ABCD] este ortocentric atunci el este izofacial.

Reciproc , daca tetraedrul [ABCD] este izofacial , din egalitatile (2) si (3) T AC² + BD² = CD² +AB² = BC² +AD² si care asigura ca tetraedrul [ABCD] este ortocentric.

Teorema 52:

Un tetraedru izodinamic [ABCD] este izofacial daca si numai daca este tetraedru Crelle.

Demonstratia se obtine din cea precedenta ,inlocuind formula AC² + BD² = CD² +AB² = BC² +AD² cu AD+BC=AC+BD=AB+CD.

Teorema 53:

Un tetraedru [ABCD] este izodinamic daca si numai daca

Demonstratie :

Folosind teorema lui Bretschneider(1870) pentru un tetraedru [ABCD] au loc egalitatile:

Aplicand aceasta teorema , relatia (4) este echivalenta cu (1) :AB CD=AC BD=AD BC.