Campul ecuatiilor lui Einstein (CEE)

Campul ecuatiilor lui Einstein(CEE)

Despre CEE:

Campul ecuatiilor lui Einstein (CEE) sau ecuatiile lui Einstein sunt un set de zece ecuatii in teoria generala a lui Albert Einstein, care descrie interactiunea fundamentala sau gravitatea ca rezultat al timpului spatial ca fiind curbat de materie si energie. Prima publicata de catre Einstein in anul 1915 ca o ecuatie tensoara, curbura timpului spatial CEE echivaleaza cu energia si impulsul timpului spatial.

Similar modului ca campurile elecromagnetice sunt determinate folosind descarcari si curenti prin ecuatiile lui Maxwell, CEE sunt folosite pentru a determina geometria timpului spatial; rezultand de la prezenta masei de energie si a impulsului liniar, ei determina tensorul metric al timpului spatial pentru aranjamentul masei de energie dat in timpul spatial. Relatia dintre tensorul metric si tensorul lui Einstein permite ca CEE sa fie scrise ca un set de ecuatii partial diferentiale non-liniare. Solutiile pentru CEE sunt componentele tensorului metric. Traiectoriile inerte a particulelor si a radiatiilor in geometria rezultanta sunt apoi calculate folosind ecuatia geodezica ( linii drepte sau spatii curbate). CEE reduce legea gravitatiei a lui Newton unde campul gravitational este slab si vitezele mult mai slabe ca viteza luminii.

Tehnicile de solutie pentru CEE include simplificatea ipotezelor, precum simetria. Clasele speciale ale solutiilor exacte sunt de cele mai multe ori studiate ca si cum modeleaza multe fenomene gravitationale, precum rotirea gaurilor negre si universal extensibil. Mai departe, simplificarea este realizata in aproximarea timpului spatial actual ca timp spatial plat cu mici deviatii, conducand la CEE liniarizate. Aceste ecuatii sunt folosite pentru a studia fenomene precum valuri gravitationale.

Forma matematica:

CEE poate fi scrisa in forma:

Unde este tensorul curbat Ricii, R este curbura scalar, este tensorul metric, este constanta cosmologica, G este constanta gravitational a lui Newton, c este viteza luminii si este tensorul stresului de energie.

CEE este tensorul ecuatiei relatand un set de tensoare simetrice. Fiecare tensor are 10 componente independente. Dand libera alegere a celor 4 coordonate a timpului spatial, ecuatiile independente se reduc la 6 intr-un numar.

Desi CEE au fost initial formulate in contextual a teoriei de patru-dimensiuni [4D], cativa teoreticieni au explorat propriile consecinte in n dimensiuni. Ecuatiile in contextele in afara a relativitatii generale inca se refera la CEE. Campurile ecuatiilor in vid definesc multiplele lui Einstein.

In ciuda simplei aparente a ecuatiilor, ele sunt de fapt chiar complicate. Dand o distributie specifica de materie si energie in forma tensorului streului de energie, CEE sunt intelese a fi ecuatii pentru tensorul metric , ca ambele atat tensorul lui Ricii si curbura scalar depind pe metrice intr-o maniera non-liniara complicata. De fapt, cand scrie pe deplin, CEE este un sistem de 10 ecuatii partial diferentiale cuplate, non-liniare, hiperbolic eliptice.

Una poate scrie CEE intr-o forma mult mai compact de definirea tensorului lui Einstein:

care este un tensor simetric de rang secundar care este o functie de metrice. CEE poate fi scris apoi ca :

Unde termenul cosmologic a fost absorbit in tensorul stresului de energie ca energie neagra[inchisa].

Folosind unitati geometrizate unde g=c=1, aceasta poate fi rescrisa ca:

Expresia de pe partea stanga reprezinta curbura timpului spatial ca determinat de metrice si iar expresia de pe partea dreapta reprezinta continutul de material/energia a timpului spatial. CEE poate fi apoi interpretat ca fiind un set de ecuatii dictand cum curbura timpului spatial este legat continutului de materie/energie a Universului.

Aceste ecuatii, impreuna cu ecuatia geodezica, formeaza nucleul formularii matematice a relativitatii generale.

Conventia semnelor:

Forma de deasupra a CEE este standardul stability de Misner, Thome si Wheeler. Autorii au analizat toate conventiile clasificate si care exista potrivit urmatoarelor 3 semne (S1, S2, S3):

Al treilea semn de deasupra este inrudit alegerii conventiei pentru tensorul lui Ricci:

Cu aceste definitii, Misner, Thorne si Wheeler se auto-categorisesc ca fiind (+ + +), intrucat Weinberg (1972) este (+ - -), Peebles (1980) si Efsthiou (1990) sunt (- + +) in timp ce Peacock (1994), Rindler (1977), Atwater (1974), Collins Martin si Squires (1989) sunt (- + -).

Autori inclusive Einstein au folosit un semn diferit in definitiile lor pentru tensorul lui Ricci care rezulta in semnul constantei de pe partea dreapta, fiind negativa:

Semnul (foarte mic) a termenului cosmologic ar schimba in doua aceste versiuni, daca Conventia Semnului metric +- este folosind mai degraba ca Conventia Semnului metric MTW(Misner, Thorne, Wheeler) -+++ adoptat/folosit aici.

Formulari echivalente:

CEE poate fi rescris in urmatoarea forma echivalenta "cauta-inversat":

Care poate fi mult mai convenabila in unele cazuri ( de exemplu, cand unu este interest in limita campului slab si care poate inlocui in expresia de pe partea dreapta cu tensorul lui Minkowski fara pierderi semnificante de acuritate).

Constanta cosmologica:

Einstein si-a modificat campurile ecuatiilor originale pentru a include un termen cosmologic cu metricului:

Constanta este o constanta cosmologica. De cand este constanta, legea conservarii de energie este neafectata.

Termenul de constanta cosmologica a fost introdus pentru prima data de catre Einstein pentru a permite pentru un Univers static. Acest efort a fost fara succes pentru 2 motive: universul static descris de catre aceasta teorie a fost instabil, si observari de indepartate galaxii de catre Hubble, un deceniu mai tarziu a confirmat ca universul nostru NU este de fapt static, ci in extindere. Deci a fost abandonat, Einstein numindu-l "Cea mai mare gafa pe care el a facut-o vreodata" . Pentru multi ani, constanta cosmologica a fost considerata aproape universal sa fie 0.

In ciuda faptului ca motivatia prost directionata a lui Einstein pentru introducerea termenului constantei cosmologice, NU exista nimic inconsistent cu prezenta unui asa termen in ecuatii. Intradevar, noile tehnici imbunatatite astronomice au gasit faptul ca o valoare pozitiva a lui este nevoie de ea pentru a explica cateva observari.

Einstein se gandea la constanta cosmologica ca fiind un parametru independent, dar termenul sau in campul ecuatiei poate fi de asemenea schimbat algebric inspre cealalta parte, scris ca parte a tensorului stresului de energie:

Energia in vid este o constanta si este data de:

Existenta constantei cosmologice este astfel echivalenta cu existenta unei energii in vid non-zero. Termenii sunt acum folositi alternativ in relativitatea generala.

Campul ecuatiilor in vid:

Daca tensorul energie-materie este zero in regiunea in cauza, atunci campul ecuatiilor se refera de altfel si la Campurile ecuatiilor in vid. Setand =0 in intreg campul ecuatiilor, ecuatiile in vid pot fi scrise ca:

Luand urma acesteia (conctractand cu ) si folosind faptul ca rezulta:

R =

Si astfel

R=0.

Inlocuind inapoi, ne rezulta o forma echivalenta a campului ecuatiilor in vid

In cazul constantei cosmologice non-zero, ecuatiile sunt

care rezulta

R=4

obtinandu-se forma echivalenta

Solutiile pentru campul ecuatiilor in vid sunt numite "Solutii in vid". Spatiul plat a lui Minkowski este cel mai simplu exemplu a solutiei in vid. Exemplele banale includ solutiile lui Schwarzschild si Kerr.

Multiple cu tensorul Ricci disparand, se refera la ca fiind multiple plate Ricci si multiple cu tensorul Ricci proportional metricelor ca multiple ale lui Einstein.

Ecuatiile Einstein-Maxwell:

Daca tensorul energie-materie este cea a unui canp electromagnetic in spatiu liber, daca tensorul electromagnetic energie-materie

este folosita, apoi CEE sunt numite "Ecuatiile Einstein-Maxwell" (cu constanta cosmologica , luata sa fie zero in teoria relativitatii conventionale):

Aditional, co-variantele ecuatiilor Maxwell sunt de asemenea aplicabile in spatiu liber:

unde in cazul in care reprezinta un punct si virgula o derivata co-varianta, si parantezele denota anti-simetrizarea. Prima ecuatie afirma ca a 4-a divergenta a celor doua forme F este zero, si al doilea ca derivata exterioara este zero.Dintre acestia din urma, reiese din"Poincaré lemma" ca intr-o diagrama coordonatoare este posibila introducerea unui potential camp electromagnetic astfel incat

in care virgula denota o derivata partiala. Aceasta este deseori considerata ca fiind echivalent cu ecuatia co-varianta a lui Maxwell din care/de la care este derivata. Totusi, exista solutii globale ale ecuatiei care ar putea duce lipsa de potential definit global.