Premii definite prin functii de pierdere

Definitie. O functie L : A ) cu proprietatea ca L(x,x) = 0 se numeste functie de pierdere. Semnificatia valorii L(x,y) este :"ce pierd daca inlocuiesc valoarea corecta x cu valoarea y ". Din acest punct de vedere este natural sa postulam ca functiile h a L(x,x+h) si h a L(x,x- h) sunt crescatoare in h

Exemple. 1. L(x,y) = x-y ^p, p > 0. Cazul p = 2 se numeste "functie de pierdere patratica".

2. L(x,y) = e^hx-e^{hy p} cu p > 0, h >

3. L(x,y) = (x - y)²e^hx cu h >

Definitie. Fie L o functie de pierdere si X 0 o variabila aleatoare (un risc). Numarul A_L(X) care minimizeaza functia f(t) = E(L(X,t)) se numeste L- aproximantul lui X. Intuitiv: daca am inlocui variabila aleatoare cu constanta A_L(X) pierderea medie ar fi minima. Nu intotdeauna un asemenea numar existasau, daca exista, nu intotdeauna este unic. Pentru a gasi formule de calcul, este suficient in multe cazuri sa presupunem riscul X marginit.

Exemple. . f(t) = E( X - t ^p) . Daca p > 1, f  este derivabila si f'(t) = pE( X-t ^p- sign(X-t)). Mai mult, functia f este strict convexa deci are un unic punct de minim. Acesta este solutia ecuatiei

E X-t ^p- sign(X-t)) = 0.

Numarul A_L(X) se numeste in acest caz p-aproximantul lui X. Este interesant cazul p = 2: ecuatia (5.1) devine E(X-t) = 0 T t = A₂(X) = EX. Deci 2-aproximantul este chiar media - lucru cunoscut sub numele de "proprietatea de optim a mediei". Cazul p = 1 face exceptie: functia modul nu este derivabila iar ecuatia (5.1) devenita E(sign(X-t)) = 0 P(X > t) = P(X < t) s-ar putea sa nu aiba solutii. O analiza directa a functiei f(t) = E X-t ne arata ca minimul ei se atinge pentru t = Median(X) . Mediana lui X este locul unde functia de repartitie a lui X ia valoarea ½ sau cuantila de 50%. Definitia se poate da si riguros, vezi cursul general. Daca p < 1 lucrurile se complica deoarece functia f nu mai este convexa, nici derivabila, poate avea mai multe puncte de minim dupa cum se poate vedea studiind cazul X , p = ½ ; atunci

f(t) = are minime locale (nederivabile) in punctele t = x_n.

Acum f(t) = E( e^hX-e^{ht p}). Notand Y = e^hX, u = e^ht obtinem functia E( Y - u ^p) . Daca p > 1 atunci solutia ecuatiei (5.1) este u = A_p(e^hX) de unde gasim

A_L(X) =

Formula este valabila si daca p = 1. Pentru cazul p = 2 obtinem aproximantul A_L(X) = . Dar acesta este chiar prima exponentiala H_h(X) ! (vezi lectia !). Stim din inegalitatea lui Jensen ca prima exponentiala este un principiu de calcul realist, deci H_p(X) EX. Daca p =1 obtinem ceva legat de mediana. Pentru h mic obtinem aproximatia H_h(X) ≈ ≈ EX + hEX²/2

. f(t) = E((X - t)²e^hX) = t²Ee^hX - 2tE(Xe^hX) . Este o functie de gradul 2, deci t_min = A_L(X) = .

Acesta se numeste premiul Esscher calculat cu coeficientul de aversiune la risc h. Pentru valori mici obtinem neglijind termenii in h²,  aproximatia A_L(X) ≈ ≈ (EX + hEX²)(1 - hEX) ≈ EX + hVar(X). Ultimul se foloseste in actuariat sub numele de premiul variantei.

Vom demonstra ca si premiul Esscher este un premiu realist. Ne bazam pe un rezultat mai general, anume

PROPOZITIA 5.1. Fie f,g doua functii avind aceeasi monotonie (sau ambele crescatoare sau ambele descrescatoare) si X o variabila aleatoare cu proprietatea ca variabilele aleatoare f(X), g(X) si f(X)g(X) au medie . Atunci

E(f(X)g(X)) Ef(X) Eg(X)

Demonstratie. Folosim urmatoarea formula a carei verificare o lasam cititorului:

LEMA 5.2. Fie X,Y doua variabile aleatoare i.i.d. si f,g doua functii masurabile cu proprietatea ca variabilele aleatoare f(X), g(X) si f(X)g(X) au medie . Atunci

E[(f(X)- f(Y))(g(X) - g(Y))] = 2[E(f(X)g(X)) - Ef(X) Eg(X)]

Daca f si g au aceeasi monotonie, atunci membrul sting din (5.4) este pozitiv, ceea ce incheie demonstratia. E(f(X)g(X)) Ef(X) Eg(X)

COROLAR 5.3. EX

Demonstratie. In (5.3) luam f(x) = x si g(x) = e^hx

Observatie. Inegalitatea (5.3) are o interpretare foarte naturala: daca f si g au aceeasi monotonie, atunci variabilele aleatoare f(X) si g(X) trebuie sa fie pozitiv corelate! Alta consecinta a inegalitatii ar fi : daca X este o variabila aleatoare pozitiva si a,b > 0 , atunci EX^a+b EX^aEX^b (luam f (x) = x^a, g(x) = x^b)