Particularitati ale operatiilor fundamentale asupra numerelor intregi si rationale

Unitatea de invatare 1

PARTICULARITATI ALE OPERATIILOR FUNDAMENTALE ASUPRA NUMERELOR INTREGI SI RATIONALE

BREVIAR TEORETIC

Toate calculele elementare se reduc la sase operatii fundamentale, care se grupeaza in operatii directe si operatii inverse. Operatiile directe sunt: adunarea, inmultirea si ridicarea la putere. Operatiile inverse sunt: scaderea, impartirea si extragerea radacinii.

Adunarea este operatia prin care doua sau mai multe numere sunt reunite intr-un singur numar. Rezultatul adunarii se numeste suma, iar numerele care se aduna se numesc termeni.

Scaderea este operatia prin care se pot scoate dintr-un numar a atatea unitati cate sunt intr-un alt numar b. Numarul a se numeste descazut, numarul b se numeste scazator, iar rezultatul scaderii se numeste rest sau diferenta.

Adunarea si scaderea numerelor rationale scrise sub forma zecimala se fac ca la numerele intregi, termenii se aseaza unii sub altii, avand grija ca virgulele sa fie unele sub altele. Pentru scadere se recomanda completarea cifrelor zecimale cu zerouri pentru ca cele doua numere sa aiba tot atatea cifre zecimale.

Exemplu:

17,6 – 8,971 = 8,629

17,600 –

8,971

8,629

Inmultirea cu un numar intreg este o adunare de numere egale. De exemplu, in loc de suma

6 + 6 + 6 + 6 + 6 scriem 6 ∙ 5 = 30.

Numerele care se inmultesc se numesc factori, iar rezultatul inmultirii se numeste produs.

Pentru inmultirea numerelor rationale scrise sub forma zecimala se face abstractie de virgule, obtinand doua numere intregi al caror produs se efectueaza in mod obisnuit. La rezultat se despart de la dreapta spre stanga atatea cifre zecimale cate au impreuna cei doi factori. In plus, deoarece ordinea factorilor nu conteaza, vom considera ca prim factor numarul cu cele mai multe cifre.

De exemplu, 6,2 ∙ 14,39 il vom calcula astfel:

La produs se despart (de la dreapta spre stanga) 3 zecimale, adica 89,218.

Daca se muta virgula zecimala spre dreapta peste 1, 2, 3 cifre, atunci numarul zecimal se mareste de 10 ori, 100 ori respectiv 1000 ori.

Aceasta este, de asemenea, si regula inmultirii numarului zecimal cu 10, 100, 1000, etc.

Daca in dreapta nu sunt atatea cifre pentru a muta virgula in mod corespunzator, atunci se adauga numarul de zerouri necesar.

Impartirea unui numar a cu un numar b inseamna a gasi un numar c, care inmultit cu b sa dea a. Numerele care se impart se numesc termeni, a este deimpartitul, b este impartitorul si c este catul. Daca impartitorul nu se cuprinde de un numar exact de ori atunci impartirea se numeste impartire cu rest.

a = b ∙ c + r, 0 ≤ r ≤ b

Intotdeauna restul impartirii r este un numar natural.

Pentru a imparti o suma sau o diferenta neefectuata printr-un numar sau se efecteaza suma, respectiv diferenta si se imparte rezultatul cu numarul dat sau se imparte fiecare termen cu numarul dat, dupa care se efectueaza suma sau diferenta caturilor. Daca deimpartitul este numar zecimal si impartitorul este un numar natural, se imparte partea intreaga a catului, care poate fi si zero, se pune virgula zecimala la cat si se continua impartirea ca la numerele intregi, coborand la rest, pe rand toate cifrele zecimale ale deimpartitului.

Daca impartitorul este un numar zecimal se transforma in numar intreg prin eliminarea virgulei, marind in mod corespunzator si deimpartitul. In continuare impartirea se face in mod obisnuit.

Daca se muta virgula spre stanga peste 1, 2, 3 etc. cifre, atunci numarul zecimal se micsoreaza de 10 ori, 100 ori, 1000 ori, etc.

Aceasta este, de altfel, si regula impartirii unui numar zecimal prin 10, 100, 1000, etc. Daca in stanga nu sunt atatea cifre pentru a muta virgula in mod corespunzator, atunci se adauga numarul de zerouri necesar.

Ordinea efectuarii operatiilor.

Intr-un sir de operatii fara nici o paranteza ordinea efectuarii operatiilor este: ridicarea la putere, respectiv extragerea radacinii, inmultirea, impartirea si, in ultimul rand, adunarea si scaderea.

EXERCITII SI PROBLEME PROPUSE

Mariti de 10, 100, 1000 ori numerele:

a) 156; b) 6324; c) 84; d) 689; e) 7815; f) 24,53; g) 974396; h) 9,3; i) 1957,02; j) 54,34; k) 8935; l) 460,2; m) 59,43; n) 1988; o) 0,005; p) 5730.

Micsorati de 10, 100, 1000 ori numerele:

a) 893; b) 93543; c) 38; d) 978; e) 584,72; f) 7234; g) 862491; h) 91,41; i) 1924,58; j) 98545; k) 5938; l) 834; m) 17430; n) 1006; o) 8,9; p) 62045; q) 65,75; r) 5934; s) 0,003; t) 730.

Ultimele case ale unei strazi poarta numerele 115 pe partea stanga si 124 pe partea dreapta. Cate case sunt pe aceasta strada, daca pe partea dreapta 5 case au numarul “bis”, iar pe cea stanga ? au numarul “bis” ?

Completati locurile punctate cu numerele ce rezulta din adunarea pe orizontala si pe verticala:

47524+56021+22316= ………..

28115+41745+17046= ………..

49026+60813+81210= ………..

37216+45634+50548= ………..

75817+27041+32351= ………..

Completati liniile punctate cu cifrele ce rezulta din scaderile:

. . . – 1739 - . . . . -

1372 . . . . 4915

213 2610 817 3134

914,51 – . . . . . . 14318,43 - . . . . . .

. . . . . . 138,15 . . . . . . . 8935,38

634,09 373,72 5917 851,15

Se dau:

A=6405-3240-472+8315

B=6405+3240+472+8315

C=6405+3240-472+8315

Calculati: a) A+B, b) B-A, c) A+B+C, d) C-A, e) B-A+C.

Care este numarul care impartit la 25 da catul egal 58 si restul 5?

Care este numarul care impartit la 25,4 ca catul egal 58,64 si restul 0,05?

Efectuati:

a) 8,624∙49,2; b) 35,62∙173; c) 54,2∙15386; d) 403∙11,25; e) 84∙3,75; f) 1142∙12,45;

g) 2456∙21,50; h) 914∙15,50; i) 609∙0,005; j) 11,2∙2,5; k) 102∙0,125 l) 54∙0,125;

m) 247∙0,25; n) 51,34∙49; o) 475∙8,97; p) 53,48∙25

Efectuati urmatoarele impartiri prin calcul mental:

a) 840:40; b) 724:2; c) 660:30; d) 3916:4; e) 540:4; f) 726:3; g) 1200:50; h) 1915:5;

i) 450:15; j) 916:6.

Efectuati impartirile:

1245:72;

528:12;

923:13;

7215:15;

135,95:11;

828:1,2;

69,54:11;

51,99:1,3;

1245:72;

813:49;

62,4:64;

521,4:6,3;

3497:35;
51,04:3,6;

124,3:56;

5134:0,72;

73,59:48;

923:0,5;

174:0,25;

934:1,5;

725:25;

612:1,25;

37,9:2,5;

12,49:42;

5324:15;

52,3:125;

47,24:1250;

149,3:50;

51,34:8,1;

11,39:1,25;

3497:35;

124,3:56;

73,58:48;

11,23:81;

12. Efectuati sumele (pe linie):

523,75+68+934+17,23 =

1942+753,35+113,4+17,21 =

24526+934,58+9714,53 =

789+234,69+342173 =

Unitatea de invatare 2

SISTEME DE MASURA

BREVIAR TEORETIC

Definitie

Marimea este proprietatea calitativa sau cantitativa a unei multimi de obiecte sau fenomene, care admit un criteriu de comparatie.

Definitie

Unitatea este o marime de aceeasi natura cu marimea de masurat si care este aleasa in mod conventional ca termen de comparatie.

Definitie

Valoarea unei marimi este un numar, reprezenand raportul dintre marimea de masurat si unitatea aleasa.

Definitie

A masura inseamna a compara o marime cu alta marime de aceeasi natura, aleasa drept unitate.

Rezultatul masurarii este valoarea marimii deoarece: marime = valoare∙numar de unitati.

Definitie

Sistemul de unitati de masura este ansamblul de unitati de masura alcatuit dintr-un grup restrans de unitati fundamentale si unitati derivate.

Daca multiplii si submultiplii unui sistem nu sunt puteri zecimale ale unitatilor de baza ele se numesc sisteme de masura nezecimale sau complexe. Numarul care rezulta din aceasta masura se numeste numar complex aritmetic. Numarul complex aritmetic nu este nici intreg, nici fractionar zecimal. Aceste numere nu urmeaza regulile numeratiei zecimale.

De exemplu: timpul se exprima in ore, zile, minute, secunde, luni, ani. Unghiurile se exprima in grade sexazecimale, minute si secunde. Masurile vechi romanesti se exprima prin numere complexe aritmetice cum ar fi: prajina, stanjenul, banita, vadra, jugarul.

Sistemul metric are la baza unitatea de masura a lungimii, care este metrul si care este pus de acord cu sistemul zecimal de numeratie.

Metrul este a 40 –a milioana parte din lungimea unui meridian pamantesc. Ca urmare a cresterii preciziei masuratorilor astazi metrul este definit in functie de lungimea de unda a unei radiatii luminoase de o anumita culoare.

Actual definitia metrului este:

Metrul este lungimea drumului parcurs de lumina in vid in timpul de 1 / 299792458 dintr- o secunda.

Cei mai uzuali, multipli ai metrului sunt:

Multiplii metrului sunt:

Kilometrul (km) = 1000 m

Hectometrul (hm) = 100 m

Decametrul (dam) = 10 m

Cei mai uzuali, submultipli ai metrului sunt:

Submultiplii metrului sunt:

Decimetrul (dm) = 0,1 m

Centimetrul (cm) = 0,01 m

Milimetrul (mm) = 0,001 m

2. Unitati de masura pentru arii si volume

Orice figura geometrica plana are o arie. Pentru arii si volume nu sunt unitati de masura etalon. Aria unei figuri si volumul unui corp se deduc prin calcule, masurand anumite lungimi si aplicand formulele date de geometrie. Pentru arii masurile se exprima in metrii patrati sau in multiplii si submultiplii acestuia.

Metrul patrat este aria unui patrat cu latura de 1m.

Cei mai uzuali, multipli ai metrului patrat sunt:

Multiplii metrului patrat:

kilometrul patrat (km²) = 1000000 m² 

hectometrul patrat (hm²) sau hectarul (ha) = 10000 m²

decametrul patrat (dam²) sau arul = 100 m².

Cei mai uzuali, multipli ai metrului patrat sunt:

Submultiplii metrului patrat:

decimetrul patrat (dm²) = 0,01 m²

centimetrul patrat (cm²) = 0,0001 m²

milimetrul patrat (mm²) = 0,000001 m²

Pentru volume masurile se exprima in metri cubi sau cu multiplii si submultiplii acestuia.

Metrul cub este un cub cu muchia de 1 m.

Metrul cub este volumul unui cub cu latura de 1 m.

Cei mai uzuali, multipli ai metrului cub sunt:

Multiplii metrului cub sunt:

kilometrul cub (km³) = 10⁹ m³

hectometrul cub (hm³) sau hectarul (ha) = 10⁶ m³

decametrul cub (dam³) = 1000 m³

Cei mai uzuali, submultipli ai metrului cub sunt:

Submultiplii metrului cub:

decimetrul cub (dm²) = 0,001 m³

centimetrul cub (cm²) = 10^-6 m³

milimetrul cub (mm²) = 10^-9 m³

3. Unitatile de masura pentru masa

Definitie

Masa este marimea fizica ce masoara inertia unui corp.

In vorbirea curenta masa se considera cantitatea de materie cuprinsa intr-un corp. Masa unui corp se masoara cu ajutorul diferitelor instrumente cum ar fi: balanta, cantarul etc. In vorbirea curenta masa se confunda si cu notiunea de greutate.

Doua corpuri care au aceeasi greutate au si aceeasi masa ( in acelasi loc de pe suprafata Pamantului).

Unitatea de baza pentru masa este gramul.

Unitatea de masura fundamentala in SI este kg.

Gramul reprezinta masa unui centimetru cub de apa distilata la o temperatura de 4˚C. Unitatea corespuzatoare pentru forta este gramul-forta(gf).

Cei mai uzuali, multipli ai gramului sunt:

Multiplii gramului sunt:

kilogramul (kg) = 1000 g

hectogramul (hg) = 100 g

decagramul (dag) = 10 g

Cei mai uzuali, submultipli ai gramului sunt:

Submultiplii gramului sunt:

decigramul (dg) = 0,1 g

centigramul (cg) = 0,01 g

miligramul (mg) = 0,001 g

Pentru masele mari se utilizeaza:

chintalul (q) = 100 kg

tona (t) = 1000 kg

vagonul (v) = 10000 kg

4. Unitatile de masura pentru capacitati (lichide)

Definitie

Capacitatea unui vas este volumul de lichid ce incape in el. Unitatea principala de masura a capacitatii este litrul.

Litrul este volumul egal cu un decimetru cub. Un litru de apa distilata la o temperatura de 4˚C are un volum de un decimetru cub si o masa de un kilogram.

Cei mai uzuali, multipli ai litrului sunt:

Multiplii litrului sunt:

kilolitrul (kl) = 1000 l

hectolitrul (hl) = 100 l

decalitrul (dal) = 10 l

Cei mai uzuali, multipli ai gramului sunt:

Submultiplii litrului sunt:

decilitrul (dl) = 0,1 l

centilitrul (cl) = 0,01 l

mililitrul (ml) = 0,001 l

ATENTIE! Cerealele se masoara cu unitati de capacitate: decalitrul, hectolitrul, dublul decalitru (ddal) = 200 l, dubla sau banita (20 l).

Legatura dintre unitatile de volum, capacitate si masa

1 l de apa distilata la temperatura de 4 ˚C are un volum de 1 dm³ si o masa de 1 kg.

1 cm³ = 1 g = 1 ml

1 dm³ = 1 kg = 1 l

1 m³ = 1000 kg = 1 kl

Raportul dintre masa si volumul unui corp

Definitie

Densitatea ρ) este raportul dintre masa (m) unui corp si volumul (v) sau, adica:

ρ

Masa si volumul trebuie exprimate in unitati corespunzatoare: g / cm³, kg / dm³, t / m³ etc.

Din relatia de mai sus se deduc urmatoarele relatii:

v = si m = v ∙ ρ

In practica se intalneste notiunea de masa exprimata in kg pe metru cub a unor materiale varsate sau asezate in stive.

Exemple:

Cartofi: 750 kg / m³, adica ocupa un spatiu de 1 m³.

Faina: 500 kg / m³, adica ocupa un spatiu de 1 m³.

Fructe: 350 kg / m³

Sare: 1250 kg / m³

Densitatea unor lichide

Bere: 1,02 – 1,04 kg / dm³

Ulei de floarea soarelui: 0,92 – 0,927 kg / dm³ 

EXERCITII SI PROBLEME PROPUSE

Exprima in milimetri:

8 cm; 36 m; 6,9 cm; 5,68 m; 61,25 dm; 111 cm; 71,9 m.

Transforma in ari, hectare si metri patrati:

1854 dam²; 753,89 hm²; 5,86 km²; 1026 pogoane.

Exprima in metri cubi:

124,75 dam³; 0,7163 km³; 645 dm³; 20,115 hm³; 126754,126 cm³.

Transforma in metri cubi toate unitatile de masura urmatoarele capacitati:

65 hl; 416 l; 59 dal; 493 dl; 8156,14 cl; 26738 hl.

Exprima in kilograme, chintale si tone urmatoarele cantitati:

96,14 v; 7,598 t; 4586 kg; 43189 dag; 0,725 q.

Transforma in litri toate unitatile de masura urmatoarele capacitati:

15 hl; 127 l; 96 dal; 587 dl; 78653,25 cl; 86965 hl.

Efectuati:

a)      8375 kg + 0,42 t + 93,5 q + 0,5 v = ……. t

b)      93 dag + 6,91 t + 456 kg + 15278 q = ……. q

c)      6,7 t + 395 dag + 8 hg + 6,5 q = ….. kg

Densitatea spirtului este 0,79 g/cm³. Ce capacitate va avea o cisterna plina cu 150 q spirt.

Hartia de impachetat are densitate 0,80 g/cm³. Aflati cat va cantari un balot in forma de parelelipiped cu dimensiunile 1,4 m; 0,7 m si respectiv 0,3 m.

Un rezervor contine 84,96 m³ de ulei de floarea soarelui. In fiecare zi se scot din el cate 45 galeti de 8 l. Sa se afle dupa cate zile se va goli jumatate din rezervor.

O sticla cantareste 385 g. Se toarna in ea ulei pana cand cintarul indica 395 g. Ce cantitate de ulei s-a pus in sticla ? Care este volumul in dl al uleiului din sticla stiind ca densitatea este de 0,9 g/cm³?

La masurarea perimetrului curtii unei vile cu ajutorul pasului se obtin urmatoarele dimensiuni: 148 pasi a cate 40 cm fiecare si 56 pasi mari de cate 7 dm. Cati metri are perimetrul curtii stiind ca s-au mai masurat cu ajutorul ruletei inca 32,5 dam.

Unitatea de invatare 3

CURSURI DE SCHIMB VALUTAR

BREVIAR TEORETIC

Banii reprezinta un set de valori materiale si/sau imateriale active care sunt acceptate de societate pentru efectuarea platilor, atat ca urmare a schimbului de bunuri si servicii (procesul de vanzare si/sau cumparare), cat si pentru stingerea unor datorii (contractate in diferite perioade de timp).

Numerarul consta in bancnote si monede aflate in circulatie intr-o anumita perioada de timp. Numerarul este o modalitate convenabila de a face plati deoarece este rapida si nu necesita documente speciale pentru identificare.

Functiile banilor

Mijloc de schimb (intermediar al schimburilor)

Prin aceasta functie, banii permit dezvoltarea schimbului de produse si servicii, cu un nivel ridicat de specializare si creeaza posibilitatea cresterii nivelului de trai.

Masura a valorii.

Banii ofera un etalon prin care valoarea celorlalte marfuri poate fi masurata si comparata. Introducerea banilor a anulat necesitatea reconsiderarii continue a unui anumit bun sau serviciu in comparatie cu o varietate de alte bunuri.

Mijloc de economisire si acumulare

Stabilitatea valorii reprezentate de bani permite economisirea unor venituri (fie pentru a consuma mai mult timp, fie pentru a efectua investitii productive).

Mijloc de plata (in relatiile economice bazate pe credit)

Banii reprezinta, in general, o valoare stabila si, deci, pot fi folositi si in relatiile de acordare si rambursare a creditelor.

Dintre aceste functii cele mai importante sunt cele de mijloc de schimb si mijloc de economisire.

Cererea de bani pentru tranzactii apare deoarece avem nevoie de bani pentru a plati cumparaturile/achizitiile pe care le facem in mod curent. Desi salariile sunt platite lunar sau bilunar, cheltuim zilnic bani.

Cursul de schimb exprima valoarea internationala a unei valute, cu implicatii importante asupra exportului si importului de bunuri si servicii.

Valuta este moneda unei tari folosita in plati internationale.

Cursul valutar este un pret care exprima valoarea unei monede exprimata in termenii altei (sau altor) monede. Ca orice pret, cursul de schimb al unei monede reflecta raportul dintre cererea si oferta pentru moneda respectiva pe piata schimburilor valutare.

Cursul valutar este strans legat de posibilitatea transformarii (preschimbarii) unei valute in alta valuta.

Convertibilitatea valutara este transformarea unei valute in alta valuta.

Cererea pentru o anumita valuta este determinata, in ultima instanta, de cererea persoanelor fizice si juridice pentru bunurile, serviciile si activele financiare al caror pret este exprimat in valuta respectiva.

Oferta in cazul unei valute este determinata de cererea posesorilor valutei respective pentru bunuri si servicii si active financiare al caror pret este definit in alte valute.

Atat in cazul cererii cat si al ofertei este necesar schimbul valutar.

Modalitati de cotare a valutelor

Cotarea indirecta, care exprima cantitatea de valuta care poate fi cumparata sau vanduta pentru o unitate de moneda nationala.

Exemplu: 1 RON = $ 0,38

1 RON = € 0,33; 1 RON = £ 100.

Cotarea directa, care exprima cantitatea de moneda nationala care poate fi cumparata sau vanduta pentru o unitate de valuta straina.

€1=3,4106 RON; $ 1=2,601 RON; £1=5,146 RON; 1 CHF1=2,356 RON

Deprecierea cursului unei valute duce la cresterea preturilor produselor si serviciilor importate si stimuleaza cresterea exporturilor, franand importurile.

Aprecierea cursului unei valute duce la scaderea preturilor produselor sau serviciilor importate, deci franeaza exporturile si favorizeaza importurile care devin “mai ieftine”.

La cumpararea si vanzarea unei valute exista o diferenta intre cursul de cumparare si cel de vanzare.

Aceasta diferenta este cunoscuta sub denumirea de marja (“spread”), fiind cea care permite bancilor, caselor de schimb si altor institutii sa obtina profit. Regula generala referitoare la stabilirea cursurilor de vanzare si cumparare este ca bancile “cumpara ieftin si vand scump”.

Din punct de vedere al clientelei bancare, care solicita operatiuni de schimb valutar, “preturile” valutelor sunt cu efect invers. Astfel, un client va vinde o valuta la cursul de cumparare al bancii, deci mai scazut si va cumpara aceasi valuta la cursul de vanzare al bancii, care este mai mare. In concluzie, valoarea mai mare a valutei reprezinta cursul de vanzare si valoarea mai mica a valutei este cursul de cumparare.

EXERCITII SI PROBLEME PROPUSE

La fiecare din cazurile urmatoare indica cursul de cumparare:

a)      Lei pentru dolari: 2,1(6) si 2,1657

b)      Lei pentru euro: 3,1432 si 3,14(3)

c)      Dolari pentru euro: 1,6(5) si 1,6545

d)     Dolari pentru lire sterline: 1,7680 si 1,76(7)

e)      Euro pentru lire sterline: 1,3542 si 1,(35)

f)       Franci elvetieni pentru Euro: 1,1(2) si 1,1213

Cursul valutar este valabil timp de 24 ore incepand de la ora 12 (la pranz) a zilei precedente si pana la ora 12 (la pranz) a zilei curente.

Pentru toate exercitiile si problemele care urmeaza folositi cursul valutar al zilei precedente sau al zilei curente.

Folosind cursul de cumparare transforma in RON urmatoarele sume de bani:

a)      32,3 $;

b)      13,72 €;

c)      110 £;

d)     247,35 CHF.

Utilizand cursul de vanzare transforma succesiv suma de RON in $, €, £, JPY, CHF.

a)      1386,72 RON

b)      236 RON

c)      289,75 RON

d)     83512,5 RON

Calculeaza marja in urmatoarele cazuri:

a)      24000 RON in $;

b)      325 € in RON;

c)      4126 £ in RON;

d)     3000 RON in €.

Determina cursul de schimb in $ al urmatoarelor valute folosind ca moneda intermediara RON, cursul de cumparare:

a)      Dolar – lira;

b)      Euro – lira;

c)      Dolar – euro;

d)     Euro – Franc elvetian;

e)      Dolari – yeni;

f)       Euro – yeni.

Surprinzator, dar acelasi obiect costa in Statele Unite ale Americii $ 22, in Marea Britanie £ 22 si in Danemarca € 22. De unde ar fi mai avantajos pentru romani sa cumpere acest obiect?

Calculati urmatoarele cursuri de schimb sub forma cotarii directe:

a)      £ 1=$ 1,5958

b)      $ 1=€ 1,612

c)      $ 1=¥ 82,68

d)     1£=€1,525

Calculeaza urmatoarele cursuri de schimb sub forma cotarii indirecte:

a)      $1=£0,605

b)      €1=£0,349

c)      ¥100=£0,527

d)     €1=RON3,413

O persoana poseda suma de £ 1815.

a)      In Romania pentru a cumpara $ trebuie sa treaca mai intai suma in RON. Cati $ cumpara?

b)      Cati $ ar cumpara in Anglia?

c)      Cum este mai avantajos acest schimb?

O masina costa la o firma $ 8115 si aceasi masina costa la o alta firma € 7520. Unde este mai ieftina pentru un roman, aceasta masina ?

La o banca dobanda anuala la contul in € sau $ este 4,2%. Care din cele 2 conturi este avantajos stiind ca suma de pornire este 1000?

O casa costa € 86 000, iar cumparatorul are $ 92 000. Este suficienta suma pentru a cumpara casa ?

Unitatea de invatare 4

MARIMI ABSOLUTE.MARIMI RELATIVE SI MARIMI MEDII

BREVIAR TEORETIC

In practica se intalnesc doua tipuri de valori:

Valorile exacte exprima precis raporturile cantitative reale, cum ar fi numarul de elevi, numarul de banci dintr-o sala de clasa, etc.

Valorile aproximative nu reprezinta exact raporturile cantitative, ele avand nevoie de aproximari pentru a exprima o valoare cat mai apropiata de cea adevarata.

Rotunjirea numerelor se face cu scopul de a simplifica unele numere fara a duce la pierderi de orice natura sau la alterarea realitatii.

Regulile folosite la rotunjirea numerelor sunt:

Aproximarea prin lipsa sau adaos ( vezi manualul de matematica clasa a IX-a)

Daca prima din cifrele neglijate este 0, 1, 2, 3 sau 4, ultima cifra pastrata la rezultat nu se schimba.

Daca prima cifra din cele neglijate este 5, 6, 7, 8 sau 9, ultima cifra pastrata la rezultat se mareste cu o unitate.

Exemple:

Marimile absolute sunt expresiile numerice ale fenomenelor studiate care le caracterizeaza intr-o anumita perioada. Marimile absolute se exprima in unitati de masura naturale (kg,m, l, bucati, perechi, etc.) sau unitati valorice corespunzatoare particularitatilor problemei studiate.

Exemple: marimea populatiei se exprima prin numarul de locuitori; marimea productiei de anvelope se exprima in bucati.

Marimile relative sunt marimi deduse sau derivate, care exprima raportul dintre doua marimi absolute. Ele se exprima sub forma de coeficienti, procente, etc.

Exemplu: Volumul productiei uzinelor Dacia a fost de 7200000 RON in 2003 si de 9000000 RON in 2006. Raportand productia din 2003 la cea din 2006, adica 9000000 / 7200000 = 1,25, obtinem o crestere a productiei.

Marimile medii exprima o anumita insusire a unui ansamblu de valori. Acestea sunt:

Media aritmetica simpla, care se afla, impartind suma marimilor la numarul lor.

m_a =

Media aritmetica ponderata, care se afla impartind suma produselor intre marimile date si ponderile lor la suma ponderilor.

m_p =

Media cronologica, care se calculeaza impartind suma tuturor marimilor,dintre care prima si ultima se iau pe jumatate, la suma marimilor micsorata cu o unitate.

m_c =

Aceasta medie se utilizeaza la calcularea stocului lunar.

EXERCITII SI PROBLEME PROPUSE

Calculeaza m_a, m_p si m_c in urmatoarele cazuri:

a)      m₁ = 2,5; m₂ = 3,6; m₃ = 16,1; m₄ = 18; p₁ = 2; p₂ = 3; p₃ = 2; p₄ = 5

b)      m₁ = 1,6 t; m₂ = 3,5 kg; m₃ = 113 q; p₁ = 3; p₂ = 18; p₃ = 6;

c)      m₁ = 27,62 hl; m₂ = 613 l; m₃ = 41,5 kl; m₄ = 29 l; m₅ = 32600 dl; p₁ = 10; p₂ = 100; p₃ = 2; p₄ = 5; p₅ = 3

d)     m₁ = 3 h; m₂ = 65 min; m₃ = 10 h; m₄ = 112 min; m₅ = 230 min;m₆ = 5 h; p₁ = 10; p₂ = 3; p₃ = 4; p₄ = 5; p₅ = 10; p₆ = 5

Productia pe ianuarie a unei firme de catering este de 3800 RONpe ianuarie, pe februarie 2400 RON si pe martie de 4140 RON. Care este productia medie lunara?

O punga contine 240 g bomboane a 1,8 RON / kg, 620 g a 2,7 RON / kg, 130 g a 2,2 RON / kg si 260 g a 3 RON / kg. Care este pretul mediu al unui kilogram?

Stocurile de marfuri ale unui mall au fost: la 1 ianuarie 800000 RON, la 1 februarie 500000 RON si la 1 martie 620000 RON. Determinati stocul mediu trimestrial.

Nota: Pentru stocuri se considera media cronologica.

Salariile lunare ale lucratorilor dintr-un laborator sunt: 3 muncitori sunt retribuiti cu cate 220 lei; 5 muncitori sunt retribuiti cu cate 180 lei; 4 muncitori sunt retribuiti cu cate 150 lei si 8 muncitori sunt retribuiti cu cate 145 lei. Care este salariul mediu lunar al muncitorilor din laborator?

Un restaurant achizitioneaza pe parcursul unui an urmatoarele cantitati de zarzavat: 1345 kg la pretul de 1,50 lei; 830 kg la pretul de 1,80 lei; 2240kg la pretul de 2,20 lei; 925 kg la pretul de 1,15 lei. Afla pretul mediu pe an al zarzatului.

Unitatea de invatare 5

REGULA DE TREI SIMPLA SI APLICATIILE EI IN DIVERSE

CALCULE DE TIP ECONOMIC

BREVIAR TEORETIC

Definitia caloriei

Unitate de masura pentru energia termica (caldura) - o calorie este caldura necesara cresterii temperaturii unui gram de apa de la 14,5 la 15,5 grade Celsius.

Caloria este si unitatea de masura care indica valoarea energetica a unui aliment.

Diferite substante aflate in alimente furnizeaza organismului prin oxidare o anumita cantitate de calorii. De exemplu: 1 g de glucide furnizeaza 4,1 calorii; 1 g de lipide furnizeaza 9,3 calorii; 1 g de proteine furnizeaza 4,1 calorii.

Valoarea calorica a unui produs reprezinta totalitatea caloriilor pe care acesta le contine.

Factorii nutritivi sunt: proteine si glucide, lipide, minerale si apa.

Valoarea nutritiva a unui produs reprezinta totalitatea factorilor nutritivi pe care acesta ii contine.

EXERCITII SI PROBLEME PROPUSE

Afla valoarea calorica a 250 g de lapte care contin 10 g proteine.

Stiind ca 30 g de ceapa contin 0,3 g proteine si 3,4 g glucide, afla valoarea calorica.

O cantitate de 50 g de sunca contine 9 g de proteine si 13 g de lipide. Afla valoarea calorica a produsului.

Un litru de lapte cantareste 1030 g si contine 13% smantana se obtin dintr-un litru de lapte si cate calorii reprezinta smantana daca 100 g de smantana au o putere calorica de 256 de calorii.

Daca 250 g de lapte contin 10 g proteine, afla cate proteine se gasesc in 100 g de lapte.

Afla valoarea calorica in fiecare din cazurile urmatoare, cunoscand indicatia calorica:

a)      5 kg carne de gaina cu 1300 cal/100 g

b)      0,2 kg untura cu 900 cal/100 g

c)      0,300 kg zarzavat cu 45 cal/100 g

d)     0,050 kg usturoi cu 90 cal/100 g

Afla valoarea calorica pentru micul dejun: cacao cu lapte, unt si sunca presata.

Unitatea de invatare 6

RAPORTUL DE VARIATIE SAU RATA CRESTERII SAU A DESCRESTERII

BREVIAR TEORETIC

R(x₁,x₂) = , x₁,x₂ I, x₁ ≠ x₂

Asociat functiei f : A → R numerica.

f(x₂) – f(x₁) se numeste variatia functiei.

Dar acelasi coeficient il intalnim in economie sub denumirea de „coeficientul de elasticitate a cererii fatade venit”, prezentat intr-o forma diferita.

In cazul calculelor din economie avem urmatoarele notatii:

f(x₁)=y₁ si f(x₂)=y₂

atunci notam

f(x₂) – f(x₁) =y ₂-y₁ = ∆

si x₂-x₁ = ∆x.

In aceste cazuri litera ∆ reprezinta diferenta dintre cereri respectiv diferenta intre venituri. Cu aceste notatii formula coeficientului de elasticitate a cerereii fata de venit este:

E_y= :

unde y reprezinta cererea de incaltaminte si x reprezinta veniturile populatiei.

Exemplu

Cererea pentru incaltaminte de piele la nivelul orasului Galati in luna septembrie 2006 a fost de 112570 de perechi. In luna noiembrie veniturile poulatiei au crescut cu 7,25% iar cererea a fost de 16820 de perechi. Calculeaza coeficientul de elasticitate.

Rezolvare

E_y= :

y₁=112570, y₂=116820 si y=112570 cerere initiala

x₁=100%; x₂=107,25% si x=100%

Astfel E_y= : = ∙ = 0.52 %

Aplicatii

Afla coeficientul de elasticitate a cerereii fata de venit stiind ca in perioada T₀ desfacerile de prosoape a fost de 1230 de bucati. In perioada T₁ veniturile populatiei au crescut cu 1,5%, pretul prosoapelor a ramas acelasi dar s-au vandut 1599 de prosoape.

In Bucuresti s-au vandut in luna iulie 2007 2380000 de bucati de deodorant. In perioada august 2007 veniturile au crescut cu 2,7% fapt care a dus la cresterea cererii de deodorante la 2399278 de bucati. Determina coeficientul de elasticitate a cerereii fata de venit.

In luna mai 2007 desfacerea ochelarilor de soare in statiunea Mamaia a fost de 12300 de bucati. Stiind ca veniturile populatiei au crescut in august cu 8,32% si pretul ochelarilor a ramas acelasi, gaseste coeficientul de elasticitate a cerereii fata de venit daca s-au vandut 14 980 de bucati.

Volumul si stuctura cheltuielilor populatiei depin de nivelul veniturilor. In tabelul urmator sunt prezentate bugetele de familie pentru anul 2004 si 2005.

Afla elasticitatea cheltuielilor fata de modificarile veniturilor pentru fiecare destinatie a acestora. Comenteaza rezultatele obtinute.

Venituri,costuri si profit

Profitul unei firme este diferenta dintre veniturile obtinute din vanzari si costurile de productie.

Daca x reprezinta unitatile de produs atunci atat venitul, costul si profitul depind de variabila x, deci sunt functii.

Venitul se noteaza cu V(x) si este de forma V(x)=a∙x, unde a estepretul de vanzare pe bucata numit si venit marginal (raportul dintre diferenta veniturilor si diferenta unitatilor de produs).

Costul este notat cu C(x), fiind alcatuit din costuri fixe si costuri variabile care depind de unitatile de produs.

Deci C(x)=B∙x+c, unde B este costul pe bucata numit si cost marginal (raportul dintre diferenta costurilor si diferenta unitatilor de produs) si c este costul fix.

In aceste conditii profitul notat cu P(x) va avea forumla:

P(x)=V(x)-C(x)

Panta graficului acestei functii se numeste profit marginal si zerourile functiei se numesc puncte moarte, adica puncte de profit zero.

Profitul marginal fiind raportul dintre diferenta profiturilor si diferenta unitatilor de produs.

Aplicatie

O fabrica de televizoare a stabilit pretul de vanzare de 350 lei/buc. Cheltuielile variabile determinate de fabricarea unui televizor sunt de 100 lei si cele fixe 100000. Scrie profitul fabricii obtinut din vanzarea televizoarelor de acest tip si afla profitul marginal si punctul mort.

Rezolvare

V(x)= 350x

C(x)=70x+100000

P(x)=P(x)-C(x)=350x-(100x+100000)

P(x)=250x-100000

Punctul mort determina profit 0 deci pentru a-l afla rezolvam ecuatia

P(x)=0

Si obtinem x=400 de aparate

Panta graficului acestei functii este m=250 adica profitul marginal este 250 lei.

EXERCITII SI PROBLEME PROPUSE

Pentru fabricarea unui laptop intr-o perioada fixa se cheltuie sumele: € 3400 costuri fixe si € 17 costuri variabile, pe fiecare unitate de produs.

a.       Scrie functia cost.

b.      Care este costul pentru 250 calculatoare in acea perioada.

Pretul unui CD-Player portabil este de € 34.

a.       Scrie formula functiei venit.

b.      Afla venitul obtinut din vanzarea a 310 playere.

Fabricarea unui LCD este caracterizata de functia cost

C(x)=17x + 3400

si functia venit

V(x)=34x

a.       Determina functia profit pentru acest tip de LCD

b.      Calculeaza profitul obtinut prin vanzarea a 300 de LCD-uri.

c.       Afla numarul minim de aparate care trebuie vandute intr-o perioada data astfel incat sa nu se inregistreze pierderi.

Se da urmatoarea functie cost: C(x)=5x+250

a.       Precizeaza costul marginal si explica semnificatia lui.

b.      Cat reprezinta costurile fixe?

c.       Stiind ca pana acum au fost fabricate 50 de unitati de produs afla cat se cheltuie pentru inca un produs.

Se considera urmatoarea functie profit: P(x)=51x-710

a.       Indica panta si ordonata la origine.

b.      Determina profitul marginal si explica semnificatia lui.

c.       Afla intersectiile graficului acestei functii si cele 2 axe de coordonate si explica semnificatia lor din punct de vedere economic.

d.      Determina profitul obtinut din fabricarea si vanzarea a 20 de unitati de produs.

e.       Cu cat ar creste profitul daca s-ar produce si s-ar vinde 21 de unitati de produs.

Daca C(x)=5x+250 si V(x)=27x, afla:

a.       Functia profit.

b.      Panta functiei profit.

c.       Profitul marginal si ce indica el managerului.

d.      Intersectiile graficului functiei profit cu axele de coordonata.

e.       In acelasi sistem de axe de coordonate construieste graficele functiilor C(x), V(x) si P(x). Comenteaza rezultatul obtinut.

Stiind ca pentru fabricarea unui televiyor costul marginal este € 27 si costurile fixe se ridica la € 3000, scrie functia cost si reprezint-o grafic.

Daca functia profit este de forma:

P(x) = 90x-2000-x²

Afla punctele de profit zero.

Daca o unitate de productie este constransa dintre diferite motive sa produca cel mult 100 de unitati de produs si functia profit este

F(x) = -1100 + 120x - x², afla punctele moarte.

O companie a stabilit un cost de € (x + 222) / bucata si costurise fixe de € 28000. Stiind ca x este numarul de unitati de produs si pretul de vanyare este de € (1250 - x) / bucata, determina:

a.       Functia profit

b.      Venitul maxim si numarul de produse necesar obtinerii acestuia

c.       Functia cost si costul minim, indicand numarul de produse pentru care acesta se atinge.

d.      Functia profit si profitul maxim, explicand in ce conditii se obtine acesta.

e.       Comenteaza prin comparatie toate datele obtinute.

Costurile unei companii sunt date de C(x) = 2000 + 40x +x² si veniturile sunt date de V(x) = 130x. Afla punctul mort.

Costurile fixe ale unei companii se ridica la suma de € 28000, iar cele variabile la € (x + 222) / bucata. Daca pretul de vanyare este de € (1250 - x) / bucata si x este numarul de unitati de produs determina.

a.       Graficul functiei profit

b.      Punctele de profit zero

c.       Interpreteaza din punct de vedere economic graficul construit.

Pretul si adaosul comercial

Pretul este valoarea marfii exprimata in bani, care se fixeaza pe unitati de masura (kg, m, t, bucata, pereche, etc.).

In comert exista doua tipuri de preturi:

Pretul de livrare este pretul cu care intreprinderile isi vand produsele.

Pretul cu amanuntul este pretul cu care unitatile comerciale desfac (vand) marfurile catre alte intreprinderi sau catre populatie.

Pretul cu amanuntul cuprinde si pretul de livrare si adaosul comercial numit rabat comercial.

Daca notam cu P_l pretul delivrare si P_a pretul cu amanuntul si R rabatul comercial, atunci avem formula

P_a = P_l +R

Rabatul se calculeaza sub forma de procent fata de pretul cu amanuntul (P_a), caz in care se scade din acesta pentru a obtine pretul de livrare (P_l). Tot rabatul sau adaosul comercial se poate calcula sub forma de procent fata de pretul de livrare (P_l), caz in care se aduna la acesta pentru a obtine pretul cu amanuntul (P_a).

Exemple:

Sa presupunem ca pretul cu amanuntul al unei marfuri este de 15 lei / kg. Intreprinderea producatoare acorda unitatii comerciale un rabat maxim de 14 %. Afla pretul de livrare.

Rezolvare:

P_a = 15 lei / kg

R = 14 % din 15 lei / kg

adica R = ∙ 15 = 2,1 lei

deci P_l = P_a – R = 15 – 2,1 = 12,90 lei

Afla pretul cu amanuntul stiind ca pretul de livrare este de 45 lei si adaosul comercial este de 20 %.

Rezolvare:

P_l = 45 lei

R = 20 % din 45 lei / kg

adica R = ∙ 45 = 9 lei

tunci P_a = P_l + R = 45 +9 = 54 lei

Aplicatii:

Calculeaza pretul de livrare pe unitatea de produs in fiecare din cazurile:

a.       Pret pe bucata 58 lei cu rabat comercial 8%

b.      Pret etichetat 9 lei cu rabat comercial 14%

c.       Pret pe kg 1,50 lei cu rabat comercial 9,5%.

Calculeaza pretul cu amanuntul pe unitatea de produs in fiecare din cazurile:

a.       Pret pe kg 28 lei cu adaos comercial 12,50%

b.      Pret pe bucata 6 lei cu adaos comercial 7%

c.       Pret pe produs 72 lei cu adaos comercial 5%

Se receptioneaza 5000 de cutii de bomboane a 17 lei cutia pret cu amanuntul. Rabatul cedat de furnizor este de 6%. Afla suma cuvenita drept rabat comercial unitatii comerciale si suma cuvenita furnizorului.

Rabatul comercial la o marfa este de 180 lei / t. Daca pretul cu amanuntul este de 1400 lei/ t, afla cat reprezinta rabatul comercial in procente.

O intreprindere livreaza unei unitati comerciale marfuri in valoare de 273500 lei la pret cu amanuntul. Din rabatul mediu de 14% intreprinderea cedeaza unitatii comerciale o cota de 10,5%. Afla suma rabatului comercial cuvenit unitatii comerciale.