Determinarea frecventelor proprii la incovoierea paletei, prin metoda energetica

Determinarea frecventelor proprii la incovoierea paletei, prin metoda energetica.

Ipoteze:

- paleta este de forma oarecare si antrenata in miscare de rotatie,

- metoda energetica este bazata pe ipoteza conservarii energiei, respectiv energia totala este constanta,

E_t = E_c + E_p = ct

E_c - energia cinetica,

E_p - energia potentiala,

- paleta reprezinta un sistem elastic la care toate punctele materiale care
vibreaza indeplinesc conditiile,

- la pozitia de deformatie maxima,

E_c = 0 ; E_p = max.

- la pozitia de viteza maxima,

E_c = max. ; E_p = 0

- pe baza legii conservarii energiei rezulta,

E_c.max = E_p.max

- energia cinetica maxima reprezinta suma dintre energia potentiala si lucrul mecanic L_m,

E_c.max = E_p + L_m.

Etapele de calcul sunt urmatoarele:

1 - Se alege o lege de variatie a liniei elastice a aerofoliei pe timpul vibratiei acesteia, lege care trebuie sa respecte urmatoarele conditii de limita la capetele aerofoliei:

- in sectiunea de incastrare,

- sageata este nula, y = 0;

- unghiul de deformatie este nul, φ

- la varful aerofoliei, care este liber,

- momentul incovoietor este nul, M = 0,

- forta taietoare este nula, T = 0.

Se considera ca lege de variatie a liniei elastice, o lege armonica de forma,

Schema de calcul si notatiile utilizate sunt cele din fig. 91.

Notatiile folosite sunt:

P_din - pulsatia dinamica,

t - timpul,

L - lungimea paletei,

y_to - sageata maxima la t = 0,

y_t - sageata la timpul t,

E - modulul de elasticitate al materialului,

J - momentul de inertie fata de axa considerata.

Fig. 101 - Schema de calcul si notatiile utilizate.

2 - Se calculeaza energia potentiala pentru pozitia maxima de deformatie a aerofoliei.

Relatia de calcul:

3 - Calculul lucrului mecanic de vibratie sub actiunea fortei centrifuge care solicita
aerofolia,

in care,

Z = S - x

S - arcul partii deformate din paleta,

Z - distanta de deformatie

Se dezvolta in serie,

si se pastreaza primii doi termeni

Rezulta valoarea z,

Se calculeaza forta centrifuga elementara,

in care masa elementului este, dm = ρ · Ax · dx, ρ = ct., si viteza unghiulara ω = ct.

Lucrul mecanic dezvoltat pe toata aerofolia va fi,

4 - Calculul enegiei cinetice maxime:

unde,

v - viteza de deplasare,

v_max = p_din · y

dm - elementul de masa,

dm = p · A_x · dx

Energia cinetica maxima va avea expresia:

5 - Calculul pulsatiei dinamice.

rezulta

6 - Se exprima pulsatia dinamica sub forma,

in care,

7 - Se calculeaza frecventa proprie dinamica,

dar

ca urmare:

, [Hz]

dar , n_s fiind turatia in [rot / sec], iar frecventa statica .

8 - Se aleg alte legi armonice de variatie a formei paletei in procesul de vibratie si se calculeaza pulsatiile dinamice corespunzatoare.

9 - Se considera ca fiind pulsatia proprie dinamica, valoarea cea mai mica obtinuta din calculul cu diferite legi de deformatie, lege care se apropie cel mai mult de situatia reala.