Calculul la starea limita de rezistenta al elementelor din beton armat solicitate la compresiune excentrica

Calculul la starea limita de rezistenta al elementelor din beton armat solicitate la compresiune excentrica

1 Consideratii introductive

Elemenetele structurale tipice pentru solicitarea la compresiune excentrica sunt elemente verticale ale structurilor, stalpii si peretii structurali. In fig.1.25 se prezinta diagramele de eforturi sectionale produse de incarcarile verticale si, respective de cele orizontale, precum si eforturile rezultante.

Sa observam ca functie de marimea relative a eforturilor axiale produse de incarcarile verticale si a eforturilor produse de incarcarile orziontale (denumite in limbajul ingineresc current “effect indirect” al fortelor orizintale) in stalpi, efortul axial din stalpi poate fi nu numai de compresiune ci si de intindere.

FIGURA 1.25

Denumirea solicitarii, compresiune sau intindere excentrica, se aplica prin aceea ca efectul celor doua eforturi M si N se poate echivala cu cel al unei forte aplicate excentric pe sectiune. In cadrul paragrafului 1.2.5 ne referim la solicitarea la compresiune excentrica, cazul intinderii excentrice fiind tratat la paragraful 1.2.6.

Comportarea sub incarcari si modul de cedare al stalpilor depind de interactiunea eforturilor M si Q pe o parte si de intensitatea eforturilor de compresiune, pe de alta parte.

Interactiunea efoerturilor M si Q sau altfel exprimat intre eforturile σ^M de moment si eforturile τ sunt functie de raportul H/h intre inaltimea stalpului si dimensiunile sectiunii transversale. Aceasta dependenta poate fi sugerata de valoarea raportului σ^M/τ_med exprimata pentru conditiile comportarii liniare elastice. Astfel pentru o sectiune dreptunghiulara:

(1.32)

(1.33)

Forta taietoare Q in stalpi reprezinta panta diagramei de

moment, ea putand fi exprimata sub forma:

in cazul solicitarii stalpului pana la plastifierea la extremitatile acestuia, situatia care poate intervenii in cazul actiunii unor cutremure de mare intensitate (1.26).

(1.26)

In felul acesta raportul σ^M/τ_med capata o expresie de forma:

(1.27)

Modul de cedare al stalpilor cu diferite rapoarte H/h se prezinta in

figura (1.27). Se pot identifica trei categorii de staple din acest punct de vedere si anumite lungimi in care raportul H/h ≥5), stalpi de lungime medie (2,5 ≤ H/h < 5) si staple scurti ( H/h < ).

Stalpii lungi (1.27a) resprezinta un mod de rupere practice neafectat de forta frecare. Atat vreme cat efortul de compresiune este (relative la sectiunea de beton) ruperea este asemanatoare cu ruperea la incovoiere, evitandu-se ruperi normale la axa, cu incursiuni substantiale ale armaturii de otel in domeniul elastic de deformatie.

FIGURA 1.27

In cazul staplilor scurti, efectul fortei taietoare este predominant, putand duce la ruperi extreme de casante, prin dizlocari dupa planuri de rupere indirecte, mai ales daca eforturile de compresiune sunt relative mari (fig.1.27c). Deoarece asemenea eforturi de rupere se pot evita cu dificultate si printr-un consum important de otel in armature transversale, prescriptiile de proiectare nu recomanda folosirea in structuri a acestei categorii de stalpi, daca acestia urmeaza sa preia efectul fortelor orizontale dinamice.

In cazul stalpilor cu proportii intermediare intre cele ale stalpilor lungi si ale stalpilor scurti, cedarea poate intervene dupa fisuri inclinate la axa elementului avand o ductilitate limitata (1.27b).

In cele ce urmeaza se are in vedere cazul current al stalpilor lungi si medii la care ruperea este in mai mica masura influentata de forta taietoare. In cazul acestor stalpi se poate analiza separate cedarea in sectiuni normale la axa elementului sub actiunea combinata a efortului M si N, pentru preluarea fortelor taietoare luandu-se masuri separate de armare transversala cu etrieri.

Ne referim din nou la fig.1.0. unde este reprezentata diagrama de inteactiune la limita a elementelor solicitate la incovoiere cu effort axial. Domeniul corespunzator al compresiunii excentrice este impartit de punctual de balans in doua subdomenii de comportare distincte. Cele doua subdomenii delimitate sunt denumite respective, cazul I de compresiune excentrica – pentru N ≤ N_B – si cazul II de compresiune excentrica pentru

N > N_B.

Cazul I de compresiune ii corespunde o rupere prin zdrobirea betonului din zona comprimata, armature din zona intinsa fiind solicitata oeste limita de curgere ( ε > ε_ap). Privit din exterior un stalp comprimat excentric cu excentricitate mare manifesta o comportare similara cu cea a elementelor incovoiate (fig.1.27a).

In cazul II de compresiune excentrica ruperea se produce tot ptin betonul comprimat, dar armature intinsa nu mia ajunge la curgere. Cand efortul axial de compresiune este mare ( in raport cu sectiunea de beton ), aceasta armature ajunge sa fie comprimata, astfel ca apare mai potrivit ca acseatra armature sa fie denumita armature intinsa sau mai putin comprimata. Ruperea este asemantatoare cu directia fortei de compresiune centrica, manifestandu-se prin fisuri paralele cu directia fortei de compresiune. In situatiile in care in sectiune apar si eforturi de intindere in fazele avansate de solicitare pot aparea si fisuri normale la axa, putin dezvoltate.

Inncazul I de compresiune excentrica ruperea are un character ductile, in timp ce in al doilea caza ruperea are un character casant, dara avertizare prealabila. In cazul stalpilor care preiau efectul actiunii seismice, se urmareste sa se evite, prin modul de poriectare a acestora ruperea casanta, asigurandu-se o capacitate cat mai amre de deformatie in domeniul inelastic, prin ca re sa se absoarba sis a se disipe energie indusa de cutremur.

Inainte de a aborda probleme practice de calcul la compresiune excentrica se impun o serie de observatii:

a) Cazul compresiunii centrice, uan din limitele domeniului solicitarii la compresiune excentrica, calalta limita fiind cazul incovoierii, reprezinta o situatie strict teoretica. Intotdeauna apar excentricitati geometrice sau datorate neomogenitatii betonului din elemnte structurale. Pentru a tine seama de aceste excentricitati STAS 10107/0-90 impune considerarea unei excentricitati aditionale, egala cu cea mai mare dintre valorile h/ 30 ( h, dimensiunea sectiunii transversale in directia de aplicare a momentului ) si 20mm. In felul acesta excentricitatea de calcul e_oc se ia :

Altfel spus, momentul de calcul ce se ia in considerare la dimensionare este M + Ne_a. Sau, la verificarea sectiunilor, daca se cunoaste momentul capabil M_cap al unei sectiuni comprimate excentric, se poate conta numai pe fractiunea disponibila M_cap,disp=M_cap – Ne_a (fig.1.10).

b) In redactarea anterioara a standardului ( STAS 10107/0-76) cele doua subdomenii ale solicitatii la compresiune excentrica erau denumite compresiune excentrica cu excentricitate mare ( pentru cazul I de compresiune excentrica) si compresiune excentrica cu excentricitate mica (pnetru cazul II). S-a renuntat la aceste denumiri ca fiind improprii, deoarece pozitiile punctului de balans B la o sectiune de beton cu diferite acantitati (procente) de armare nu corespund unei valori constante a excentricitatii e_o = M_cap/N. In fig.1.28 se poate constata ca punctele de balans pe curbele limita de interactiune pentru diferite procente de armare corespund practice unei valori constante N_B a fortei axiale.

FIGURA 1.28

In felul acesta, pentru o anumita excentricitate e_o, starea limita de rezistenta a sectiunii comprimate excentric poate corespunde cazului I sau II dupa cum armarea sectiunii este mai slaba sau, respective, mai puternica.

c) Se reamintesc ca in cazul elementelor comprimate de beton armat la care capacitatea de rezistenta depinde inytr-o masura importnata de beton si de rezistenta acestuia, rezistentele de calcul lae betonului la compresiune si la intindere variaza functie de dimensiunile minime ale sectiunii elementelor si de inaltimea de turnare a betonului.

2 Cazul I de compresiune excentrica

In domeniul cazului I de compresiune excentrica (N≤N_B), inaltimea zonei comprimate a sectiunii satisface conditia x<x_b. Pe aceasta baza, metoda simplificata de calcul propune aceeasi distributie de eforturi pe sectiune la starea limita de rezistenta ca si in cazul incovoierii.

In cazul sectiunilor se poate accepta aproximatia x=0,8x.

In fig.1.29a se prezinta distributia eforturilor intr-o sectiune de forma oarecare:

FIGURA 1.29

Se fac notatiile:

T_a=A_aT_a - efortul de intindere din armaura A_a

C_b - rezultanta eforturilor de compresiune din zona comprimata de beton

C_a=A_aσ_a’  - rezultanta eforturilor din zona comprimata, asa cum s-a aratat la paragraful 1.2.4

| σ_a’|=R_a daca x ≥ | σ_a’| < R_a daca x <2a’ (armature comprimata nu ajunge la curgere).

z - distanta de la punctual de aplicatie al fortei C_b la axul armaturii A_a

h₁ - distanta de la centrul de greutate al sectiunii la fibra extrema compriamta

Relatiile de echilibrul au forma generala;

N = C_b + C_a – T_a

M + N (h_o – h₁) = C_bz + C_ah_a

Membrul stang al ecuatiei se poate scrie si sub forma:

M + N(h_o-h₁)=N_e

la care: e=e_oc + h₂ este distanta de la punctual de aplicatie al fortei

excentrice la axa armaturii A_a.

In cazul x < 2a’ ecuatia de moment in raport cu axul armaturii

comprimate prezinta avantajul ca evita explicarea efortului σ_a’ cu valoarea

necunoscuta la armature A_a’.

M – N(h₁ – a) = T_ah_a + C_b(h_a – z) (1.37)

In care termenul al doilea din membrul drept este neglijat in raport cu ceilalti termini ai ecuatiei, datorita dimensiunilor reduse ale zoneo comprimate si valorilor apropiate ale dimensiunilor h_a si z.

In cazul particular al sectiunilor dreptunghiulare (fig.1.29c), ecuatiile (1.35), (1.36) si (1.37) devin:

 

In continuare se prezinta detalierea operatiilor de proiectare numai pentru cazul sectiunilor dreptunghiulare.

(i) VERIFICARE SECTIUNILOR

In practica se intalnesc doua cazuri de determinare a capacitatii de rezistenta si presupune:

- dterminarea momentului capabil cand se cunoaste efortul axial N aplicat in sectiune;

- determinarea fortei axiale capabile cand se cunoaste excentricitaeat cu care se aplica aceasta.

a) Se cunoaste: b,h,A_a,A_a’,a, a’, N

Necunoscute: M_cap, x

Din ecuatia de proiectie se obtine inaltimea zonei comprimate:

(1.38)

- Daca 2a’ ≤ x ≤ x_b, momentul capabil rezulta din ecuatia (1.36)’

(1.39)

- Daca x > x_b, se vor aplica relatiile de calcul corespunzatoare cazului II de compresiune excentrica.

(1.40)

- Din valoarea teoretica M_cap stabilita mai sus trebuie scazuta valoarea Ne_a pentru a tine seama de efectul excentricitatilor aditionale.

b) Se dau: b, h, A_a, A_a’, a, a’, e_o=M/N=ct. (1.30)

Necunoscute: N_cap, x.

- Valoarea x se determina dintr-o ecuatie de moment in raport cu suportul fortei excentrice N, in care intervine numai aceasta necunoscuta.

(1.41)

- Dupa determinarea valorii x, N_cap se obtine din ecuatia de proiectie:

FIGURA 1.30

(ii) DIMENSIONAREA SECTIUNILOR ( DIMENSIONAREA ARMATURILOR LONGITUDINALE)

In practica proiectarii se intalnesc doua tipuri de probleme; dupa cum armature A_a din zona comprimata este sau nu cunoscuta:

a) Se dau: b, h, a, a’, R_c, R_a,

Necunoscute: N_cap, x.

Problema este nedeterminarea deoarece numarul necunoscutelor este mai mare decat numarul ecuatiilor de echilibru.

Se considera o conditie suplimentara: suma cantitatilor de armature (A_a + A_a’) sa fie minima, ceea ce corespunde la a considera dezvoltarea maxima a zonei comprimate de beton: x=x_b.

- Din ecuatia (1.36)’ se obtine:

(1.43)

- Cunoscand A_a’ si x=x_b din ecuatia (1.35)’ rezulta armatura intinsa necesara:

(1.44)

Daca din relatia (1.43) rezulta A_a’≤0 sau foarte mica, armature comprimata se allege pe criterii constructive, iar armatura intinsa se calculeaza ca in cazul b).

b) Se dau: b, h, a, a’, A_a’, R_a, R_c, M, N

Necunoscute: A_a, x

Problema implicadoua ecuatii cu doua necunoscute. Ecuatia de moment (1.36)’ furnizeaza valoarea singurei necunoscute care apare in aceasta ecuatie:

(1.45)

se obtine:

(1.46)

- Daca x ≥ 2a’, armature A_a rezulta din ecuatia (1.35)’:

- Dca x < 2a’ dimensionarea armaturii A_a se face pe baza relatiei (1.37)’:

(1.47)

(iii) CAZUL PARTICULAR AL ARMATURII SIMETRICE

- Daca A_a = A_a’, cazu frecvent in practica proiectarii stalpilor, ecuatia de proiectare (1.35)’ devine:

N = bxR_c (1.48)

de unde:

(1.49)

- Ecuatia de moment (1.36)’ furnizarea necunoscutele corespunzatoare tipului de problema:

a) de verificare:

a)     de dimensionare:

- Valorile M si M_cap se corecteaza pentru a tine seama de efectul excentricitatii aditionale.

3. Cazul II de compresiune excentrica

In domeniul cazului II de compresiune excentrica, inaltimea zonei comprimata x, este mai mare decat x_b si deci sectiunea cedeaza prin ruperea betonului comprimat fara ca armature sa ajunga la curgere (σ_a < R_a). Distributia de deformatii pe sectiuni are una din configuratiile din fig.1.32. Se constata:

a) in ceea ce priveste deformatiile specifice pe sectiune:

- in domeniul x_b ≤ x ≤ h, deformatia limita a betonului comprimat este ε_bu. Se admite x ≈ 0,8 x (vezi fig.1.14).

FIGURA 1.31

- in domeniul x > h, se poate considera ca deformatia limita a betonului comprimat variza ca in fig.1.8c,d; legea de variatie liniara a valorii ε_{b lim} in acest domeniu este caracterizata de faptul ca la distanta de fibra extrema comprimata, ε_bc = ε_bo = ct.

a)     in ceea ce priveste valoarea efortului unitara din armtura A_a:

- in domeniul x_b < x < h_o, efortul unitar ε_a scade de la valaorea R_a( curgere prin intindere) la zero;

- in domeniul h_o < x < ∞, effort unitary σ_a variaza de la zero la valoarea –R_a (curgere din compresiune).

c) in ceea ce priveste valoarea eforuylui unitary din armtura A_a’

- efortul unitar σ_a’= -R_a (curgere prin compresiune) in tot domeniul compresiunii excentrice – cazul II – ca urmare a facptului ca la toate armaturile folosite in beton armat este realizata conditia R_a < ε_boE_a.

Rezulta deci distributiile conventionale de eforturi la starea limita de rezistenta in domeniul compresiunii excentrice- cazul II- din fig.1.32. Relatia x = 0,8 h_o este valabila numai pentru conditiile din fig.1.32a, b, d

(x ≤ 0,8 h_o).

Valoarea efortului unitar σ_a se stabileste dupa cum se arata in continuare:

- in domeniul ε_b ≤ ε ≤ 0,8 pe baza distributiei deformatiilor specifice corespunzatoare ipotezei sectiunilor plane din fig.1.33 rezulta:

(1.52)

FIGURA 1.53

Exprimand valoarea ε_bu in functie de deformatia specifica de curgere a armaturii, prin intermediul relatiei (1.25), corespunzatoare conditiilor de balans si punand σ_a=ε_aE_a se ajunge la expresia (1.53) in care valoarea σ_a aparea ca o fractiune din R_a:

(1.53)

FIGURA 1.33

- in domeniul x > 0,8 se utilizeaza relatia:

σ_a=-R_a( 5ζ – 4 ) (1.54)

- rezulta din ipoteza variatiei liniare a efortului unitary din armature A_a intre valoare 0 pentru x = 0,8 h si –R_a pentru x = h (fig.1.34):

Ecuatiile care descriu echilibrul elementului sunt:

(1.55)

In care ecuatia de proiectie este de gradul 2 in x, in cazul aplicarii relatiei (1.52) si de gradul 1, in cazul aplicarii relatiei (1.54).

FIGURA 1.34

In general in cazul solicitarii la compresiune excentrica - cazul II – se adopta simetrica, astfel ca relatia (1.55) reprezinta 2 ecuatii cu cate 2 necunoscute din problemele de dimensionare, cat si in cele de verificare: armature A_a si x in cazul dimensionarii, M_cap si x in cazul verificarii.

Pentru a evita rezolvarea sistemului de ecuatii s-au intocmit tabele cu coeficientii pentru calculul direct al armaturii sau al momentului capabil. Parametrii considerati in alcatuirea tabelelor sunt:

In manualul “ Indrumator pentru calculul si alcatuirea elementelor structurale de beton armat” – Editura Tehnica 1992, se prezinta tabele de coeficienti pentru calculul la compresiune excentrica. Valorile coeficientilor se refera la intreg domenul compresiunii excentrice ( cazul I si cazul II ).

In fig.135 se prezinta configuratia generale a tabellorl si, prin intermediul sagetilor , modil in care se opereaza in problemele de verificare si respective de dimensionare.

FIGURA 1.34

Astfel in cazul verificarii sectiunilor:

- Se calculeaza valorile n si ά

- Dintabele, functie de ά si n se scoate m

- M_cap = mbh₀²R_c

- M_{cap efectiv} = M_cap - Ne_a

In cazul dimensionarii armaturii:

- Se calculeaza valorile n si m

- In tabele, functie de valorile n si m se gaseste ά si apoi A_a = άbh₀R_c/R_a

4 Expresia analitica simplificata a curbei de interactiune limita

Se considera cazul sectiunii dreptunghiulare simetric armata.

Ecuatiile de echilibru in domeniul compresiunii excentrice – cazul I- sunt:

Acceptam simplificarea h₀ = h_a care introduce erori neghlijabile daca acoperirea teoretica cu beton “a” este mica in raport cu inaltimea sectiunii.

Se exprima in forma adimensionala termenii ecuatiilor prin impartirea lor la R_a, in cazul primei ecuatii si la bh_o²R_c in cazul celei de-a doua. Cu notatiile definite se obtine:

n = ζ (1.56)

m + 0,5n = n(1-o,5n) + ά (1.57)

Rezulta ca in domeniul cazului I de comnpresiune excentrica limitat de valori ale lui n = 0 si n = n_B = ζ_B curba m = f(n) la ruperea elementulii de beton armat se poate aproxima printr-o parabola avand ecuatia (fig.1.36).

FIGURA 1.36

M = -0,5n² + o,5n + ά (1.57)’

in prima derivate a afunciei m se obtine:

dm/dn = - n+ 0,5 (1.58)

derivata ca valoare maxima a momentului se obtine pentru valoarea n = 0,5.

Derivata a doua a momentului: d²m/d²n = -1 este constanta si negativa unificand ca raza de curbura este orientate invers sensului pozitiv al axei m.

Ecuatia (1.57a) mai evidentuiaza si faptul interesant din puncte de vedere practice la un effort constant, variatia Δm a momentului capabil adimensionalizat este egal chiar cu variatia coeficientului mechanic de armare Δά.

Calculele executate cu ajutorul metodei exacte ( metodei generale de calcul ) ca in domeniul cazului II de compresiune excentrica relatia m-n este foarte apropiata de o relatie liniar. Acceptand aceasta ipoteza simplificatoare, curba limita de interactiune este reprezentat prin dreapta:

(1.59)

Care trece prin punctele A ( de coordinate n=n_o, m=0 ) si B (n=n_B si m=m_B).

Din fig.1.36 se mai constata ca in conditiile compresiunii centrice variatia cu Δά a coeficientului mechanic de armare conduce cu o variatie in acelasi sens a valorii corespunzatoare Δn_o = 2Δά. Aceasta observatie impreuna cu cea mentionata anterior referitoare la relatia Δm = Δά a domeniului I de compresiune excentrica sugereaza un procedeu simplu de trasare a curbelor m-n.

5. Proprietatile de deformare proelastica ale sectiunilor elementleor solicitate la incovoiere cu sau fara effort axial de compresiune

Proprietatile de deformare proelastica a elementelor structurale prezinta importanta pentru structurile de beton in urmatoarele cazuri:

a) In situatiile in care prin redidtributia eforturilor in structura in raport cu distributia corespunzatoare comportarii elastice liniare se pot obtine solutii mai avantajoase din punct de vedere ethnic si economic. De exmeplu, in cazul grinzii dublu incastrate din fig.1.37a, considerarea unor momente de dimensionare egale cu ql²/16 in camp sip e reazeme, permite poriectarea unor grinzi mai putin inalte decat in situatia ca se iau ca baza pentru dimensionare momentele stabilite orin calulul in domeniul elastic ( in acest caz inaltimea sectiunii grinzii este dictate de momentul maxim ql²/12 din sectiunea de incastrare). Acest mode de dimensionare poate fi acceptat numia daca in articulatiile plastice apar pe reazeme se pot dezvolta rotiri plestice sufficient de mari, faa ca sa intervina ruperea, pentru ca grinda sa mai poata suporta sporirea incarcarilor pana la atingerea momentului capabil in sectiunea din campul grinzii.

In realitate in cazul elemntelor de beton armat nu se potate vorbii de articulatii plastice punctuale ci de zone plastice cu o anumita lungine (lp in fig.1.37b), in care armature este solicitata in domeniul postelastic, iar rotirea in : articulatia plastica” reprezinta suma rotirilor plastice ale sectiunilor din zona plastica (ale curburilor specifice, fig.1.37b).

In cazul placii continue din fig.1.37c, adoptarea in deschiderile interioare a unor momente egale in campuri sip e reazeme permite o armare mai rationala si mai usor de executat. Astfel, se evita supradimensionarea armaturilor din camp, care in numeroase situatii, prin dimensionarea la momentele obtinute din calculul in domeniul elastice rezulta sub cele minime constructive, iar alcatuirea armaturii, prin numarul egal de armature in camp sip e reazeme, permite o executie usoara si rapida.

b) In cazul structurilor proiectate pentru a prelua efectul fortelor seismice asigurarea unei capacitate substantiale de deformare postelastica reprezinta un obiectiv essential al proiectarii, deoarece prin deformarea in domeniul postelastic se poate absorbi si disipa p fractiune foarte importanta din energia indusa in structuri de cutremurele foarte puternice (fig.1.38).

FIGURA 1.37

Capacitatea de deformare postelastica a structurii depinde de capacitatea de deformare in domeniul postelastic in sectiunile din zonele plastice ale acesteia.

FIGURA 1.38

In fig.1.39a se prezinta curbele care reprezinta variatia curburii specifice (rotirii sectionale ) la rupere Φ_c cu valoarea efortului axial de compresiune pentru sectiuni simetrice. In figura s-a adoptat o exprimare adimensionala n – Φ_uh_o respectiv Φ_uh_o. Rotiri plastice Φ_p = Φ_u – Φ_c se inregistreaza numai in domeniul cazului I de compresiune excentrica. In fig.139b si c, se prezinta diagramele deformatiilor specifice pe sectiune corespunzatoare celor doua situatii de solicitare.

FIGURA 1.39

La evaluarea caracteristicilor de deformare in domeniul postelastic este necesar sa se considere valorile medii ale rezitentelor otelului R_a si a betonului comprimat R_c, cele mai probabile, si nu valorile de calcul care sunt valori minime probabile.

In stadiul de cedare rotirea sectionala are amrimea (fig 1.39b):

(1.60)

(1.61)

care exprima o variatie hiperbolica a lui Φ_u cu n daca se tine seama de relatia (1.56)

(1.62)

Rotirea plastica in “articulatia plastica” dezvoltata intr-un element de beton armat se obtine integrand rotirile specifice (curburile) plastice pe lungimea l_p a articulatiei plastice (fig.1.37b):

, unde Φ_x este curbura plastica (Φ_x > Φ_c ) intr-o sectiune x din curba plastica.

Daca se considerea cazul general al armaturii nesimetrice, ianltimea zonei comprimate in momentul ruperii este data de relatia:

(1.63)

Dupa importanta tuturor termenilor ecuatiei cu bh_oR_c si explicitnad inaltimea rekativa a zonei ciomprimate se obtine:

x_u = n + ά’ – ά (1.64)

si corespindenta relatiei (1.61) devine:

(1.65)

In ceea ce priveste valoarea Φ_c aceasta se stabileste pe baza distributiei deformatiilor specifice pe sectiune in stadiile de initiere a curgerii in armature A_a:

(1.66)

(1.67)

Inaltimea zonei comprimate de beton se determina pe baza ipotezelor de calcul pentru stadiul 2 de lucru al elementelor de beton armat.

Din fig. 1.39 a se constata ca valorile Φ_ch_o variaza foarte putin cu n. Calculele demonstreaza ca se poate accepta valoarea aproximativa

Φ_ch_o≈ 3‰.

Se obisnuieste sa se evalueze capacitatea sectionala de deformare in domeniul postelastic prin intermediul reportului:

(1.68)

numit indice de ductilitate.

Se constata ca valoarea indicelui de ductilitate se poate pune sub forma:

(1.69)

Rezulta ca pentru sporirea ductilitatii ( a capacitatii de deformare in domeniul postelastic) sectiunii exista urmatoarele posibilitatii:

- sa se mareasca dimensiunile sectiunii de beton ( pentru reducerea lui n);

- sa se reduca cantitatea de armature din zona intinsa;

- sa se sporeasca cantitatea de armature din zona comprimata;

- sa se sporeasca capacitatea de deformare a betonului la compresiune; aceasta se poate realize prin prevederea unor armature transversale eficiente.

6. Efectul zveltetei la elemente comprimate excentric.

Prin elemente zvelte se inteleg elemente la care efectele de orddinul II ( diferentele intre momentele calculate prin ecjilibru de pozitie deformata a structurii si momentele rezultate dintr-un calcul de ordinal I, determinate pe pozitia nedeformata a structurii) sunt semnificative si nu pot fi neglijate in calcul.

FIGURA 1.40

Pentru un stalp in consola ( incastrat la baza si liber la extremitatea superioara ), ca in fig.1.40., solicitat la compresiune excentrica, momentul incovoietor total la baza este:

- in calculul de ordinal I:

M₁ = SH

- in calculul de ordinal II:

M_II = M₁ + ΔM = SH + Nx (1.70)

Efectul de ordinal II , ΔM = SH este proportional cu valoarea efortului axial si cu sageata, deci cu flexibilitatea ( zveltetea) stalpului. In calcule practice, zveltetea stalpilor din beton armat cu sectiune dreptunghiulara este caracterizata prin coeficientul de zveltete conventional λ= l_f/h, unde :

l_f= lungimea de flambaj

h= dimensiunea sectiunii transversale dupa directia de actiune a momentului incovoietor.

Incarcand un stalp de beton armat cu excentricitate constanta, cu o forta verticala aplicata la capatul unei co sole si marind progresiuv pana la cedare, momentul incovoietor maxim la baza creste in modul aratat in fig.1.41a. Se constanta urmatoarele:

FIGURA 1.41

a) La valorile reduse ale coeficientului de zveltete ( λ ≤ 10), efectele de ordinal II sunt practice neglijabile. Curba de incarcare M = f(N) este o dreapta (dreapta (1) in fig.1.41b. Valoarea N corespunzatoare punctului A₁, de intersectie a dreptei (1) cu curba limita de interactiune se noteaza N_cap,1. Stalpii din aceasta categorie sunt denumiti stalpi nezvelti.

b) La valori 10 ≤ λ ≤ 30, relatia M = f(N) se departeaza de la forma liniara ( curba (2) in fig.1.41b. Cu cat λ este mai mare, cu atat efectele de ordinal II sunt mai I portnate si cu cat curba (2) se departeaza mai mult de dreapta (1) intersectand curba limita de interactiune intr-un punct A₂, la care corespunde N_cap,2 < N_cap,1.

Trebuie observat ca cedarea intervine tot prin atingerea starii limita de rezistenta si nu prin pierderea stabilitatii. Stalpii din aceasta categorie se denumesc stalpi zvelti.

In cazul stalpilor zvelti trebuie luata in calculul o majorare a momentului incovoietor cu cantitatea ΔM = Nx.

c) La valori λ > 30, cedarea se poate produce prin pierderea stabilitatii (flambaj), forta critica de flambaj putand fia tinsa inainte de atingerea starii limita de rezistenta ( punctual A₃ de pe curba (3). Dupa atingerea valorii N_cr, deformatiile cresc nedefinit de mult sub N = ct.

Stalpii din categoria λ > 30 sunt denumiti foarte zvelti si ei sunt de evitatt in constructiilr de beton armat.

Ponderea cu care intervine in calcul influenta zveltetei stalpilor se masoara prin valoarea coeficientului η = M_II/M_I.

Pentru un stalp izolat dintr-un material ideal-elastic, la care lungimea de flambaj este cunoscuta, coeficientul η se poate calcula cu suficienta exactitiate cu ajutorul formulei Perry-Timoshenko:

(1.71)

unde:

(1.72)

Expresia (1.72), riguros valabila numia cand diagramele M₁ si ΔM sunt affine, (conditie realizata numai cand incarcarea laterale este distribuita sinusoidal) se poate folosi pentru orice tip de incarcare, conducand la erori fata de rezultatele obtinute printr-un calcul exact.

Trebuie subliniat faptul ca valoarea N_cr2, in situatia stalpilor zvelti

(10 ≤ λ ≤ 30 ) are numai o semnificatie teoretica, neputand fi atinsa (fig.1.41b) si trebuie considerate ca o valoare utilizata intr-o expresie de calcul.

In cazul stalpilor care fac parte dintr-o dtructura , expresia (1.71) devine aproximativa, intrucat notiunea de lungime de flambaj isi pierde semnificatia fizica directa si nu se poate vorbi decat de valori conventionale stabilite prin apreciere.

In functie de ponderea efectelor de ordinal II, respective de marimea prezumata a coeficientului η se recomanda urmatoarelel procedee de calcul pentru stalpii de beton armat:

(i) pentru η < 1,2 se admite sa se efectueze un calcul obisnuit de ordinal I al structurii, iar momentele M_I astfel obtinute sa fie majorate cu coeficientii η calculate cu expresia (1.71) in care N_cr se determina cu formula (1.72), adoptandu-se pentru lungimile de flambaj valori appreciate in functie de natura legaturilor stalpilor la extremitati.

(ii) pentru 1,2 < η ≤ 1,5, este necesar sa se efectueze un calcul de ordinal II al structurii, in care se admite sa se considere in mod simplificat pentru fiecare element structural modului de rigiditate EI constant, independent de starea de solicitare.

(iii) cazurile in care η > 1,5 trebuie, in general, evitate. Cand aceasta nu este posibil este necesar un calcul de ordinal II mai aprofundat al structurii, tinand seama si de variatia modului de tigiditate EI in functie de starea de solicitare, luan in considerare deci, atat neliniaritatea geometrica (efectele de ordinal II ), cat sic ea fizica ( EI variabil, tinand seama de fisurarea si deformatiile inelastice ale materialeleor). Un astfel de calcul nu se oiate efectua decat cu ajutorul unor programe adecvate de calcul automat si constituie si un instrument de cercetare pentru fundamentarea ipotezelor admise in primele doua metode.

In ceea ce priveste valoarea modulului de rigiditate utilizat in calcul prin metode (i) si (ii), trebuie observat (fig.1.41b) ca efectele de ordinal II se accentueaza pe amsura ce elemental se apropie de stadiul de cedare. De aceea, EI trebuie introdus cu marimea corespunzatoare stadiului de cedare, pentru care in STAS 10107/0-90 se da expresia:

(1.73)

in care:

I_b  = momentul de inertie al sectiunii brute de beton;

E_b  = modulul de elasticitate al betonului;

p = preocentul total de armare din sectiunea stalpului;

M_ld  = momentul incovoietor din incercarile de lunga durata care produc stalpului o deformatie in acelasi sens cu cea determianta pentru efectul de ordinal II;

M  = momentul incovoietor total.

In cazurile curente se paote lua: EI≈0,3 E_bI_b

Pentru clarificarea definitiei anterioare date termenului M_ld sa consideram situatia din fig.1.42, a unei structuri prefabricate pentru o hala industriala parter la care incarcarile verticale transmise stalpilor de grinda principala a acoperisului se aplica excentric. Momentele Re_o transmise stalpilor cuprind si fractiuni de lunga durata, dar in virtutea simetriei ele nu conduc la deplasari laterale ale nodurilor si in consecinta deformatia pe care o produc unui stalp difera ca forma de cea generala de fortele orizontale, determinate pentru efectele de ordinul II.

FIGURA 1.42

In fig.7.42 se vede ca in sectiunea de la baza stalpului , unde excentricitatea suplimentara din actiunea incarcarilor orizontale este maxima, cea produsa de momentele M = Re_o este nula. Efectul ei se resimte numai in zona mijlocului inaltimii stalpului, unde in schimb momentul din incarcarile orizontale are o valoare mult mai mica. In consecinta, in cazul considerat, momentele datorate excentricitatilor de aplicare ale incarcarilor verticale transmise de grinzile principate nu se includ in M_ld ' de la numitorul expresiei (1.73).

In finalul discutiei problemei efectului structural al flexibilitatii stalpilor este important de mentionat si faptul ca in cazul constructiilor asociate la cutremure puternice si la care stalpii participa la preluarea fortelor orizontale seismice, o flexibilitate prea mare a acestor elemente afecteaza in sens defavorabil raspunsul seismic al structurii (pot interveni deplasari mari care antreneaza degradarea puternica a peretilor de umplutura, se pot dezvolta mecanisme structurale de plastificare defavorabile de tip etaj slab, etc.). Asigurarea unei rigiditati suficiente la deplasari laterale a stalpilor este necesara si din aceste motive.

Calculul la starea limita de rezistenta la incovoiere oblicasau

fara efort axial

In cazul general al unui element din beton armat solicitat la efort normal cu excentricitate oblica, intr-o sectiune transversala avand axele principale Ox, Oy fig,7.43a) actioneaza:

FIGURA 1.73

- fortul normal N;

- momentul M_x = Ne_ox, corespunzator componentei dupa directia Ox a excen­tricitatii oblice e_o;

- momentul M_y = Ne_oy, corespunzator componentei dupa directia Oy a excentri­citatii oblice e_o.

Notatiile M_x, M_y sunt deci corelate cu directiile excentricitatilor e_ox, e_oy si nu cu directiile vectorilor-moment, ceea ce prezinta avantajul practic ca se folosesc aceeasi indici pentru momente si pentru excentricitatile pe care le genereaza.

Armaturile au fost notate ca in fig 1.43b, coresunzator momentelor M_x, M_y, astfel ca, de exemplu, pentru M_y = 0, A_ax sa reprezinte armarea pentru momentul M_x.

In sistemul de axe N-M_x-M_y, relatia N M_cap(x)-N_cap(y) se reprezinta printr-o suprafata limita de interactiune ca in fig.1.44a. Intersectiile acestei suprafete cu planele NoM_x, NoM_y sunt curbele limita de interactiune N-M_cap(x) (cand M_y= 0), respectiv N M_cap(y) (cand M_x = 0). Unei valori date a efortului normal N ii corespunde planul hasurat din figura, paralel cu planul M_xoM_y si a carui intersectie cu suprafata limita de interactiune este o curba de forma celei din fig 1.44b.

Metoda de baza pentru calculul la incovoiere oblica, cu sau fara efort axial, asa numita metoda 'exacta', (metoda generala de la 1.2.2) se bazeaza pe considerarea simultana a conditiilor statice, geometrice si fizice, exprimate in raport cu axa neutra oblica.

FIGURA 1.44

Calculul pe aceste baze nu poate fi efectuat decat cu ajutorul unor programe de calcul automat sau prin folosirea unor abace obtinute de la date furnizate de utilizarea unor asemenea programe, grupate dupa valorile unor parametri (cum sunt sunt, de exemplu, forma sectiunii si modul de armare), dar care, evident, nu pot acoperi toate cazurile ce intervin in practica.

In proiectarea curenta se admite si utilizarea de procedee simplificate care pot fi abordate cu un calcul manual, dintre care cea mai folosita este asa numita metoda a „elipsei”.

Aceasta metoda consta in aproximarea curbei de interactiune

M_cap(x)-M_cap(y) pentru N dat (fig.1.44b) printr-o elipsa de gradul β are valori in domeniul 1,3 ≤ β ≤ 2.

 

In figura 1.44 si in relatia 1.74 s-au facut notatiile:

M = momentul incovoietor capabil, actionand intr-un plan oblic OM, inclinat cuunghiul ω fata de axa Ox a sectiunii;

M_x M_y = componentele momentului M in planurile Ox, Oy, definite in modul aratat mai inainte;

M_xo = momentul capabil pentru N dat, in situatia M_y=0;

M_yo = idem, in situatia M_x = 0.

Valorile P au fost stabilite pe baza unor ample studii parametrice executate cu ajutorul calculului numeric prin metoda generala si sunt data in tabelul 1.2

Din aceste studii a rezultat ca principalii parametrii de care de care depinde β sunt: nivelul de solicitare axiala, caracterizat prin coeficientul adimensional n= N/bhR_c si modul de dispunere a barelor de armatura in sectiune. Procentul de armare are o influenta mult mai redusa. S-au luat ca baza valorile

n = 0.10,8 si trei tipuri de distributie a armaturilor:

- 4 bare dispuse la cele 4 colturi ale sectiunii;

- mai multe bare pe fiecare latura, cu A_ax A_ay

- mai multe bare pe fiecare latura, cu A_ay = (1,52)A_ax.

Valorile exponentului β

TABELUL 1.2

Valorile exponentului au fost determinate punandu-se conditia ca pentru 'oblicitatea maxima' a planului de actiune al momentului (corespunzand diagonalei sectiunii) rezultatele calculului dupa metoda elipsei sa coincida cu cele dupa metoda riguroasa (fig.1.45)

In calculele de proiectare intervin doua categorii de probleme si anume verificarea sectiunilor si dimensionarea armaturilor.

In cazul problemei de verificare se cunosc valorile momentelor capabile M_ox si M_oy corespunzatoare armaturii sectiunii si valorii N a efortului axial de compresiune.

FIGURA 1.45

Sectiunea rezista la actiunea unui moment incovoietor cu componentele M_x si M_y, efortul axial avand valoarea N, daca este verificata inegalitatea:

(1.75)

in care β are valoarea corespunzatoare intensitatii n= N/bh_oR_c si modului

de armare ale sectiunii.

In cazul problemei de dimensionare sunt cunoscute sectiunea de beton si valorile eforturilor sectionale N, M_x, M_y aplicate pe sectiune.

Rezolvarea problemei de dimensionare implica determinarea elipsei care contine punctul de coordonate M_x si M_y, si ale valorilor M_xo si M_yo corespunzatoare. Stabilirea cantitatilor de armatura A_x si A_y   rezulta astfel, din dimensionarea la compresiune excentrica dreapta, pentru valorile de momente M_xo si M_yo.

Spre deosebire de cazul compresiunii excentrice drepte ( ω= 0° sau

ω = 90° ) in locul unei singure necunoscute, intervin 2necunoscute A_ax si A_ay. In consecinta, problema devine nedeterminata, fiind posibile o infinitate de solutii, corespunzatoare diferitelor rapoarte intre A_ax si A_ay cu respectarea conditiilor de procent minim de armare si de alcatuire a armaturii (distante intre bare, acoperire cu beton).

De asemenea, rezultatul calculului este functie si de numarul si pozitia barelor de armatura (uniform distribuite pe laturile sectiunii sau grupate spre colturi, etc).

Pentru ridicarea nedeterminarii si crearea posibilitatii unei dimensionari directe a armaturilor, este deci necesar sa se aleaga de la inceput numarul si dispozitia barelor pe fiecare latura si apoi sa se prestabileasca, fie A_ax sau A_ay fie A_ax/A_ay.

Daca oblicitatea planului de actiune a momentului incovoietor este mica (una dintre componentele momentului pe axele principale are o valoare mica), in toate ipotezele de incarcare, se ajunge ca dupa directia respectiva sa rezulte o armare minima constructiva. In acest caz se alege de la inceput armarea dupa acea directie, cu alte cuvinte momentul capabil corespunzator (sa admitem ca acesta este M_ox ramanand ca necunoscuta armatura dupa cealalta directie. Aceasta implica dimensionarea la compresiune excentrica dreapta la o valoare a momentului M_oy dedusa din relatia (1.75) in care β are valoarea corespunzatoare modului de armare adoptat si valorii n.

In celelalte cazuri devine necesar sa se aleaga valoarea raportului A_ax/A_ay. Este avantajos ca acest raport sa fie stabilit pornind de la conditia de minimizare a armaturii totale a sectiunii. Daca intervin mai multe ipoteze de incarcare, care pot fi determinante pentru dimensionarea armaturilor, optimizarea se efectueaza in consecinta.

Cu notatiile:

(1.76)

Ecuatia (1.75) devine:

(1.77)

Se expliciteaza m_oy in fucntie de ceilalti termeni:

(1.78)

Conditia de optimizare ( A_ax + A_ay)_min se pune sub forma:

(1.79)

Se scrie derivata sumei (1.77) in functie de m_xo si se anuleaza. Trecand peste detaliile de calcul se obtin urmatoarele solutii:

(1.80)

(1.81)

Valorile k_{x optim}= (m_x / m_y)_optim si k_{y optim}= (m_y/m_yo)_optim se dau in tabelul
in functie de valorile β si m_x/m_y. Practic, rezolvarea, problemei implica
parcurgerea urmatoarelor etape de calcul:

(i) Se calculeaza n, m_x, m_y cu relatiile (1.76)

(ii) Se alege o distributie preliminara a armaturilor

(iii) Se determina β in functie de n si de dispozitia aleasa pentru armaturidin tabelul 1.2

(iv) Se calculeaza m_x / m_y (m_x < m_y)

(v) Din tabelul 1.3 se scot marimile k_x optim si k_y
si β stabilite anterior.

(vi) m_xo= m_x/k_{x optim}; m_yo=m_y/k_{y optim}

(vii) Cu n, mxo se calculeaza armatura A_ax necesara ca pentru o sectiune solicitata la compresiune excentrica dreapta (cu excentricitate monoaxiala).

(viii) La fel cu n, m_yo se calculeaza A_ay.

TABEL 1.3