Marimile medii matematice

Marimile medii

Determinarea valorilor tipice care sa fie reprezentative pentru intreaga colectivitate se realizeaza prin calculul marimilor medii. Acestea exprima ceea ce este comun si general in orma de manifestare a fenomenelor de masa urmarind eliminarea a ceea ce este intamplator si neesential in producerea lor.

Conditii de aplicare si de calcul a marimilor medii.

Calculul marimilor medii trebuie sa se bazeze pe un numar suficient de mare de cazuri individuale diferite;

Colectivitatea sa fie omogena adica valorile individuale ale caracteristicii pentru care se calculeaza medii sa nu difere prea mult de la o unitate la alta;

Daca valorile individuale difera semnificativ se vor calcula medii pe grupe omogene;

Pentru a caracteriza cat mai correct fenomenul trebuie ales acel tip de medie care corespunde cel mai bine formei de rotatie a caracteristicii studiate;

In practica statistica se utilizeaza urmatoarele tipuri de medie: aritmetica, armonica, geometrica, patratica;

Aceste tipuri de medii se calculeaza sub forma simpla sau sub forma patratica.

Mediile simple - se utilizeaza atunci cand media varianta la care s-a inregistrat caracteristica este egal cu mairmea unuitatilor statistice la care s-a facut observarea.

Mediile ponderate - se utilizeaza atunci cand aceeasi varianta se intalneste la mai multe unitati de observare deci fiecarei variante i se poate atasa o frecventa.

In statistica social-economica de utilizeaza cel mai des media aritmetica de aceea atunci cand se vorbeste despre medie se intelege automat ca este vorba despre media aritmeticii iar in cazul in care s-a calculate alt tip de medie se va specifica denumirea acesteia.

Definitie: Media aritmetica este rezultatul sintetizarii intr-o singura expresie numerica a tuturor nivelurilor individuale obsevate.

Se obtine reportand valoarea totalizata a caracteristicii la numarul total al unitatilor statistice obsevate.

=

Media arimtmetica - este aceea valoare la care ar fi ajuns fiecare unitate observata daca toti factorii ar fi actionat constant in toate cazurile.

Media aritmetica - este o valoare tipica pentru un ansamblu deci inseamna ca ea reprezinta acea valoare cu care daca s-ar inlocui toti termenii seriei si s-ar face suma , aceasta suma ar fie egala cu suma termenilor reali din care s-a calculate media.

Media aritmetica simpla

x₁, x₂, ....x_n

x₁ + x₂ + ....+ x_n = n= =

+ + ... = n

x₁ = 3

x₂ = 5  = = 5 mil lei/persoana

x₃ = 7

Media aritmetica ponderata

x₁ f₁ + x₂ f₂ + .....+ x_m f_m 

f₁ + f₂ + .... + (f₁ + f₂ +... + f_m) =

=

= mil lei /persoana

Intotdeauna se specifica unitatea de masura. Daca repartitia de frecvente se reprezinta sub forma de intervalr de variatie x_i din relatia de calcul a mediei aritmetice ponderate reprezinta centrul de interval corespunzator numarului de calcul.

Fie K numar de grupe (numar de interval de variatie) media aritmetica devine:

Considerand in mod arbitral, theoretic, conventional ca in fiecare interval frecventele distribuite uniform, inseamna ca valoarea medie a caracteristicii in fiecare grupa va fie gala cu media aritmetica simpla a celor doua limite ale intervalului.

x_i = c_i = sau X_i = C_i = limita inferioara +

h = marimea intervalului de grupe

Media este exacta atunci se calculeaza direct din valorile sub care a fost inregistrata caracteristica.

!!! Media (aritmetica) poate fi suficient de corect calculate sip e baza unei serii de intervale. Erorile provin prin faptul ca in realitate, in intervale, frecventele nu se distribuie uniform si prin urmare valorile cererilor de interval nu sunt medii exacte pentru grupele de unitati constituite dupa caracteristica de grupare alesa.

Sa se calculeaza salariul mediu

= mil lei /persoana

Realitate 7, 8 ,9, 12  = 9

In cazul in care frecventele sunt exprimate sub forma de procent (, expresia de calcul a mediei aritmetice ponderate devine:

= =

f_i^*_% = g_i^f =

mil lei / persoana

Daca frecventele sunt exprimate sub forma de coefficient, relatia de calcul a mediei aritmetice ponderate devine:

Media armonica - a termenului unei serii este acea valoare a carei marime inverse este media aritmetica calculate din valorile inverse ale termenilor aceleiasi serii.

(media armonica simpla)

(media armonica ponderata)

Media patratica - este acea valoare cu care daca se inlocuiesc patratele tuturor termenilor seriei si apoi se insumeaza, se va obtine aceeasi valoare ca si in cazul insumarii directe a patratelor termenilor individuali. Se utilizeaza in cazul in care se da o mai mare importanta termenilor cu valori mari din serie.

Media geometrica - este acea valoare cu care daca se inlocuiesc toti termenii seriei si apoi se face produsul lor valoarea obtinuta este egala cu produsul termenilor reali.

Se utilizeaza pentru a calcula indicii medii de dinamica sau media modificarilor procentuale.

Intre cele patru tipuri de medie exista relatia:

_h < < <