Functii de variabile aleatoare

Functii de variabile aleatoare

Presupunem ca legea de distributie a variabilei aleatoare x sa fie data sub forma tabloului urmator.

x x₁ x_{2 ..} x_{k .....} x_n

p p₁ p_{2 ..} p_{k .....} p_n

Consideram o functie de variabila aleatoare x.

y = f(x)

Valorile functiei y_k = f(x_k) vor fi valori ale variabilei aleatoare y.

Daca toate valorile y_k = f(x_k) sunt diferite, legea de distributie a variabilei aleatoare y va fi data prin tabloul:

y = f(x)  y₁ = f(x₁) y₂ = f(x₂) ...... y_n = f(x_n)

p p₁ p_{2 ..........} p_n

Daca pentru valorile y_k = f(x_k) unele sunt egale intre ele, coloanele corespunzatoare vor fi reunite intr-una singura insumand probabilitatile corespunzatoare.

Speranta matematica a functiei y = f(x) a variabilei aleatoare x va fi determinata cu ajutorul unei formule cunoscuta.

M[f(x)] =

Se defineste de asemenea varianta functiei:

D[f(x)] = M[(f(x) - M[f(x)])²] =

Exemplul 1. Legea de distributie j a unei variabile aleatoare este data de urmatorul tablou:

j 0

p_k 0,1 0,1 0,2 0,3 0,3

Se considera functia:

y= A sinj

a acestei variabile aleatoare.

Dispunem in tablou distributia variabilei aleatoare y:

y - A 0 A

p_k 0,1 0,1 0,2 0,3 0,3

Sa calculam speranta matematica a functiei:

M[A sinj ] = -A* 0,1 - + 0,02 + + A * 0,3 =

= A (0,2 + ) = A(0,2 + 0,14) = 0,34 * A

Tipuri de aceste probleme se intalnesc in studiul proceselor vibratoare.

11. Variabile aleatoare continue. Densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare continue. Probabilitatea pentru ca o variabila aleatoare sa apartina unui interval dat.

Pentru a intelege problema consideram un exemplu.

Exemplu: Se masoara uzura unui cilindru dupa o anumita perioada de exploatare. Aceasta marime este determinata de valoarea de crestere a diametrului cilindrului. O notam cu x. Din natura problemei rezulta ca aceasta cantitate x poate sa ia toate valorile intr-un anumit interval (a, b) al valorilor posibile.

O cantitate de acest gen se numeste variabila aleatoare continua.

Consideram deci o variabila aleatoare continua x data in intervalul (a, b) care poate fi interval infinit (). Impartim acest interval cu ajutorul punctelor arbitrare x₀, x₁, . x_n in intervale mici, arbitrare de lungime

Ax_i-1 = x_i - x_i-1

Presupunem ca, cunoastem probabilitatea de apartenenta a variabilei aleatoare x la intervalul (x_i-1, x_i). Vom nota aceasta probabilitate in felul urmator:

P (x_i-1 < < x_i)

Si o vom reprezenta sub forma ariei rectangulare de baza x_i. (vezi fig. 1)

y y

0 x_i-1 x_i x x+Dx x

Pentru fiecare interval (x_i-1, x_i) se determina probabilitatea ca variabila aleatoare x sa apartina de acest interval si in consecinta se poate construi linia poligonala sau scara.

Definitia 1. Daca exista o functie y = f(x), astfel incat:

lim = f (x) (VII 46)

aceasta functie f(x) este numita densitate de distributie a probabilitatilor variabilei aleatoare , sau "legea de distributie" (sau inca "densitatea de probabilitate").

Vom nota prin variabila aleatoare continua, prin x sau x_k valoarea acestei variabile aleatoare. Curba y = f(x) este numita curba de distributie a probabilitatilor, sau curba de densitate (fig.2). Utilizand notiunea de limita, se obtine plecand de la egalitatea (VII 45).

P (x < < x + Dx) f(x)Dx  (VII 47)

Teorema 1. Fie f(x) densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare . Atunci probabilitatea pentru ca valoarea variabilei aleatoare x sa se gaseasca intr-un anumit interval (a b este egala cu integrala definita de functia f(x) intre limitele a si b altfel spus avem egalitatea:

P (a< x< b) =   (VII 48)

Demonstratie. Impartim intervalul (a b cu ajutorul punctelor  (a = x­₁, ­ x­₂ ,., x­_n+1 = b in n mici intervale (fig. 3). Aplicam fiecarui interval formula (47):

P (x₁< < x₂) f(x₁)Dx₁

P (x₂< < x₃) f(x₂)Dx₂

_{...............}

P (x_n< < x_n+1) f(x_n)Dx_n

Adunam membrii din partea stanga si pe cei din parte dreapta. Este evident ca in stanga obtinem P (a<< b Astfel:

P (a<< b

Am obtinut o egalitate aproximativa.

0 a = x₁  x_n x_n+1 = b

M₁

M₂

a b x

Trecand la limita in membrul doi cand Dx_i vom obtine, in virtutea proprietatilor sumelor integrale, ca egalitatea exista:

P (a<< b) =

(vom presupune ca functia f(x) este astfel ca limita la dreapta exista_____00+). Dar limita membrului secund nu este alta decat integrala definita a functiei f(x) intre limitele a si b Noi avem astfel:

P (a<< b) =

Teorema este demonstrata.

Vom putea deci, cunoscand densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare, sa determinam probabilitatea pentru ca aceasta variabila aleatoare sa ia valoarea sa in intervalul considerat. Geometric vorbind aceasta probabilitate este egala cu trapezul curbiliniu. (Fig.4).

Remarca. In cursul unei variabile aleatoare continua, probabilitatea actualizarii evenimentului, constand in aceea ca x = x₀ , va fi nula.

Intr-adevar, punand egalitatea (VII 47) x = x₀ vom obtine:

P (x₀ < < x₀ + Dx) f(x₀)Dx

de unde

sau inca

P(x = x₀ ) = 0

Aceasta deoarece in egalitatea (VII 48), ca si in egalitatile precedente putem scrie nu numai:

P (a< < b), dar si P (a b

Fiind data ca:

P (a b) = P (=a ) + P (a< < b) + P (= b) = P (a< < b

Daca toate valorile posibile ale variabilei aleatoare x se gasesc in intervalul (a, b), atunci:

(VII 49)

deoarece se stie cu certitudine ca variabila aleatoare apartine intervalului (a, b).

Daca intervalul valorilor posibile este (-), atunci:

(VII 50)

Notam ca daca din desfasurarea probei rezulta ca functia F(x) este determinata pe intervalul finit (a, b) se poate estima ca ea este determinata pe tot intervalul infinit

(-), dar ca:

f(x) = 0

in exteriorul intervalului (a, b). In acest caz avem de asemenea egalitatile (VII 49) si (VII 50).

Densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare defineste in intregime variabila aleatoare.