Absorbtia in semiconductori

ABSORBTIA IN SEMICONDUCTORI

Absorbtia radiatiei in solide se face prin excitarea electronilor si a fotonilor si prin interactiunea electron-fonon. In semiconductori, principalele mecanisme de absorbtie sunt:

a.Tranzitiile electronice din banda de valenta in banda de

conductie, peste banda interzisa. Acestea pot fi directe (verticale), fara interventia fotonilor, si indirecte, cu participarea unuia sau mai multor fononi. Absorbtia datorata acestor tranzitii are forma unui prag bine conturat.Cand energia fotonilor este mai mica decat largimea zonei interzise,

<∆E=E_g , electronul nu poate fi ridicat din banda de valenta in banda de conductie. Absorbtia incepe la , si creste apreciabil formand asa-numitul prag (limita) principal de absorbtie situate la majoritatea semiconductorilor in infrarosu apropiat. Studiul formei spectrale a pragului da informatii atat asupra formei benyilor de energie , cat si asupra valorii parametrului ΔE .

b).Tranzitiile electronice dintre starile aceleiasi benzi , care se pot face cu sau fara interactiune cu fotoni. Ele au loc la energii ale fotonului mai mici decat largimea zonei interzise . Deoarece in banda de conductie se gasesc relaiv putini electroni care sa fie excitati, iar in banda de valenta sunt relative putine goluri in care sa poata fi excitati electroni, absorbtia intrabanda si absorbtia de purtatori liberi sunt slabe comparative cu absorbtia banda-banda. Absorbtia datorita tranzitiilor optice intre subbenzi se numeste absorbtie intrabanda si va fi studiata separate de absorbtia de purtatori liberi

3

in benzi nedegenerate.

c).Tranzitiile electronice pe si de pe nivelele localizate (impuritati, defecte) din interiorul zonei interzise. Absorbtia datoria acestor tranzitii furnizeaza date asupra densitatii si adancimii energetice a nivelelor localizate in banda interzisa.

d).Tranzitiile dintre diferitele stari de vibratie a retelei cristaline. Studiul absorbtiei pe aceste tranzitii furnizeaza date despre spectrul de vibratie al retelei.

1. TRANZTII ELECTRONICE DIN BANDA DE

VALENTA IN BANDA DE CONDUCTIE

TRANZITII DIRECTE

Se pune problema determinarii pe cale teoretica a coeficientului de absorbtie datorat tranzitiei directe. Ceficientul de absorbtie α reprezinta raportul dintre energia absorbita (pe secunda in unitatea de volum) si energia incident ape unitatea de suprafata (pe secunda) :

,

A fiind energia absorbita pe m³s , iar I energia incident ape m³s.

Din punct de vedere al teoriei corpusculare a luminii , cefcientul de absorbtie reprezinta produsul dintre sectiunea efectiva de absorbtie si

densitatea particulelor absorbite. Energia absorbita pe secunda in unitatea de volum este data de produsul dintre energia a unui foton si numarul corespunzator al fotonilor absorbiti. Acest numar, la randul lui reprezinta produsul dintre probabilitatea de tranzitie a_f ² intre doua nivele de energie in legatura cu tranzitia la distanta , care se inmulteste cu un factor de excludere provenit din principiul lui Pauli.

Probabilitatea de tranzitie se calculeaza considerand unda luminoasa drept o perturbatie periodica in timp aplicata electronului ; calculul se poate face in aproximatiea unielectronica si considerand reteaua cristalina ideala. Se presupune ca atat maximul benzii de valenta cat si un minim al benzii de conductie se afla la , adica in centrul zonei Brillouin. Se considera de asemenea benzile nedegenerate si caracterizate prin cate o masa efectiva scalara.

In vecinatatea maximului benzii de valenta se poate scrie :

4

, (16)

iar in vecinatatea minimului benzii de conductie :

, (17)

Problema care se pune este de a calcula probabilitatea tranzitiei electronului in starea (v) aflata in banda de valenta cu vectorul de unda k_v si energia E_v intr-o stare (c) din banda de conductie cu vectorul de unda k_c si energia E_c sub influenta unei unde luminoase cu frecventa , considerate drept perturbatie ; din conservarea energiei rezulta:

. (18)

Se construieste elemental de matrice al perturbatiei ,

, (19)

(unde A modulul potentialului vector , a₀ vectorul polarizare , m masa electronului liber , iar k vectorul de unda al fotonului) , intre functiile de unda ale starii initiale:

, (20)

si starii finale:

, (21)

Aici N este numarul celulelor elementare din cristal iar u_v si u_c functii periodice cu periodicitatea cristalului. Elementul de matrice cautat va fi:

. (22)

Datorita periodicitatii functiilor u_v si u_c , integrala poate fi exprimata printr-o suma asupra celulelor cristalului. Elementul de matrice cautat va fi:

, (23)

unde este vectorul de pozitie al celulei j. Suma este diferita de zero numai

in cazurile cand: 

, (24)

sau:

, (24')

5

fiind vector al retelei reciproce.

Deoarece lungimea de unda a radiatiei este mare fata de constanta retelei , este mic si deci conditia de neanulare a elementului de matrice se va rezuma doar la (24). De notat de asemenea faptul ca , intrucat vectorul de unda al fotonului, , este neglijabil fata de vectorul de unda al electronului, conditia (24) devine,

, (25)

care arata ca tranzitiile se pot deduce numai vertical, cu conservarea momentului electronului intre starea finala sic ea initiala.

Punand in (22) relatia (25) se obtine:

. (26)

Daca nu se anuleaza , primul termen de sub integrala, este mult mai mare decat al doilea la valori mici ale lui k. Se considera pentru inceput ca el nu se anuleaza ; neglijand pe cel de al doilea termen, se va putea exprima primul termen cu ajutorul elementului de matrice al operatorului impuls, , adica :

. (27)

Cu ajutorul lui (27) relatia (26) devine:

. (28)

Conform teoriei perturbatiei , probabilitatea de tranzitie se scrie astfel:

, (29)

.

Inlocuind acum expresia elementului de matrice din (28) in (29) se obtine :

, (30)

unde :

; (30')

6

, (31)

care este masa efectiva redusa a perechii electron-gol, care se formeaza prin tranzitie.

Probabilitatea totala de tranzatie sub actiunea unei radiatii monocrome cu frecventa ω se obtine sumand expresia (30) asupra tuturor valorilor permise ale lui _v .Presupunand banda de valenta complet ocupata (banda de conductie complet libera) , iar densitatea starilor electronice pe care se pot executa tranzactii (V fiind volumul cristalului), probabilitatea totala fiind de forma:

. (32)

Se poate efectua integrala unghiulara daca se noteaza :

.

Se obtine in acest mod :

. (33)

Expresia de sub integrala este mai mare numai pentru ; produsul fiind o functie de k lent variabila poate fi scoasa de sub integrala. Introducand o noua variabila x, , , unde s-a tinut cont de relatia (30') . Extinzand limitele de integrala de la -∞ la +∞ si stiind ca , se gaseste :

. (34)

Coeficientul de absorbtie α rezulta din :

, (35)

unde este fluxul de enerie al undei incidente , ; se gaseste astfel:

. (36)

Inlocuind pe cu (34) se gaseste:

. (37)

Coeficientul de absobtie α_d ,mai poate fi exprimat si cu ajutorul "intensitatii oscilatorului" prin intermediul elementului de matrice al operatorului-moment:

, (38)

adica:  

, (39)

unde este mediat asupra tuturor directiilor de polarizare. Relatia (39) permite evaluarea numerica a coeficientului de absorbtie conducand la un bun acord cu rezultatele experimentale. Proportionalitatea coeficientului de absorbtie cu este luata drept criteriu pentru mecanismul tranzitiilor directe permise la . Experimental se pun in evidenta prin masuratori de absorbtie directe din banda de valenta in banda de conductie.

Exemplul cel mai cunoscut este pragul principal de absorbtie al germaniului.

Pentru valori foarte apropiate de , coeficientul de absorbtie nu tinde asa cum ar rezulta din (39) , spre 0, ci catre o valoare constanta trecand apoi intr-un spectru de absorbtie datorat excitonilor.

Nepotrivirea cu formula teoretica se datoreaza faptului ca in deducerea acesteia s-a neglijat atractia coulombiana intre electronul si golul format prin absorbtia , atractie care explica formarea in anumite conditii a excitonului.

Tranzitiile permise au loc , de exemplu, atunci cand functiile de unda ale benzii de valenta deriva din starile s ale atomilor individuali , iar starile de unda ale benzii de conductie deriva din starile p; in cazul cand functiile de unda ale benzii de conductie deriva din starile d, tranzitia nu este permisa. In acest caz la k=0 , elementul de matrice si in (26) trebuie luat in considerare termenul al doilea de sub integrala :

8

. (40)

In acest caz datorita ortogonalitatii functiilor de unda u_c si u_v elemental de matrice al impulsului se anuleaza pentru exact egal .Facand notatia :

, (41)

va fi mai mic decat 1.

Scriind si luand valoarea medie , se gaseste :

, (42)

iar pentru coeficientul de absorbtie :

. (43)

Factorul care decide anularea sau neanularea la a elementului de matrice al impulsului este caracterul simetriei spatiale a functiilor si . Cand produsul este simetric pentru adica , integral ape tot spatial, din expresia (27) a lui are o valuare diferita de zero. In acest caz si au simetrii diferite (una este simetrica iar cealalta nu). In cazul special in care benzile intre care se face tranzitia iau nastere din acelasi tip de unda atomice (s,p,d) si exista generare , va fi vorba de acelasi character de simetrie si deci o tranzitie interzisa.Caracterul de simetrie al functiilor de unda are legatura cu forma suprafetelor de energie E(k).

Conform studiilor facute de W.C.Dash si R.Newman asupra unor cristale simple foarte subtiri de Ge pur s-a observat ca exista o crestere abrupta in absorbtie pentru hυ aproape de 0,80eV,iar absorbtia continua tine la o valuare constanta ; absorbtia la lungimi de unda mari poate fi explicata daca se tine cont de interactiunea coulombiana a electronilor si golurilor libere prin tranzitie, care duce la aparitia in spectrul de absorbtie a unei linii excitonice.

Se analizeaza in cele ce urmeaza ,pe scurt, absorbtia datorata electronilor. Conform teoriei unielectronice a structurii de baza in zona interzisa a unui cristal infinit si perfect nu trebuie sa existe nici un nivel de energie permis.Mott si Gurnay au aratat ca trebuie sa existe anumite stari electronice premise in banda interzisa.

Intr-un cristal in care un electron a fost excitat din banda de valenta in

9

banda de conductie , lasand un gol pozitiv liber, electronul si golul se vor atrage, formand o serie de stari si deplasandu-se prin cristal, impreuna ca pereche a fost numita de Frenkel exciton.Energia de legatura a excitonului va fi :

, (44)

unde W_H este energia starii fundamentale a atomului de hidrogen , n numar intreg, E constanta dielectrica a mediului, iar m_r masa redusa a perechii electron­­­-gol. Excitonul are deci o serie de nivele cu n=1 in starea fundamentala. Energia necesara formarii unui exciton in starea fundamentala este ,desi mai mica decat ∆E, energia minima necesara pentru formarea unui electron liber si a unui gol iiber. Se pot privi nivelele excitonice ca situate in zona interzisa, la o distanta mica sub nivelul de conductie.Considerand drept moment al excitonului momentul centrului sau de greutate , care se noteaza cu , se poate scrie energia excitonului sub forma . La formarea excitonilor prin tranzitii prin tranzitii directe , se poate arata usor ca trebuie sa fie indeplinita conditia.

Se pot forma excitoni si ca urmare a tranzitiilor indirecte cu emisia sau absorbtia unui foton. Dupa cum se va vedea , variatia spectrala pentru absorbtia excitonilor difera de aceea inregistrata la absorbtia cu formarea perechilor electron-gol; acest fapt ofera posibilitatea distingerii absorbtiei electronice de absorbtia banda-banda.

Teoria formarii excitonilor cu emisia sau absrbtia de fotoni , data de G.Dresselhaus si R.I.Elliott , arata ca exista o oarecare libertate in alegerea starii initiale de la care tranzitia poate avea loc, daca momentul , al centrului de greutate al excitonului este compensate prin momentul fotonului emis sau absorbit; in aceasta situatie avem de-a face mai devreme cu o banda excitonica cu limita la lungimi de unda scurte, bine definite, decat cu o linie spectrala. Daca este energia minima necesara formarii excitonului, iar reprezinta energia fotonului, se va putea scrie pentru coeficientul de absorbtie corespunzator formarii excitonului:

,

pentru o tranzitie permisa si

,

10

pentru o tranzitie interzisa; aici D si G sunt constante aproximative.

Daca energia de legatura a excitonului in stare fundamentala este atunci valoarea minima pentru care va putea fi observata o tranzitie excitonica este :

.

Aceasta reprezinta adevarata limita inferioara pentru absorbtia continua, daca este energia fotonului de energie maxima implicat in tranzitiile indirecte. Absorbtia excitonica trece intotdeauna in absorbtia banda-banda, cu schimbarea pantei la .

Cele mai multe metode directe de observare a absorbtiei corespunzatoare excitonilor, ori de cate ori se asociaza cu tranzitiile indirecte se baziaza pe idea compararii variatiei spectrale a acestui tip de absorbtie cu aceea corespunzand tranzitiilor banda -banda. Intr-adevar, daca se reprezintain functie de pentru tranzitiilebanda-banda se vor obtine o serie de linii drepte, pe cand pentru tranzitiile dintr-o banda excitonica permisa cu limita se inregistreaza o dependenta de forma:

,

Aceasta dand o crestere foarte rapida in absorbtie , fiind usor recunoscuta. Daca se emit sau se absorb fotoni acustici transversali , cresterile vor fi mai putin vizibile, ascultand de o dependenta de forma:

.

Experimental au fost puse in evidenta serii hidrogenoide de linii de absorbtie la semiconductori cu zona interzisa larga, linii atribuite formarii excitonilor. Linii excitonice au fost puse in evidenta de catre S.Zwerdling, Laura M.roth si B.Lax in apropierea pragului principal de absorbtie al germaniului monocristalin de inalta puritate , unde linia excitonica nu poate fi confundata cu liniile spectrale corespunzatoare absorbtiei de impuritati .