Produse directe de algebre. Algebre indecompozabile.

Produse directe de algebre. Algebre indecompozabile.

Fie ( A_j )_jII o familie (nevida) de algebre de acelasi tip t

Pentru fiecare 1 i t) pe multimea A_j definim operatia algebrica n_i - ara prin: ((a₁, , a_n)) (j) = f_i (a₁(j), , a_n(j))  (j I I), pentru (a₁, a₂, , a_n I A_j .

Definitia 1. Algebra de univers A_j este de acelasi tip t si se noteaza prin A_j si poarta numele de produsul direct al familiei (A_j)_jII de algebre.

Aplicatiile p_K : A_j A_K (k I I) definite prin p_k((a_i)_iII) = a_k poarta numele de proiectii (acestea sunt de fapt morfisme surjective).

Teorema 2. Dubletul (A_j, (p_j)_jII) verifica urmatoarea proprietate de universalitate:

Pentru orice algebra A (de acelasi tip t) si orice familie (p _j)_jII de morfisme cu p _j I Hom (A, A_j) (j I I), exista un unic u I Hom (A,A_j) astfel incat p_ju = p _j pentru jII.

Demonstratie: Morfismul cautat u : A A_j se defineste pentru a I A prin u(a) = (p(a))_jII

Restul de detalii sunt asemanatoare ca in cazul produsului direct de multimi.g

Propozitia Daca A₁, A₂, A₃ sunt algebre de acelasi tip, atunci:

i)  A₁ P A₂ A₂ P A₁.

ii) A₁ P ( A₂ P A₃ ) A₁ P A₂ P A

Demonstratie: Se probeaza imediat ca izomorfismele cautate sunt  a ((a₁, a₂)) = (a₂, a₁) (pentru i) ) si a (( a₁, ( a₂, a₃ ))) = (a₁, a₂, a₃) (pentru ii)).g

Lema 4. Daca A₁, A₂ sunt doua algebre de acelasi tip, atunci  Ker(p₁) Ker(p2) = D_A, Ker (p₁) si Ker (p₂) comuta iar Ker (p₁) Ker (p₂) = = _A (A = A₁ P A₂).

Demonstratie: Avem ((a₁, a₂), (b₁, b₂) I Ker (p₁) Ker (p₂) p₁((a₁, a₂)) = =p₁((b₁, b₂) si p₂ ((a₁, a₂)) = p₂ ((b₁, b₂)) a₁ = b₁ si a₂ = b₂ Ker (p₁) Ker (p₂) = =D_A

Deoarece pentru (a₁, a₂), (b₁, b₂) I A₁ P A₂, ((a₁, a₂), (a₁, b₂)) I Ker (p₁) si ((a₁, b₂), (b₁, b₂)) I Ker (p₂) deducem ca ((a₁, a₂), (b₁, b₂)) I Ker (p₂) Ker (p₁), adica Ker (p₂) Ker (p₁) = _A, de unde concluzia ca Ker (p₁) si Ker (p₂) comuta iar Ker (p₁) Ker (p₂) = _A g

Definitia 5. qICon (A) se zice congruenta factor daca exista q I Con (A) astfel incat q q D_A si q q _A. In acest caz perechea (q q*) se zice pereche de congruente factor pe A.

Corolar 6. Daca A₁, A₂ sunt algebre de acelasi tip, atunci (Ker (p₁), Ker (p₂)) este o pereche de congruente factor.  g

Teorema 7. Daca (q q*) este o pereche de congruente factor pe algebra A, atunci: A (A q P A q

Demonstratie: Vom arata ca f : A (A q P A q f (a) = (a q a q (a IA) este izomorfism.

Daca a, b I A si f (a) = f (b), atunci a q b q si a q b q*, deci (a, b) Iq q D_A, de unde a = b, adica f este injectie.

De asemenea, pentru a, b I A, cum q q _A (adica q q q* q _A), deducem ca exista c I A astfel incat (a, c) I q si (c, b) I q*, astfel ca  f (c)=(c q, c q*) = (a / q, a q*), de unde concluzia ca f este si surjectie, adica bijectie.

Cum f este morfism, deducem ca f este izomorfism.g

Definitia 8. O algebra A se zice indecompozabila (direct) daca ea nu este izomorfa cu un produs direct de doua algebre netriviale.

Corolar 9. O algebra A este indecompozabila daca si numai daca singura pereche de congruente factor este (D_{A A}

Teorema 10. Orice algebra finita este izomorfa cu un produs direct de algebre indecompozabile.

Demonstratie: Fie A o algebra finita. Daca A este triviala (adica A = 1), atunci A este indecompozabila.

Pentru A > 1 facem inductie dupa A

Daca A este indecompozabila, totul este clar, daca nu A = A₁ P A₂ cu A A >1. Cum A A > A , conform ipotezei de inductie A₁ B₁ P B_m,  A₂ C₁ P P C_m cu B_i, C_j indecompozabile, astfel ca A B₁ P P B_m P C₁ P P C_n si totul rezulta tinand cont de principiul inductiei matematice.g

Observatie: Tinand cont de proprietatea de universalitate a produsului direct de algebre, deducem ca (A_i)_iII, (B_i)_iII sunt doua familii de algebre de acelasi tip iar (f_i)_iII este o familie de morfisme cu f_iIHom (A_i, B_i) (iII), atunci exista un unic morfism u: A_i B_i astfel incat pentru orice i I I, f_ip_i = q_iu (unde (p_i)_{iI I} si (q_i)_iII sunt morfismele proiectie). Vom nota u = f_i si-l vom numi produsul direct al familiei (f_i)_iII de morfisme.

Expresia lui u este data de u ((a_i) _{i I I}) = (f_i(a_i))_iII pentru orice (a_i)_iII IA_i.

De asemenea, daca A este o algebra de acelasi tip cu cele din familia (A_i)_iII si f_iI Hom (A, A_i) pentru orice iII, atunci exista un unic v I Hom (A, A_i) astfel incat p_iv = f_i pentru orice i I I.

Morfismul v este definit prin v (a) = (f_i(a))_iII (aIA).

Definitia 11. Fie A, B si ( A_i ) _{i I I} multimi iar f : A B si f_i : A_i B_i (iII) aplicatii.

Vom spune ca:

i) f separa doua elemente a₁, a₂ I A daca f (a₁) f (a₂).

ii) (f_i)_iII separa elementele lui A daca pentru orice a₁, a₂ I A exista i I I astfel incat f_i separa pe a₁ si a₂.

Teorema 12. Fie A, (A_i)_iII algebre de acelasi tip iar (f_i)_iII o familie de morfisme cu f_i I Hom (A, A_i) (iII). Considerand morfismul v : A A_i, atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente :

i)  v este morfism injectiv.

ii)Ker ( f_i ) = D_A

iii)        Aplicatiile (f_i)_iII separa elementele lui A.

Demonstratie: Reamintim ca pentru a I A, v (a) = (f_i(a))_iII astfel ca pentru a, b I A, f(a) = f(b) f_i(a) = f_i(b) pentru orice i I I (a, b) IKer (f_i), de unde echivalenta i) ii).

Echivalenta i) iii) este imediata.g