Produsul direct (suma directa) a unei familii de multimi

Produsul direct (suma directa) a unei familii de multimi

Definitia 1.1. Fie (M_i)_iII o familie nevida de multimi. Numim produsul direct  al acestei familii un dublet (P,(p_i)_iII) unde P este o multime nevida iar (p_i)_iII este o familie de functii p_i :P M_i pentru orice iII astfel incat este verificata urmatoarea proprietate de universalitate:

Pentru oricare alt dublet (P ,(p _i)_iII) format din multimea P si familia de functii p : P M_i (iII ), exista o unica functie u : P P astfel incat p_iu = p _i pentru orice iII.

Teorema 1.2. Pentru orice familie nevida de multimi (M_i)_iII exista produsul sau direct care este unic pana la bijectie.

Demonstratie: Unicitatea produsului direct. Daca P,(p_i)_iII si P′,(p′_i)_iII sunt doua produse directe ale familiei (M_i)_iII, conform proprietatii de universalitate exista u : P P si v : P P astfel incat p_i u = p _i si p_iv = p_i pentru orice iII .

Deducem imediat ca p_i (uv) = p_i iar p _i(vu) = p _i pentru orice iII. Cum si  p_i1_p=p_i, p _i1_p = p _i pentru orice iII, datorita unicitatii din proprietatea de universalitate deducem ca uv = 1_p si vu = 1_p , adica u este bijectie.

Existenta produsului direct. Fie P = iar p_i : P M_i, p_i(f) = f(i) pentru iII si fIP.

Se probeaza imediat ca dubletul P,(p_i)_iII verifica proprietatea de universalitate a produsului direct de multimi (M_i)_iII g

Observatie: Dubletul P, (p_i)_iII ce reprezinta produsul direct al familiei (M_i)_iII de multimi se va nota prin M_i sau M_i.

In cazul in care I este finita, produsul direct se va numi si produs cartezian.

Pentru jII, p_j : M_i M_j poarta numele de a j - a proiectie. De multe ori prin produs direct vom intelege doar multimea subiacenta P (neglijand deci mentionarea proiectiilor).

Deoarece orice functie f : I M_i este determinata de f(i) pentru orice iII, notand f(i)=x_iII, vom scrie formal:

M_i

Astfel, p_j :M_i M_j este definita  prin p_j (x_i)_iII = x_j, jII. Fie acum (M_i)_iII si (M _i)_iII doua familii nevide de multimi iar (f_i)_iII o familie de aplicatii f_i:M_i M _i (iII

Aplicatia f :M_i M _i f((x_i)_iII) = (f_i(x_i))_iII pentru orice (x_i)_iII IM_i poarta numele de produsul direct al familiei (f_i)_iII de aplicatii; vom nota f = f_i sau f=f_i.

Aplicatia f este unica cu proprietatea ca p _if = f_i p_i   pentru orice iII

Se verifica imediat ca = si ca daca mai avem o familie de multimi (M _i)_iII si o familie (f)_iII de aplicatii cu f:M _i M _i (iII), atunci  ( f ◦ f_i) = (f)◦(f_i).

In cadrul teoriei multimilor, notiunea duala celei de produs direct al unei familii de multimi este aceea de suma directa.

Definitia 1.3. Numim suma directa a familiei (nevide) (M_i)_iII de multimi, un dublet (S,(a_i)_iII format dintr-o multime nevida S si o familie de aplicatii a_i:M_i S(iII) ce verifica urmatoarea proprietate de universalitate:

Pentru oricare alta multime S′ si familie (a _i)_iII de aplicatii cu a′_i :M_i S′(iII), exista o unica aplicatie u:S S′ a. i. ua_i a′_i pentru orice iII

Teorema 1.4. Pentru orice familie (M_i)_iII de multimi exista si este unica pana la o bijectie suma sa directa.

Demonstratie: Unicitatea sumei directe se probeaza analog ca in cazul produsului direct.

Pentru a proba existenta, pentru fiecare iII, consideram =x si S=(observam ca pentru i j, = ). Definind pentru orice iII a: M_i S prin a (x) = (x, i) (xIM_i) se verifica imediat ca dubletul (S, (a)_iII) este suma directa a familiei (M_i)_iII g

Observatie: Suma directa a familiei  (M_i)_iII o vom nota prin (ea mai poarta numele si de reuniune disjuncta a familiei (M_i )_iII

Aplicatiile ( )se vor numi injectiile canonice (ca si in cazul produsului direct - de multe ori prin suma directa vom intelege doar multimea subiacenta, injectiile canonice subintelegandu-se).

Analog ca si in cazul produsului direct, daca avem o familie de aplicatii (f_i)_iII cu f_i : M_i M′_i (iII), atunci aplicatia f : definita prin f((x,i))=(f_i(x),i) pentru orice iII si xIM_i este unica aplicatie cu propietatea ca a _if_i = fa_i pentru orice iII; vom nota f =f_i si vom numi pe f suma directa a aplicatiilor (f_i)_iII.

Se probeaza imediat ca iar daca mai avem o familie (f)_iII cu f :M′_i M′′_i (iII), atunci:

(f_i f_i f_i )